例题四
- 例4 设齐次方程组{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=0,a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=0,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯an1x1+an2x2+⋯+annxn=0\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0,\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0,\\\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=0\end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=0,a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=0,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯an1x1+an2x2+⋯+annxn=0的系数矩阵A\bm{A}A的行列式∣A∣=0|\bm{A}|=0∣A∣=0，AijA_{ij}Aij是A\bm{A}A中元素aija_{ij}aij的代数余子式，证明αi=[Ai1,Ai2,⋯,Ain]T(i=1,2,⋯,n)\bm{\alpha}_i=[A_{i1},A_{i2},\cdots,A_{in}]^\mathrm{T}(i=1,2,\cdots,n)αi=[Ai1,Ai2,⋯,Ain]T(i=1,2,⋯,n)是方程组的nnn个解向量，并两两线性相关。
- 例7 设ξ=[a1,a2,⋯,an]T,ξTξ=∑i=1nai2=1\bm{\xi}=[a_1,a_2,\cdots,a_n]^\mathrm{T},\bm{\xi}^\mathrm{T}\bm{\xi}=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^na_i^2=1ξ=[a1,a2,⋯,an]T,ξTξ=i=1∑nai2=1，证明：∣E−ξξT∣|\bm{E}-\bm{\xi\xi}^\mathrm{T}|∣E−ξξT∣。
- 例8 设A\bm{A}A是nnn阶矩阵，满足A2=A\bm{A}^2=\bm{A}A2=A，且A≠E\bm{A}\ne\bm{E}A=E，证明∣A∣=0|\bm{A}|=0∣A∣=0。
- 例14 设A=[1a10],B=[011b]\bm{A}=\begin{bmatrix}1&a\\1&0\end{bmatrix},\bm{B}=\begin{bmatrix}0&1\\1&b\end{bmatrix}A=[11a0],B=[011b]，当a,ba,ba,b为何值时，存在矩阵C\bm{C}C使得AC−CA=B\bm{AC}-\bm{CA}=\bm{B}AC−CA=B，并求所有矩阵C\bm{C}C。
- 例16 设α1,α2,α3,⋯,αs\bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_2,\bm{\alpha}_3,\cdots,\bm{\alpha}_sα1,α2,α3,⋯,αs为线性方程组Ax=0\bm{Ax}=\bm{0}Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2,β2=t1α2+t2α3,⋯,βs=t1αs+t2α1\bm{\beta}_1=t_1\bm{\alpha}_1+t_2\bm{\alpha}_2,\bm{\beta}_2=t_1\bm{\alpha}_2+t_2\bm{\alpha}_3,\cdots,\bm{\beta}_s=t_1\bm{\alpha}_s+t_2\bm{\alpha}_1β1=t1α1+t2α2,β2=t1α2+t2α3,⋯,βs=t1αs+t2α1，其中t1,t2t_1,t_2t1,t2为实常数。试问t1,t2t_1,t_2t1,t2满足什么关系时，β1,β2,⋯,βs\bm{\beta}_1,\bm{\beta}_2,\cdots,\bm{\beta}_sβ1,β2,⋯,βs也是Ax=0\bm{Ax}=\bm{0}Ax=0的一个基础解系？
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例题四

例4 设齐次方程组{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=0,a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=0,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯an1x1+an2x2+⋯+annxn=0\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0,\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0,\\\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=0\end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=0,a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=0,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯an1x1+an2x2+⋯+annxn=0的系数矩阵A\bm{A}A的行列式∣A∣=0|\bm{A}|=0∣A∣=0，AijA_{ij}Aij是A\bm{A}A中元素aija_{ij}aij的代数余子式，证明αi=[Ai1,Ai2,⋯,Ain]T(i=1,2,⋯,n)\bm{\alpha}_i=[A_{i1},A_{i2},\cdots,A_{in}]^\mathrm{T}(i=1,2,\cdots,n)αi=[Ai1,Ai2,⋯,Ain]T(i=1,2,⋯,n)是方程组的nnn个解向量，并两两线性相关。

