数学物理方法

级数(Series)
- 复变函数项级数
- 幂级数
- 泰勒级数
- 洛朗级数
- 孤立奇点
留数(Residue)
- 留数的概念与计算
- 留数在定积分计算中的应用
- 对数留数与辐角原理
共形映射(Conformal Mapping)
- 解析函数的映射性质
- 分式线性映射
- 部分初等函数的映射性质
- 共形映射的基本问题示例

复变函数和积分变换(Complex Function I)
复变函数和积分变换(Complex Function II)
复变函数和积分变换(Integral Transform)

参考文献：
mooc国防科技大学《复变函数》
王忠仁、张静《工程数学：复变函数和积分变换》
焦红伟、尹景本《复变函数与积分变换》
梁昆淼《数学物理方法》

级数(Series)

复变函数项级数

复数项级数(complex number series)：设{zn}=z1,z2,⋯,zn,⋯\{z_n\}=z_1,z_2,\cdots,z_n,\cdots{zn}=z1,z2,⋯,zn,⋯ 为一复数序列。
(1) 称表达式∑n=1∞zn=z1+z2+⋯+zn+⋯\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}z_n=z_1+z_2+\cdots+z_n+\cdotsn=1∑∞zn=z1+z2+⋯+zn+⋯ 为复数项无穷级数。
(2) 称Sn=z1+z2+⋯+znS_n=z_1+z_2+\cdots+z_nSn=z1+z2+⋯+zn为级数的部分和
(3) 若极限lim⁡n→∞Sn=S\lim\limits_{n\to∞}S_n=Sn→∞limSn=S 存在( S 为有限数)，则称级数是收敛的， S 称为级数的和；如果序列{Sn}\{S_n\}{Sn}不收敛，则称级数是发散的。
复数项级数收敛的充要条件：设 zn=xn+iyn(n∈Z+)z_n=x_n+iy_n(n\in\Z^+)zn=xn+iyn(n∈Z+) ，则 ∑n=1∞zn\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}z_nn=1∑∞zn收敛⟺∑n=1∞xn,∑n=1∞yn\iff \displaystyle\sum_{n=1}^{∞}x_n,\sum_{n=1}^{∞}y_n⟺n=1∑∞xn,n=1∑∞yn都收敛
复数项级数收敛的必要条件：lim⁡n→∞zn=0⟹∑n=1∞zn\lim\limits_{n\to∞}z_n=0\implies\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}z_nn→∞limzn=0⟹n=1∑∞zn 收敛
定理 1：如果∑n=1∞∣zn∣\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}|z_n|n=1∑∞∣zn∣ 收敛，则∑n=1∞zn\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}z_nn=1∑∞zn 收敛，并且 ∣∑n=1∞zn∣⩽∑n=1∞∣zn∣\displaystyle|\sum_{n=1}^{∞}z_n|⩽\sum_{n=1}^{∞}|z_n|∣n=1∑∞zn∣⩽n=1∑∞∣zn∣
(1) 如果 ∑n=1∞∣zn∣\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}|z_n|n=1∑∞∣zn∣ 收敛，则称级数 ∑n=1∞zn\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}z_nn=1∑∞zn绝对收敛(absolutely convergent)。
(2) 非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛(conditionally convergent)。
由于∑n=1∞∣zn∣\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}|z_n|n=1∑∞∣zn∣是正项级数，其收敛性可以用正项级数的相关定理来进行判别。另外，还可得到∑n=1∞∣zn∣\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}|z_n|n=1∑∞∣zn∣收敛的充要条件是∑n=1∞xn,∑n=1∞yn\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}x_n,\sum_{n=1}^{∞}y_nn=1∑∞xn,n=1∑∞yn都绝对收敛
