关于点到直线距离的理解

一、先以2维空间为例：

对于一条直线，我们一般表示成：y = kx + b

或者表示成：ax + by + c = 0

这里的第二种表示其实还可以转换成这样：(a, b)(x, y) + c = 0

即表示成两个向量的乘积的形式，而这里的(a, b)正是直线的法向量，而 k 的值就等于 -a / b

那么为什么：(a, b)(x, y) + c = 0 可以表示二维空间的一条唯一直线呢？上图：

这里(a,b)代表法向量，而对于直线上任意一点(x, y)，其所表示的向量(x, y)和法向量(a, b)的内积都是固定的，这个内积恒等于：ax + by, 其实就是负c了。

同时也是向量(x, y)在(a, b)上的投影 { 这里就是向量(x', y') }，所有直线上的点，在法向量上的投影都是这个！

这就是为什么 (a, b)(x, y) + c = 0 这样一个等式能够确定一条直线的原因。

至于直线外一点到直线的距离为什么可以表示成 |ax + by + c| / sqrt(a^2 + b^2)，可以这么来理解：

对于直线外一点(x, y)，其在法向量(a, b)上的投影一定不是(x', y')。对于在直线外面的点来说，投影下来的向量是在射线(x', y')的延长线上！

那么它距离点(x', y')的距离是多少呢？这个距离就等于(x, y)投影的长度减去(x', y')的长度：

所以点(x, y)到直线的距离：d =| (a, b) (x, y) | / sqrt(a^2 + b^2) - |(a, b) (x', y')| / sqrt(a^2 + b^2)

其实这里不必非得用(x', y')，只要是直线上的点都可以求出(x', y')那一段的长度。

而这个长度其实就是：|c| / sqrt(a^2 + b^2)

最终可以合并成：d =| (a, b) (x, y) + c | / sqrt(a^2 + b^2)

这里的加减写的不是很严谨，主要是记录一下这种理解的方式，这样按照向量内积的方式来理解直线，可以更好的扩展到高维空间对超曲面的理解~~~
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作者：muye5
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/myue5/article/details/8980376
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