证将x1=Ai1,x2=Ai2,⋯,xn=Ainx_1=A_{i1},x_2=A_{i2},\cdots,x_n=A_{in}x1=Ai1,x2=Ai2,⋯,xn=Ain代入方程组的第kkk个方程，且由行列式的展开性质得ak1Ai1+ak2Ai2+⋯+aknAin={0,i≠k,∣A∣=0,i=k,a_{k1}A_{i1}+a_{k2}A_{i2}+\cdots+a_{kn}A_{in}=\begin{cases}0,&i\ne k,\\|\bm{A}|=0,&i=k,\end{cases}ak1Ai1+ak2Ai2+⋯+aknAin={0,∣A∣=0,i=k,i=k,可知αi=[Ai1,Ai2,⋯,Ain]T(i=1,2,⋯,n)\bm{\alpha}_i=[A_{i1},A_{i2},\cdots,A_{in}]^\mathrm{T}(i=1,2,\cdots,n)αi=[Ai1,Ai2,⋯,Ain]T(i=1,2,⋯,n)是方程组的解向量。
若Aij=0(i=1,2,⋯,n;j=1,2,⋯,n)A_{ij}=0(i=1,2,\cdots,n;j=1,2,\cdots,n)Aij=0(i=1,2,⋯,n;j=1,2,⋯,n)，即αi(i=1,2,⋯,n)\bm{\alpha}_i(i=1,2,\cdots,n)αi(i=1,2,⋯,n)均是零向量，则显然αi(i=1,2,⋯,n)\bm{\alpha}_i(i=1,2,\cdots,n)αi(i=1,2,⋯,n)两两线性相关。
若存在Aij≠0A_{ij}\ne0Aij=0，则r(A)=n−1r(\bm{A})=n-1r(A)=n−1，Ax=0\bm{Ax}=\bm{0}Ax=0的基础解系仅由一个线性无关（非零）向量组成，故αi(i=1,2,⋯,n)\bm{\alpha}_i(i=1,2,\cdots,n)αi(i=1,2,⋯,n)两两线性相关。（这道题主要利用了代数余子式的性质求解）

例7 设ξ=[a1,a2,⋯,an]T,ξTξ=∑i=1nai2=1\bm{\xi}=[a_1,a_2,\cdots,a_n]^\mathrm{T},\bm{\xi}^\mathrm{T}\bm{\xi}=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^na_i^2=1ξ=[a1,a2,⋯,an]T,ξTξ=i=1∑nai2=1，证明：∣E−ξξT∣|\bm{E}-\bm{\xi\xi}^\mathrm{T}|∣E−ξξT∣。

证构造齐次线性方程组(E−ξξT)x=0(\bm{E}-\bm{\xi\xi}^\mathrm{T})\bm{x}=\bm{0}(E−ξξT)x=0。因(E−ξξT)ξ=ξ−ξξTξ=ξ−ξ(ξTξ)(\bm{E}-\bm{\xi\xi}^\mathrm{T})\bm{\xi}=\bm{\xi}-\bm{\xi\xi}^\mathrm{T}\bm{\xi}=\bm{\xi}-\bm{\xi}(\bm{\xi}^\mathrm{T}\bm{\xi})(E−ξξT)ξ=ξ−ξξTξ=ξ−ξ(ξTξ)，其中ξTξ=1,ξ≠0\bm{\xi}^\mathrm{T}\bm{\xi}=1,\bm{\xi}\ne\bm{0}ξTξ=1,ξ=0。故方程组有非零解ξ\bm{\xi}ξ，从而得证∣E−ξξT∣=0|\bm{E}-\bm{\xi\xi}^\mathrm{T}|=0∣E−ξξT∣=0。（这道题主要利用了等式变换求解）

例8 设A\bm{A}A是nnn阶矩阵，满足A2=A\bm{A}^2=\bm{A}A2=A，且A≠E\bm{A}\ne\bm{E}A=E，证明∣A∣=0|\bm{A}|=0∣A∣=0。