复变函数项级数：设区域D上的函数列{fn(z)}=f1(z),f2(z),⋯,fn(z),⋯\{f_n(z)\}=f_1(z),f_2(z),\cdots,f_n(z),\cdots{fn(z)}=f1(z),f2(z),⋯,fn(z),⋯
(1) 称∑n=1∞fn(z)=f1(z)+f2(z)+⋯+fn(z)+⋯\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}f_n(z)=f_1(z)+f_2(z)+\cdots+f_n(z)+\cdotsn=1∑∞fn(z)=f1(z)+f2(z)+⋯+fn(z)+⋯为区域D 内的复变函数项级数(series)。
(2) 该级数的前n 项和 Sn(z)S_n(z)Sn(z) 称为这个级数的部分和((partial sum))。
(3) 如果对于区域D 内的某一点z0z_0z0 ，极限lim⁡n→∞Sn(z0)=S(z0)\lim\limits_{n\to∞}S_n(z_0)=S(z_0)n→∞limSn(z0)=S(z0)存在，则称级数∑n=1∞fn(z)\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}f_n(z)n=1∑∞fn(z)在z0z_0z0点收敛(convergence)，称S(z0)S(z_0)S(z0)为它的和(sum)。
(4) 如果级数在 D 内处处收敛，那么它的和一定是与z有关的一个函数 S(z)=f1(z)+f2(z)+⋯+fn(z)+⋯S(z) = f_1(z)+f_2(z)+\cdots+f_n(z)+\cdotsS(z)=f1(z)+f2(z)+⋯+fn(z)+⋯，这个函数称为级数的和函数(summable function)。
关于复数项级数与复变函数项级数，由于这两类级数的有关定义、性质与判别法与高等数学的相应部分极为相似，所以，不再赘述。
(5) 一致收敛(uniform convergence)：如果对于任意ϵ>0ϵ>0ϵ>0 ，存在N>0N>0N>0，对于任何的z∈Dz\in Dz∈D，当n>Nn>Nn>N时，恒有∣∑k=1nfk(z)−f(z)∣<ϵ,∀x∈D|\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f_k(z)-f(z)|<ϵ,∀ x\in D∣k=1∑nfk(z)−f(z)∣<ϵ,∀x∈D，则称级数∑n=1∞fn(z)\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}f_n(z)n=1∑∞fn(z)在D上一致收敛于函数f(z)f(z)f(z)
定理 (Weierstrass M-test)：如果级数∑n=1∞fn(z)\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}f_n(z)n=1∑∞fn(z)在区域DDD满足条件：
(i) ∀z∈D,∣fn(z)∣⩽Mn(n=1,2,⋯)∀ z\in D,|f_n(z)|⩽ M_n(n=1,2,\cdots)∀z∈D,∣fn(z)∣⩽Mn(n=1,2,⋯)
(ii)正项级数∑n=1∞Mn\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}M_nn=1∑∞Mn收敛
则级数∑n=1∞fn(z)\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}f_n(z)n=1∑∞fn(z)在区间DDD上一致收敛
(6) 内闭一致收敛(Closed uniform convergence)：设函数fn(z)(n∈Z+)f_n(z)(n\in\Z^+)fn(z)(n∈Z+) 定义在区域G 内，若级数∑n=1∞fn(z)\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}f_n(z)n=1∑∞fn(z)在G 内任意一个有界闭集上均一致收敛，则称该级数在区域G 内内闭一致收敛于f(z)f(z)f(z)。
定理：如果级数∑n=1∞fn(z)\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}f_n(z)n=1∑∞fn(z)在区域DDD内解析，级数∑n=1∞fn(z)\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}f_n(z)n=1∑∞fn(z)在D内内闭一致收敛于f(z)f(z)f(z)，则
(i) f(z)f(z)f(z)在D内解析
(ii) f(p)(z)=∑n=1∞fn(p)(z)(p∈Z+)f^{(p)}(z)=\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}f_n^{(p)}(z)\quad(p\in\Z^+)f(p)(z)=n=1∑∞fn(p)(z)(p∈Z+)

