第四章 向量组的线性相关性
第四章 向量组的线性相关性
- 向量组及其线性组合
- 向量组的线性相关性
- 向量组的秩
- 线性方程组的解的结构
向量组及其线性组合
- 定义1
n 个有次序的数 a1,a2,…,an所组成的数组称为 n 维向量，这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 ai称为第 i 个分量
分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量
- 列向量与行向量
- 向量组
若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组
- 定义2
这里的系数k、λ可以全为0，但是 λ 全为0时，b为0，变成了齐次方程组
- 定理1
向量 b 能由向量组 A: a1, a2, …, am 线性表示的充分必要条件是矩阵 A = (a1, a2, …, am)的秩等于矩阵 B = (a1, a2, …, am, b)
证明向量b能由向量组A线性表示的方式：
- 定义法
- r(A) = r(A, b)
A 与 B 等价，则 r(A) = r(B)，反之不正确
- 应用
- 求向量 b 能被 向量组 a 线性表示的表达式
- 求向量组 a、b 等价
向量组的线性相关性
向量组A线性相关的充要条件是存在 ai 可由其他向量线性表示
- 定理4
向量组 A: a1, a2, …, am 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 A = (a1, a2, …, am) 的秩小于向量个数 m；向量组 A 线性无关的充分必要条件是 R(A) = m
子集合相关 => 整体必相关
低维向量无关 => 高维必无关
- 应用
- 求向量组是否线性相关（重要例题 P89）
- 求向量组是否线性相关（重要例题 P89）
向量组的秩
若向量组 A 线性无关，则 A 自身就是它的最大无关组，而其秩就等于它所含向量的个数
定理6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩
- 应用
- 求最大无关组（重要例题 P94）
- 求最大无关组（重要例题 P94）
线性方程组的解的结构
性质1
若 x = ξ1，x = ξ2 为向量组 Ax = 0 的解，则 x = ξ1 + ξ2 也是向量方程的解性质2
若 x = ξ1 为向量方程 Ax = 0 的解，k 为实数，则 x = kξ1 也是向量方程的解
齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性的基础解系
应用
求齐次线性方程组的基础解系和通解（重要例题 P99-100）性质3
设 x = η1 及 x = η2 都是向量方程 Ax = b 的解，则 x = η1 - η2 为对应的齐次线性方程组 Ax = 0 的解性质4
设 x = η 是方程 Ax = b 的解，x = ξ 是方程 Ax = 0 的解，则 x = η + ξ 仍是方程 Ax = b 的解
非齐次方程的通解 = 对应的齐次方程的通解 + 非齐次方程的一个特解
- 应用
求非齐次方程的通解（重要例题 P103-104）
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