证根据题设条件A2=A,A≠E\bm{A}^2=\bm{A},\bm{A}\ne\bm{E}A2=A,A=E，有A2−A=A(A−E)=O,A≠E\bm{A}^2-\bm{A}=\bm{A}(\bm{A}-\bm{E})=\bm{O},\bm{A}\ne\bm{E}A2−A=A(A−E)=O,A=E，故A−E≠O\bm{A}-\bm{E}\ne\bm{O}A−E=O。将A−E\bm{A}-\bm{E}A−E以列分块知，A−E\bm{A}-\bm{E}A−E的每一列均是方程组Ax=0\bm{Ax}=\bm{0}Ax=0的解向量。由于，故A−E≠O\bm{A}-\bm{E}\ne\bm{O}A−E=O中至少有一列不等于零，故Ax=0\bm{Ax}=\bm{0}Ax=0至少有一个非零解，从而得证∣A∣=0|\bm{A}|=0∣A∣=0。（这道题主要利用了线性齐次方程组的性质求解）

例14 设A=[1a10],B=[011b]\bm{A}=\begin{bmatrix}1&a\\1&0\end{bmatrix},\bm{B}=\begin{bmatrix}0&1\\1&b\end{bmatrix}A=[11a0],B=[011b]，当a,ba,ba,b为何值时，存在矩阵C\bm{C}C使得AC−CA=B\bm{AC}-\bm{CA}=\bm{B}AC−CA=B，并求所有矩阵C\bm{C}C。

解设C=[x1x2x3x4]\bm{C}=\begin{bmatrix}x_1&x_2\\x_3&x_4\end{bmatrix}C=[x1x3x2x4]，那么AC−CA=B\bm{AC}-\bm{CA}=\bm{B}AC−CA=B，即
[1a10][x1x2x3x4]−[x1x2x3x4][1a10]=[011b]⇒[x1+ax3x2+ax4x1x2]−[x1+x2ax1x3+x4ax3]=[011b]⇒{−x2+ax3=0,−ax1+x2+ax4=0,x1−x3−x4=1,x2−ax3=b.\begin{bmatrix}1&a\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1&x_2\\x_3&x_4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}x_1&x_2\\x_3&x_4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&a\\1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\1&b\end{bmatrix}\\ \Rightarrow\begin{bmatrix}x_1+ax_3&x_2+ax_4\\x_1&x_2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}x_1+x_2&ax_1\\x_3+x_4&ax_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\1&b\end{bmatrix}\\ \Rightarrow\begin{cases}&-x_2&+ax_3&&=0,\\-ax_1&+x_2&&+ax_4&=0,\\x_1&&-x_3&-x_4&=1,\\&x_2&-ax_3&&=b.\end{cases} [11a0][x1x3x2x4]−[x1x3x2x4][11a0]=[011b]⇒[x1+ax3x1x2+ax4x2]−[x1+x2x3+x4ax1ax3]=[011b]⇒⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧−ax1x1−x2+x2x2+ax3−x3−ax3+ax4−x4=0,=0,=1,=b.
对增广矩阵作初等行变换，有
A‾=[0−1a0−a10a10−1−101−a0011b]→[10−1−101−a00000000010a+1b]\overline{\bm{A}}=\left[\begin{array}{c:c}\begin{matrix}0&-1&a&0\\-a&1&0&a\\1&0&-1&-1\\0&1&-a&0\end{matrix}&\begin{matrix}0\\1\\1\\b\end{matrix}\end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{c:c}\begin{matrix}1&0&-1&-1\\0&1&-a&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{matrix}&\begin{matrix}1\\0\\a+1\\b\end{matrix}\end{array}\right] A=⎣⎢⎢⎡0−a10−1101a0−1−a0a−10011b⎦⎥⎥⎤→⎣⎢⎢⎡10000100−1−a00−100010a+1b⎦⎥⎥⎤
当a≠−1a\ne-1a=−1或b≠0b\ne0b=0时，方程组无解。
当a=−1a=-1a=−1且b=0b=0b=0时，方程组有解。此时存在矩阵C\bm{C}C满足AC−CA=B\bm{AC}-\bm{CA}=\bm{B}AC−CA=B。
由于方程组的通解为[x1x2x3x4]=[1000]+k1[1−110]+k2[1001]=[1+k1+k2−k1k1k2]\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}+k_1\begin{bmatrix}1\\-1\\1\\0\end{bmatrix}+k_2\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+k_1+k_2\\-k_1\\k_1\\k_2\end{bmatrix}⎣⎢⎢⎡x1x2x3x4⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡1000⎦⎥⎥⎤+k1⎣⎢⎢⎡1−110⎦⎥⎥⎤+k2⎣⎢⎢⎡1001⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡1+k1+k2−k1k1k2⎦⎥⎥⎤，k1,k2k_1,k_2k1,k2为任意实数。
故当且仅当a=−1,b=0a=-1,b=0a=−1,b=0时，存在矩阵C=[1+k1+k2−k1k1k2]\bm{C}=\begin{bmatrix}1+k_1+k_2&-k_1\\k_1&k_2\end{bmatrix}C=[1+k1+k2k1−k1k2]，满足AC−CA=B\bm{AC}-\bm{CA}=\bm{B}AC−CA=B。（这道题主要利用了线性方程组求解）