幂级数

幂级数(Power Series)：称形如∑n=0∞an(z−z0)n=a0+a1(z−z0)+⋯+an(z−z0)n+⋯\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}a_n(z-z_0)^n=a_0+a_1(z-z_0)+\cdots+a_n(z-z_0)^n+\cdotsn=0∑∞an(z−z0)n=a0+a1(z−z0)+⋯+an(z−z0)n+⋯的级数称为幂级数，其中z0,a0,a1,⋯,an,⋯z_0,a_0,a_1,\cdots,a_n,\cdotsz0,a0,a1,⋯,an,⋯为复常数。
特别令z0=0z_0=0z0=0 有∑n=0∞anzn\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}a_nz^nn=0∑∞anzn，只要做变换 ξ=z−z0ξ=z-z_0ξ=z−z0即可化为一般形式，为了方便常讨论此形式。
幂级数的收敛圆(circle of convergence)
阿贝尔(Abel)定理：若级数∑n=0∞anzn\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}a_nz^nn=0∑∞anzn在点 a(a≠0)a (a≠0)a(a=0) 收敛，则它在圆域K:∣z∣<∣a∣K : |z|<|a|K:∣z∣<∣a∣ 内绝对收敛；在闭圆 K1:∣z∣⩽ρ(ρ<a)K_1 : |z| ⩽ρ (ρ < a )K1:∣z∣⩽ρ(ρ<a)上一致收敛。
若级数∑n=0∞anzn\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}a_nz^nn=0∑∞anzn在点 b(b≠0)b (b≠0)b(b=0) 发散，则它在 ∣z∣>∣b∣|z| > |b|∣z∣>∣b∣ 时发散。
有了阿贝尔定理便可弄清幂级数的收敛范围。
首先，幂级数在点z =0 是收敛的。
其次，幂级数在z ≠0 时只有三种可能：
(1) 幂级数在复平面所有的点收敛(如1+z1!+z22!+⋯+znn!+⋯1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\cdots+\frac{z^n}{n!}+\cdots1+1!z+2!z2+⋯+n!zn+⋯)；
(2) 幂级数在复平面所有的点发散(如 1+2z+22z2+⋯+2nzn+⋯1+ 2z + 2^2 z^2 +\cdots+ 2^n z^n +\cdots1+2z+22z2+⋯+2nzn+⋯)；
(3) 存在一个圆域 ∣z∣<R|z|<R∣z∣<R，幂级数在圆域内收敛(且绝对收敛)，在∣z∣>R|z|>R∣z∣>R上幂级数发散。圆周 C:∣z∣=RC : |z| = RC:∣z∣=R称为该级数的收敛圆(circle of convergence)，R称为该级数的收敛半径(radius of convergence)。
为了统一起见，对于幂级数在复平面收敛，规定 R=+∞R = +∞R=+∞，对于幂级数仅在一点 z =0 收敛，规定R=0R = 0R=0。
定理 1：设幂级数为 ∑n=0∞anzn\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}a_nz^nn=0∑∞anzn，幂级数收敛半径的具体求法，同实函数一样，比值法和根值法是最常用的有效方法。
(1) 比值法：若lim⁡n→∞∣an+1an∣=λ\lim\limits_{n\to∞}|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}|=λn→∞lim∣anan+1∣=λ 则收敛半径为R=1λR=\dfrac{1}{λ}R=λ1
(2) 根值法：lim⁡n→∞∣an∣n=ρ\lim\limits_{n\to∞}\sqrt[n]{|a_n|}=ρn→∞limn∣an∣=ρ 则收敛半径为R=1ρR=\dfrac{1}{ρ}R=ρ1

实例：

求幂级数∑n=0∞zn\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}z^nn=0∑∞zn的收敛半径
解：级数的部分和 Sn=1−zn1−z(z≠1)S_n=\dfrac{1-z^n}{1-z}\quad(z\neq 1)Sn=1−z1−zn(z=1)
(1) 当 ∣z∣<1|z|<1∣z∣<1时，有lim⁡n→∞zn=0\lim\limits_{n\to∞}z^n=0n→∞limzn=0，从而lim⁡n→∞Sn=11−z\lim\limits_{n\to∞}S_n=\dfrac{1}{1-z}n→∞limSn=1−z1，级数收敛
(2) 当 ∣z∣⩽1|z|⩽1∣z∣⩽1时，级数的一般项 znz^nzn不趋近于零，级数发散。
由阿贝尔定理知级数的收敛半径为 R=1R=1R=1，并且函数 11−z=∑n=0∞zn(∣z∣<1)\dfrac{1}{1-z}=\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}z^n\quad(|z|<1)1−z1=n=0∑∞zn(∣z∣<1)
函数 1z−b\dfrac{1}{z-b}z−b1也可通过变换表示成幂级数
1z−b=1(z−a)−(b−a)=−1b−a⋅11−z−ab−a\dfrac{1}{z-b}=\dfrac{1}{(z-a)-(b-a)}=-\cfrac{1}{b-a}\cdot\cfrac{1}{1- \cfrac{z-a}{b-a}}z−b1=(z−a)−(b−a)1=−b−a1⋅1−b−az−a1
当 ∣z−ab−a∣<1|\dfrac{z-a}{b-a}|<1∣b−az−a∣<1时，即∣z−a∣<∣b−a∣|z-a|<|b-a|∣z−a∣<∣b−a∣，可以得到
1z−b=−∑n=0∞1(b−a)n+1(z−a)n\displaystyle\dfrac{1}{z-b}=-\sum_{n=0}^{∞}\dfrac{1}{(b-a)^{n+1}}(z-a)^nz−b1=−n=0∑∞(b−a)n+11(z−a)n

和函数的解析性
定理 2：设幂级数 ∑n=0∞an(z−z0)n\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}a_n(z-z_0)^nn=0∑∞an(z−z0)n的收敛半径为R，则
(1) 它的和函数 f(z)f(z)f(z) 在收敛圆内解析
(2) 幂级数在收敛圆内可逐项求导任意次，即 f(k)(z)=∑n=0∞[an(z−z0)n](k)f^{(k)}(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}[a_n(z-z_0)^n]^{(k)}f(k)(z)=n=0∑∞[an(z−z0)n](k)
(3) 幂级数在收敛圆内任一曲线C 上逐项积分，即
∫Cf(z)dz=∫z0zf(z)dz=∑n=0∞ann+1(z−z0)n+1\displaystyle\int_{C}f(z)dz=\int_{z_0}^zf(z)dz=\sum_{n=0}^{∞}\dfrac{a_n}{n+1}(z-z_0)^{n+1}∫Cf(z)dz=∫z0zf(z)dz=n=0∑∞n+1an(z−z0)n+1

