线性代数：第四章向量组的线性相关性（1）向量组的线性相关性向量组的秩

第一节向量组的线性相关性

一．数学概念

定义1.1 n个有次序的数，所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数称为第i个分量。

定义1. 2 给定向量组A：，对于任何一组实数，向量

称为向量组A的一个线性组合，称为这个线性组合的系数。

定义3 给定向量组A：和向量β，若存在一组数，使

，

则称向量β是向量组A的线性组合，这时称向量β能由向量组A线性表示。

定义4 给定向量组A：，若存在一组不全为零的数，使

，

则称向量组A是线性相关的，否则称它是线性无关的。

定义5 设有两个向量组A：，及B：，若B 组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称B能向量组A线性表示，若向量组A与向量组B能互相线性表示，则称这两个向量组等价。

二．原理，公式和法则

1. 判断向量组 的线性相关性的基本原理的：

当上式成立时，不全为0，则可确定线性相关，若只有，则可确定线性无关。

2. 向量线性相关性的判定

1) 一个向量a是线性相关的充分必要条件是：a=0；

2) 两个向量是线性相关的充分必要条件是：它们对应的分量成比例。

3) n个n维向量线性相关的充分必要条件是：由它们组成的n阶行列式为零。

4) 向量组线性相关的充分必要条件是：向量组中至少有一个向量能由其余的m-1个向量线性表示。

5)向量组线性相关的充分必要条件是：由它构成的矩阵的秩小于向量的个数m。

6) 若向量组线性相关，则向量组也线性相关。

7) 当m>n时，m个n维向量必线性相关。

8) 一个向量a线性无关的充分必要条件是：a ≠ 0。

9) 两个向量是线性无关的充分必要条件是：它们对应的分量不成比例。

10) n个n维向量线性无关的充分必要条件是：由它们组成的n阶行列式不等于零。

11) 向量组线性无关的充分必要条件是：由它构成的矩阵的秩等于向量的个数m。

12) 整组向量线性无关，则它们的任何部分组也线性无关。

13) 若r维的向量组线性无关，而在r维的向量组中的每个向量的后边添上一个分量，则r+1维的向量也线性无关。

3. 若向量组线性无关，而,β线性相关，则β能由线性表示，且表示法是唯一的。

4. 判定向量组线性相关性的方法：①定义法；②反证法；③判定法；④计算法。

三．重点，难点分析

本节的定义，定理，性质，推论较多，且又非常抽象，不易理解，有一定的难度。

重点是向量组的线性相公性的定义理解，和如何判断一组向量的线性相关性。

四．典型例题

例1. 设向量组。当t为何值线性相关；当t为何值时线性无关。

解：设

显然，当t=5 时，R(A)=2<3，故线性相关。

当t5时，R(A)=3，故线性无关。

本题由于向量个数与向量的维数相同，也可以由它们所组成的3阶行列式是否等于零来确定向量组的线性相关性，也可以用定义，采用计算法来判定。

例2. 向量β由向量组线性表示，则表示法是唯一的充分必要条件是线行无关。

证：必要性，设使

(1)

又β能由线性表示，

所以有 (2)

将(2)—(1)得

由表示法的唯一性，知：

得，，故线性无关。

充分性，假设有两种表示法，即

两式相减得

由于线性无关，所以

故表示法是唯一的。

第二节. 向量组的秩

一．数字概念

定义2.1 设有向量组A，如果在A中存在r个向量,满足

(1)向量组A_0:线性无关；

(2)向量组A中任意r+1个向量(如果A中有r+1个向量的话)都线性相关，那末称向量组A₀是向量组A的一个最大线性无关组(简称最大无关组)。

定义2.2 向量组最大无关组中向量的个数称为向量组的秩。

矩阵列向量组的秩称为矩阵的列秩，行向量组中秩称为矩阵行秩。

二．原理，公式与法则

定理2.1 R(A)=A的行秩=A的列秩

定理2.2 向量组A与其最大无关组等价。

定理2.3 设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大雨向量组A的秩。

推论1 等价向量组的秩相等。

推论2 设，则。

推论3 设向量组B是向量组A的部分组，若向量组B线性无关，且向量组A能由向量组B线性表示，则向量组B是向量组A的一个最大无关组。

三．重点，难点分析

本节的重点是向量组的最大无关组和秩的定义，求向量组的最大无关组和秩的方

法，这对于下面将要学习向量空间和求齐次线性方程组的基础解系是非常重要的。难点是上面讲述的定理的证明，需要同学们具有一定抽象思维能力和逻辑能力。

四．典型例题

例1．设向量组

求向量组的秩和一个最大无关向量组。

分析：解此类问题可根据矩阵与向量组的关系以及矩阵列(行)秩的关系，把向量组拼成矩阵，从而可知其秩又可得矩阵A的最高阶非零子式所在列是该向量组的最大无关组。

解：设，对A施行初等行变换，得

显然R(A)=2，所以向量组的秩为2，且是的一个最大无关组。

例2．向量组中的任一向量必是向量组中某个最大无关组的线性组合。

证：设向量组A：的某个最大无关组是A₀:

设α_i是向量组A中的任一向量，分情况讨论如下：

①α_i在向量组A₀中，则有

②若α_i不在向量组A₀中，由于A₀是A的最大无关组，而线性相关，故α_i可由线性表示。

对于最大无关组的证明要注意以下两点：

(1)证明该向量组是线性无关；

(2)整个向量组中的任一向量都可由该向量组线性表示；或利用等价的关系证整个向量组与其等价。

from: http://dec3.jlu.edu.cn/webcourse/t000022/teach/index.htm