例16 设α1,α2,α3,⋯,αs\bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_2,\bm{\alpha}_3,\cdots,\bm{\alpha}_sα1,α2,α3,⋯,αs为线性方程组Ax=0\bm{Ax}=\bm{0}Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2,β2=t1α2+t2α3,⋯,βs=t1αs+t2α1\bm{\beta}_1=t_1\bm{\alpha}_1+t_2\bm{\alpha}_2,\bm{\beta}_2=t_1\bm{\alpha}_2+t_2\bm{\alpha}_3,\cdots,\bm{\beta}_s=t_1\bm{\alpha}_s+t_2\bm{\alpha}_1β1=t1α1+t2α2,β2=t1α2+t2α3,⋯,βs=t1αs+t2α1，其中t1,t2t_1,t_2t1,t2为实常数。试问t1,t2t_1,t_2t1,t2满足什么关系时，β1,β2,⋯,βs\bm{\beta}_1,\bm{\beta}_2,\cdots,\bm{\beta}_sβ1,β2,⋯,βs也是Ax=0\bm{Ax}=\bm{0}Ax=0的一个基础解系？

解因Aαj=0,j=1,2,⋯,s\bm{A\alpha}_j=\bm{0},j=1,2,\cdots,sAαj=0,j=1,2,⋯,s，故Aβj=A(t1αi+t2αi+1)=0(αs+1=α1)\bm{A\beta}_j=\bm{A}(t_1\bm{\alpha}_i+t_2\bm{\alpha}_{i+1})=\bm{0}(\bm{\alpha}_{s+1}=\bm{\alpha}_1)Aβj=A(t1αi+t2αi+1)=0(αs+1=α1)，故对任意t1,t2t_1,t_2t1,t2，βi(i=1,2,⋯,s)\bm{\beta}_i(i=1,2,\cdots,s)βi(i=1,2,⋯,s)是Ax=0\bm{Ax}=\bm{0}Ax=0的解。
设k1β1+k2β2+⋯+ksβs=0k_1\bm{\beta}_1+k_2\bm{\beta}_2+\cdots+k_s\bm{\beta}_s=\bm{0}k1β1+k2β2+⋯+ksβs=0，即k1(t1α1+t2α2)+k2(t1α2+t2α3)+⋯+ks(t1αs+t2α1)=0k_1(t_1\bm{\alpha}_1+t_2\bm{\alpha}_2)+k_2(t_1\bm{\alpha}_2+t_2\bm{\alpha}_3)+\cdots+k_s(t_1\bm{\alpha}_s+t_2\bm{\alpha}_1)=\bm{0}k1(t1α1+t2α2)+k2(t1α2+t2α3)+⋯+ks(t1αs+t2α1)=0，整理得(k1t1+kst2)α1+(k2t1+k1t2)α2+⋯+(kst1+ks−1t2)αs=0(k_1t_1+k_st_2)\bm{\alpha}_1+(k_2t_1+k_1t_2)\bm{\alpha}_2+\cdots+(k_st_1+k_{s-1}t_2)\bm{\alpha}_s=\bm{0}(k1t1+kst2)α1+(k2t1+k1t2)α2+⋯+(kst1+ks−1t2)αs=0。由于α1,α2,⋯,αs\bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_2,\cdots,\bm{\alpha}_sα1,α2,⋯,αs线性无关，因此有{t1k1+t2ks=0,t2k1+t1k2=0,⋯⋯⋯⋯⋯t2ks−1+t1ks=0\begin{cases}t_1k_1+t_2k_s=0,\\t_2k_1+t_1k_2=0,\\\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\t_2k_{s-1}+t_1k_s=0\end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧t1k1+t2ks=0,t2k1+t1k2=0,⋯⋯⋯⋯⋯t2ks−1+t1ks=0。