泰勒级数

泰勒定理：若函数f(z)f(z)f(z)在区域D内解析，圆域 K:∣z−z0∣<RK:|z-z_0|<RK:∣z−z0∣<R含于D，则在K内有
f(z)=∑n=0∞an(z−z0)nf(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}a_n(z-z_0)^nf(z)=n=0∑∞an(z−z0)n，其中 an=1n!f(n)(z0)(n=0,1,2,⋯)a_n=\dfrac{1}{n!}f^{(n)}(z_0)\quad (n=0,1,2,\cdots)an=n!1f(n)(z0)(n=0,1,2,⋯)
且上述展开式是唯一的，上式被称为泰勒展开式(Taylor expansion)，它右端的级数称为泰勒级数。

证明：取一点 z∈Kz\in Kz∈K，做圆周 C:∣z−z0∣=ρC:|z-z_0|=ρC:∣z−z0∣=ρ 包含点 z
由柯西积分公式有f(z)=12πi∮Cf(ξ)ξ−zdξ\displaystyle f(z)=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(ξ)}{ξ-z}dξf(z)=2πi1∮Cξ−zf(ξ)dξ
由于 ∣z−z0ξ−z0∣<1|\dfrac{z-z_0}{ξ-z_0}|<1∣ξ−z0z−z0∣<1，有上节实例可知1ξ−z=∑n=0∞(ξ−z0)n(z−z0)n+1\displaystyle\dfrac{1}{ξ-z}=\sum_{n=0}^{∞}\dfrac{(ξ-z_0)^n}{(z-z_0)^{n+1}}ξ−z1=n=0∑∞(z−z0)n+1(ξ−z0)n ，带入上式可得
f(z)=∑n=0∞an(z−z0)nf(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}a_n(z-z_0)^nf(z)=n=0∑∞an(z−z0)n，其中 an=1n!f(n)(z0)a_n=\dfrac{1}{n!}f^{(n)}(z_0)an=n!1f(n)(z0)
关于展开式的唯一性，证明略。
推论：将泰勒定理和上节的定理2结合，可以得到一个重要结论
函数f(z)f(z)f(z)在一点z0z_0z0处解析的充要条件是：它在z0z_0z0的某一邻域内有幂级数展开式 f(z)=∑n=0∞an(z−z0)nf(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}a_n(z-z_0)^nf(z)=n=0∑∞an(z−z0)n
这个性质从级数的角度深刻反映了解析函数的本质。
函数在 z=0 处的泰勒展开式
ez=∑n=0∞1n!zn(z∈C)sin⁡z=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!z2n+1(z∈C)cos⁡z=∑n=0∞(−1)n(2n)!z2n(z∈C)11−z=∑n=0∞zn(∣z∣<1)1(1+z)2=∑n=0∞(−1)n−1nzn−1(∣z∣<1)\begin{aligned} & e^z=\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}\dfrac{1}{n!}z^n & (z\in\Complex) \\ & \sin z=\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1} & (z\in\Complex) \\ & \cos z=\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}\dfrac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n} & (z\in\Complex) \\ & \dfrac{1}{1-z}=\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}z^n & (|z|<1) \\ & \dfrac{1}{(1+z)^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}(-1)^{n-1}nz^{n-1} & (|z|<1) \end{aligned}ez=n=0∑∞n!1znsinz=n=0∑∞(2n+1)!(−1)nz2n+1cosz=n=0∑∞(2n)!(−1)nz2n1−z1=n=0∑∞zn(1+z)21=n=0∑∞(−1)n−1nzn−1(z∈C)(z∈C)(z∈C)(∣z∣<1)(∣z∣<1)
Ln (1+z)\text{Ln }(1+z)Ln (1+z)的主值支 ln⁡(1+z)=∑n=0∞(−1)nn+1zn+1(∣z∣<1)\ln (1+z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}\dfrac{(-1)^n}{n+1}z^{n+1}\quad (|z|<1)ln(1+z)=n=0∑∞n+1(−1)nzn+1(∣z∣<1)
(1+z)α(1+z)^α(1+z)α的主值支 eαln⁡(1+z)=1+αz+(α2)z2+⋯+(αn)zn+⋯(∣z∣<1)e^{α\ln(1+z)}=1+αz+\binom{α}{2}z^2+\cdots+\binom{α}{n}z^n+\cdots \quad(|z|<1)eαln(1+z)=1+αz+(2α)z2+⋯+(nα)zn+⋯(∣z∣<1)
其中 (αn)=α(α−1)⋯(α−n+1)n!\binom{α}{n}=\frac{α(α-1)\cdots(α-n+1)}{n!}(nα)=n!α(α−1)⋯(α−n+1)

