1.如果幂级数在点x0处（x0不等于0）收敛，则对于适合不等式|x|<|x0|的一切x使这幂级数绝对收敛(幂级数一般都是“盗用”正向级数的判别法，用来判断收敛半径)。
2.反之，如果幂级数在点x1处发散，则对于适合不等式|x|>|x1|的一切x使这幂级数发散。

证明：

前提：1.∑n=0∞anx0n收敛，2.∣x∣<∣x0∣r=∣xx0∣<1由1：通项收敛于零且有界，设界为M则有：∣anxn∣=∣anx0nxnx0n∣=∣anx0n∣∣xx0∣n<Mr2由于等比级数在公比小于1时收敛，故由比较判别法知幂级数绝对收敛。前提：1.\sum_{n=0}^{\infty} a_nx_0^n收敛，2.|x|<|x_0|\\ r=|\frac{x}{x_0}|<1\\ 由1：通项收敛于零且有界，设界为M\\ 则有：|a_nx_n|=| a_nx_0^n \frac{ x^n }{x_0^n} |=| a_nx_0^n|| \frac{ x }{x_0} |^n<Mr^2\\ 由于等比级数在公比小于1时收敛，故由比较判别法知幂级数绝对收敛。前提：1.n=0∑∞anx0n收敛，2.∣x∣<∣x0∣r=∣x0x∣<1由1：通项收敛于零且有界，设界为M则有：∣anxn∣=∣anx0nx0nxn∣=∣anx0n∣∣x0x∣n<Mr2由于等比级数在公比小于1时收敛，故由比较判别法知幂级数绝对收敛。

例：
级数∑an(x−1)n在x=−1处收敛，在x=2处‾,在x=−2处‾。A条件收敛B绝对收敛C发散D收敛性不确定答案：BD级数 \sum a_n(x-1)^n在x=-1处收敛，在x=2处 \underline{~~~~~~~~~~~} , 在x=-2处 \underline{~~~~~~~~~~~} 。\\ A条件收敛 B绝对收敛 C发散 D收敛性不确定 \href{https://zhuanlan.zhihu.com/p/32245454}{答案：BD} 级数∑an(x−1)n在x=−1处收敛，在x=2处 ,在x=−2处。A条件收敛B绝对收敛C发散D收敛性不确定答案：BD

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