因其系数行列式为Ds=∣t10⋯0t2t2t1⋯00⋮⋮⋮⋮00⋯t1000⋯t2t1∣=t1s+(−1)s+1t2sD_s=\begin{vmatrix}t_1&0&\cdots&0&t_2\\t_2&t_1&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\0&0&\cdots&t_1&0\\0&0&\cdots&t_2&t_1\end{vmatrix}=t_1^s+(-1)^{s+1}t_2^sDs=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣t1t2⋮000t1⋮00⋯⋯⋯⋯00⋮t1t2t20⋮0t1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=t1s+(−1)s+1t2s，所以当t1s+(−1)s+1t2s≠0t_1^s+(-1)^{s+1}t_2^s\ne0t1s+(−1)s+1t2s=0（即s=2ns=2ns=2n时，t1≠±t2;s=2n+1t_1\ne\pm t_2;s=2n+1t1=±t2;s=2n+1时，t1≠−t2t_1\ne-t_2t1=−t2）时，方程组有唯一零解，从而β1,β2,⋯,βs\bm{\beta}_1,\bm{\beta}_2,\cdots,\bm{\beta}_sβ1,β2,⋯,βs线性无关。（这道题主要利用了行列式变换求解）

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例8 设A\bm{A}A是nnn阶矩阵，满足A2=A\bm{A}^2=\bm{A}A2=A，且A≠E\bm{A}\ne\bm{E}A=E，证明∣A∣=0|\bm{A}|=0∣A∣=0。

例14 设A=[1a10],B=[011b]\bm{A}=\begin{bmatrix}1&a\\1&0\end{bmatrix},\bm{B}=\begin{bmatrix}0&1\\1&b\end{bmatrix}A=[11a0],B=[011b]，当a,ba,ba,b为何值时，存在矩阵C\bm{C}C使得AC−CA=B\bm{AC}-\bm{CA}=\bm{B}AC−CA=B，并求所有矩阵C\bm{C}C。

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例7 设ξ=[a1,a2,⋯,an]T,ξTξ=∑i=1nai2=1\bm{\xi}=[a_1,a_2,\cdots,a_n]^\mathrm{T},\bm{\xi}^\mathrm{T}\bm{\xi}=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^na_i^2=1ξ=[a1,a2,⋯,an]T,ξTξ=i=1∑nai2=1，证明：∣E−ξξT∣|\bm{E}-\bm{\xi\xi}^\mathrm{T}|∣E−ξξT∣。

例8 设A\bm{A}A是nnn阶矩阵，满足A2=A\bm{A}^2=\bm{A}A2=A，且A≠E\bm{A}\ne\bm{E}A=E，证明∣A∣=0|\bm{A}|=0∣A∣=0。

例14 设A=[1a10],B=[011b]\bm{A}=\begin{bmatrix}1&a\\1&0\end{bmatrix},\bm{B}=\begin{bmatrix}0&1\\1&b\end{bmatrix}A=[11a0],B=[011b]，当a,ba,ba,b为何值时，存在矩阵C\bm{C}C使得AC−CA=B\bm{AC}-\bm{CA}=\bm{B}AC−CA=B，并求所有矩阵C\bm{C}C。

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