洛朗级数

洛朗级数(Laurent Series)：称形如∑n=−∞+∞an(z−z0)n=⋯+a−n(z−z0)−n+⋯+a−1(z−z0)−1+a0+a1(z−z0)+⋯+an(z−z0)n+⋯\displaystyle\sum_{n=-∞}^{+∞}a_n(z-z_0)^n=\cdots+a_{-n}(z-z_0)^{-n}+\cdots+a_{-1}(z-z_0)^{-1}+a_0+a_1(z-z_0)+\cdots+a_n(z-z_0)^n+\cdotsn=−∞∑+∞an(z−z0)n=⋯+a−n(z−z0)−n+⋯+a−1(z−z0)−1+a0+a1(z−z0)+⋯+an(z−z0)n+⋯的级数称为洛朗级数，其中z0,an(n∈Z)z_0,a_n(n\in\Z)z0,an(n∈Z)为复常数。
洛朗级数由正幂次项∑n=0∞an(z−z0)n\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}a_n(z-z_0)^nn=0∑∞an(z−z0)n和负幂次项∑n=−1−∞an(z−z0)n\displaystyle\sum_{n=-1}^{-∞}a_n(z-z_0)^nn=−1∑−∞an(z−z0)n组成，分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。若解析部分和主要部分在点z=ξz=ξz=ξ收敛，则洛朗级数在点z=ξz=ξz=ξ收敛。
收敛圆环(ring of convergence)：显然洛朗级数的收敛域是解析部分和主要部分收敛域的交集。
(1) 对于解析部分，设其收敛半径为R，其收敛圆域为∣z−z0∣<R|z-z_0|<R∣z−z0∣<R
(2) 对于主要部分，令ξ=(z−z0)−1ξ=(z-z_0)^{-1}ξ=(z−z0)−1，并令bn=a−nb_n=a_{-n}bn=a−n，则级数变形为ξ的幂级数∑n=1∞bnξn\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}b_nξ^nn=1∑∞bnξn，设它的收敛半径为R1R_1R1，其收敛圆域为∣ξ∣<R1|ξ|<R_1∣ξ∣<R1
于是对于洛朗级数主要部分，当∣1z−z0∣<R1|\frac{1}{z-z_0}|<R_1∣z−z01∣<R1即∣z−z0∣>1R1|z-z_0|>\frac{1}{R_1}∣z−z0∣>R11 时收敛。
(3) 令 r=1R1r=\frac{1}{R_1}r=R11，由上面的讨论可知
若 r<Rr<Rr<R，则洛朗级数的收敛域为 r<∣z−z0∣<Rr<|z-z_0|<Rr<∣z−z0∣<R，此圆环称为收敛圆环。且知它在该圆环内绝对收敛，在闭圆环 r<r′⩽z−z0⩽R′<Rr < r'⩽ z − z_0 ⩽R' < Rr<r′⩽z−z0⩽R′<R上一致收敛。
洛朗定理：设f(z)f(z)f(z)在圆环域 D:R1<∣z−z0∣<R2D:R_1<|z-z_0|<R_2D:R1<∣z−z0∣<R2 内解析，则f(z)f(z)f(z)在此圆环内一定能展开为 f(z)=∑n=−∞+∞an(z−z0)nf(z)=\displaystyle\sum_{n=-∞}^{+∞}a_n(z-z_0)^nf(z)=n=−∞∑+∞an(z−z0)n ，并且系数ana_nan被f(z)f(z)f(z)及圆环唯一确定。
其中an=12πi∮Cf(ξ)(ξ−z0)n+1dξ(n∈Z)\displaystyle a_n=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_C \dfrac{f(ξ)}{(ξ-z_0)^{n+1}}dξ(n\in\Z)an=2πi1∮C(ξ−z0)n+1f(ξ)dξ(n∈Z) ，C为此圆环内围绕z0z_0z0的任何一条正向简单闭曲线，此公式称为洛朗展开式(Laurent expansion)。

实例

求函数f(z)=1(z−1)(z−2)f(z)=\dfrac{1}{(z-1)(z-2)}f(z)=(z−1)(z−2)1分别在下列圆环的洛朗展开式
(1)0<∣z∣<1;(2)1<∣z∣<2;(3)2<∣z∣<+∞(1)\ 0<|z|<1 ;\quad (2)\ 1<|z|<2;\quad (3)\ 2<|z|<+∞(1) 0<∣z∣<1;(2) 1<∣z∣<2;(3) 2<∣z∣<+∞

解：部分分式分解 f(z)=11−z−12−zf(z)=\dfrac{1}{1-z}-\dfrac{1}{2-z}f(z)=1−z1−2−z1
(1) 在 0<∣z∣<10<|z|<10<∣z∣<1中有∣z∣<1,∣z2∣<1|z|<1,|\frac{z}{2}|<1∣z∣<1,∣2z∣<1，由上一章的实例知
11−z=∑n=0∞zn;12−z=∑n=0∞zn2n+1\displaystyle\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{∞}z^n;\quad \frac{1}{2-z}=\sum_{n=0}^{∞}\frac{z^n}{2^{n+1}}1−z1=n=0∑∞zn;2−z1=n=0∑∞2n+1zn
于是 f(z)=∑n=0∞zn−∑n=0∞zn2n+1=∑n=0∞(1−12n+1)zn\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^{∞}z^n-\sum_{n=0}^{∞}\frac{z^n}{2^{n+1}}=\sum_{n=0}^{∞}(1-\frac{1}{2^{n+1}})z^nf(z)=n=0∑∞zn−n=0∑∞2n+1zn=n=0∑∞(1−2n+11)zn
上述结果中不含 z 的负幂项，原因在于f(z)f(z)f(z)在z=0z=0z=0处解析。
(2) 在 1<∣z∣<21<|z|<21<∣z∣<2中有∣1z∣<1,∣z2∣<1|\frac{1}{z}|<1,|\frac{z}{2}|<1∣z1∣<1,∣2z∣<1，由上一章的实例知
11−z=−∑n=0∞1zn+1;12−z=∑n=0∞zn2n+1\displaystyle\frac{1}{1-z}=-\sum_{n=0}^{∞}\frac{1}{z^{n+1}};\quad \frac{1}{2-z}=\sum_{n=0}^{∞}\frac{z^n}{2^{n+1}}1−z1=−n=0∑∞zn+11;2−z1=n=0∑∞2n+1zn
于是 f(z)=−∑n=0∞1zn+1−∑n=0∞zn2n+1\displaystyle f(z)=-\sum_{n=0}^{∞}\frac{1}{z^{n+1}}-\sum_{n=0}^{∞}\frac{z^n}{2^{n+1}}f(z)=−n=0∑∞zn+11−n=0∑∞2n+1zn
(3) 在 2<∣z∣<+∞2<|z|<+∞2<∣z∣<+∞ 中有∣1z∣<1,∣2z∣<1|\frac{1}{z}|<1,|\frac{2}{z}|<1∣z1∣<1,∣z2∣<1，由上一章的实例知
11−z=−∑n=0∞1zn+1;12−z=−∑n=0∞2nzn+1\displaystyle\frac{1}{1-z}=-\sum_{n=0}^{∞}\frac{1}{z^{n+1}};\quad \frac{1}{2-z}=-\sum_{n=0}^{∞}\frac{2^n}{z^{n+1}}1−z1=−n=0∑∞zn+11;2−z1=−n=0∑∞zn+12n
于是 f(z)=∑n=0∞2n−1zn+1\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^{∞}\frac{2^n-1}{z^{n+1}}f(z)=n=0∑∞zn+12n−1
求函数在 f(z)=sin⁡zzf(z)=\dfrac{\sin z}{z}f(z)=zsinz在0<∣z∣<∞0<|z|<∞0<∣z∣<∞的洛朗展开式
f(z)=sin⁡zz=1z∑n=0∞(−1)n(2n+1)!z2n+1=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!z2n\displaystyle f(z)=\dfrac{\sin z}{z}=\dfrac{1}{z}\sum_{n=0}^{∞}\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}=\sum_{n=0}^{∞}\dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n}f(z)=zsinz=z1n=0∑∞(2n+1)!(−1)nz2n+1=n=0∑∞(2n+1)!(−1)nz2n
计算 ∮Ce1zdz\displaystyle\oint_C e^{\frac{1}{z}}dz∮Cez1dz，其中C 为正向圆周 ∣z∣=1|z|=1∣z∣=1
由于 e1z=1+1z+12!z2+⋯+1n!zn+⋯\displaystyle e^{\frac{1}{z}}=1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2!z^2}+\cdots+\frac{1}{n!z^n}+\cdotsez1=1+z1+2!z21+⋯+n!zn1+⋯
在洛朗展开式的系数中，在n=−1n=-1n=−1时，有a−1=12πi∮Cf(z)dz\displaystyle a_{-1}=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_C f(z)dza−1=2πi1∮Cf(z)dz
于是有∮Ce1zdz=2πi\displaystyle\oint_C e^{\frac{1}{z}}dz=2\pi i∮Cez1dz=2πi

孤立奇点

孤立奇点：设函数 f(z)f (z)f(z) 在z0z_0z0不解析，但在z0z_0z0的某个去心邻域 0<∣z−z0∣<R0 < |z − z_0| < R0<∣z−z0∣<R内解析，则称点z0z_0z0为函数 f(z)f(z)f(z) 的孤立奇点(isolated singular point)。

孤立奇点的类型：设点z0z_0z0为函数f(z)f(z)f(z)的孤立奇点
(1) 若 f(z)f(z)f(z) 在点z0z_0z0的洛朗级数的主要部分为零，则称点z0z_0z0为 f(z)f(z)f(z) 的可去奇点(removable singularity)；
(2) 若 f(z)f(z)f(z) 在点z0z_0z0的洛朗级数的主要部分有限多项，即存在正整数m，a−m≠0a_{-m}\neq 0a−m=0，当n<−m,an=0n<-m,a_{n}=0n<−m,an=0，则称点z0z_0z0为 f(z)f(z)f(z) 的m级(阶)极点(m-order pole)；
(3) 若 f(z)f(z)f(z) 在点z0z_0z0的洛朗级数的主要部分有无限多项，则称点z0z_0z0为 f(z)f(z)f(z) 的本性奇点(essential singularity)
依定义，z=0z=0z=0是sin⁡zz\frac{\sin z}{z}zsinz的可去奇点，z=0z=0z=0是sin⁡zz2\frac{\sin z}{z^2}z2sinz的一阶极点，z=0z=0z=0是e1ze^\frac{1}{z}ez1的本性奇点。
孤立奇点类型判定
可去奇点判定：设点z0z_0z0为函数f(z)f(z)f(z)的孤立奇点，则下列三个条件是等价的：
(1) 点z0z_0z0为 f(z)f(z)f(z)的可去奇点；
(2) lim⁡z→z0f(z)=C0\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=C_0z→z0limf(z)=C0，其中C0C_0C0为一复常数；
(3) 函数 f(z)f(z)f(z)在点z0z_0z0的某个去心邻域内有界。
m 阶极点判定：z0z_0z0为函数 f(z)f(z)f(z)的m阶极点的充要条件是 f(z)=1(z−z0)mφ(z)f(z)=\frac{1}{(z-z_0)^m}φ(z)f(z)=(z−z0)m1φ(z)，其中φ(z)φ(z)φ(z)在z0z_0z0解析且φ(z0)≠0φ(z_0)\neq 0φ(z0)=0
极点判定：z0z_0z0为函数 f(z)f(z)f(z)的极点的充要条件是lim⁡z→z0f(z)=∞\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=∞z→z0limf(z)=∞
本性奇点判定：z0z_0z0为函数 f(z)f(z)f(z)的本性奇点的充要条件是lim⁡z→z0f(z)\lim\limits_{z\to z_0}f(z)z→z0limf(z)不存在，也不趋于∞
本性奇点判定 2：若点z0z_0z0为 f(z)f(z)f(z)的本性奇点，且lim⁡z→z0f(z)≠0\lim\limits_{z\to z_0}f(z)\neq 0z→z0limf(z)=0，则点z0z_0z0必为 1f(z)\frac{1}{f(z)}f(z)1的本性奇点。
函数的零点¹与极点的关系
定理 1：若z0z_0z0是f(z)f(z)f(z)的m级极点，则z0z_0z0是1f(z)\frac{1}{f(z)}f(z)1的m级零点，反之亦然。
定理 2：设z0z_0z0分别是函数φ(z),ψ(z)φ(z),ψ(z)φ(z),ψ(z)的m级零点和n级零点，f(z)=φ(z)ψ(z)f(z)=\frac{φ(z)}{ψ(z)}f(z)=ψ(z)φ(z)，则有
(1) 当 m>nm>nm>n 时，z0z_0z0是 f(z)f(z)f(z)的 m−nm-nm−n级零点；
(2) 当 m<nm<nm<n 时，z0z_0z0是 f(z)f(z)f(z)的 n−mn-mn−m级零点；
(3) 当 m=nm=nm=n 时，z0z_0z0是 f(z)f(z)f(z)可去奇点。

函数在无穷远点的性质
在扩充复平面上讨论函数的奇点，若无特殊声明，则约定无穷远点 ∞为任意函数的奇点。
定义 1：设函数f(z)f(z)f(z)在无穷远点的邻域 r<∣z∣<+∞r<|z|<+∞r<∣z∣<+∞内解析，则无穷远点∞就称为函数f(z)f(z)f(z)的孤立奇点。
函数在无穷远点的洛朗级数
设ξ=0ξ=0ξ=0是h(ξ)h(ξ)h(ξ)的孤立奇点，则有
h(ξ)=∑n=−∞+∞bnξn=∑n=0∞bnξn+∑n=1∞b−nξ−n(0<∣ξ∣<1r)h(ξ)=\displaystyle\sum_{n=-∞}^{+∞}b_nξ^n=\sum_{n=0}^{∞}b_nξ^n+\sum_{n=1}^{∞}b_{-n}ξ^{-n}\quad (0<|ξ|<\frac{1}{r})h(ξ)=n=−∞∑+∞bnξn=n=0∑∞bnξn+n=1∑∞b−nξ−n(0<∣ξ∣<r1)
若令 ξ=1zξ=\frac{1}{z}ξ=z1，则有
f(z)=h(1z)=∑n=0∞bnz−n+∑n=1∞b−nzn(r<∣z∣<+∞)f(z)=h(\frac{1}{z})=\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}b_nz^{-n}+\sum_{n=1}^{∞}b_{-n}z^n\quad (r<|z|<+∞)f(z)=h(z1)=n=0∑∞bnz−n+n=1∑∞b−nzn(r<∣z∣<+∞)
若再令an=b−n(n∈Z)a_n=b_{-n}(n\in\Z)an=b−n(n∈Z)，则有
f(z)=∑n=0∞a−nz−n+∑n=1∞anzn(r<∣z∣<+∞)f(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}a_{-n}z^{-n}+\sum_{n=1}^{∞}a_nz^n\quad (r<|z|<+∞)f(z)=n=0∑∞a−nz−n+n=1∑∞anzn(r<∣z∣<+∞)
称此级数为f(z)f(z)f(z)在点z=∞z=∞z=∞的洛朗级数，称其中的级数∑n=1∞anzn\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}a_nz^nn=1∑∞anzn为主要部分，级数∑n=0∞a−nz−n\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}a_{-n}z^{-n}n=0∑∞a−nz−n为解析部分。
注意：与函数f(z)f(z)f(z)在有限远点的情况相反，函数 f(z)f(z)f(z)在无穷远点的罗朗级数的解析部分是由非正幂项组成，而主要部分是由正幂项组成。
定义 2：设h(ξ)=f(1ξ)h(ξ)=f(\frac{1}{ξ})h(ξ)=f(ξ1)，如果 ξ=0ξ=0ξ=0是h(ξ)h(ξ)h(ξ)的可去奇点、m级极点或本性奇点，则称z=∞z=∞z=∞是f(z)f(z)f(z)的可去奇点、m级极点或本性奇点。
无穷远点孤立奇点的分类：设点z=∞z =∞z=∞为函数 f(z)f(z)f(z)的孤立奇点，若函数在z=∞z =∞z=∞处的洛朗级数
(1) 不含正幂项，则无穷远点z=∞z =∞z=∞是f(z)f(z)f(z)的可去奇点；
(2) 含有有限个正幂项，且zmz^mzm为最高正幂，则无穷远点z=∞z =∞z=∞是f(z)f(z)f(z)的m阶奇点；
(3) 含有无穷多正幂项，无穷远点z=∞z =∞z=∞是f(z)f(z)f(z)的本性奇点。

留数(Residue)

留数的概念与计算

引述：当函数f(z)f(z)f(z)在邻域∣z−z0∣<δ|z-z_0|<δ∣z−z0∣<δ内解析时，由柯西-古萨特定理知∮Cf(z)dz=0\displaystyle\oint_{C}f(z)dz=0∮Cf(z)dz=0，其中C是该邻域内围绕z0z_0z0的任何一条正向简单闭曲线。
但是，如果z0z_0z0是一个孤立奇点，则积分一般不等于零。设f(z)f(z)f(z)在z0z_0z0去心领域0<∣z−z0∣<δ0<|z-z_0|<δ0<∣z−z0∣<δ内的洛朗展开式为f(z)=∑n=−∞+∞an(z−z0)nf(z)=\displaystyle\sum_{n=-∞}^{+∞}a_n(z-z_0)^nf(z)=n=−∞∑+∞an(z−z0)n，对此项逐项积分，利用前一章实例的结果∮C(z−z0)ndz={2πi,n=−10,n≠−1,n∈Z\displaystyle\oint_{C}(z-z_0)^ndz=\begin{cases}2π i,&n=-1 \\0, &n\neq -1,n\in\Z\end{cases}∮C(z−z0)ndz={2πi,0,n=−1n=−1,n∈Z，可以得到∮Cf(z)dz=2πia−1\displaystyle\oint_{C}f(z)dz=2π i a_{-1}∮Cf(z)dz=2πia−1
这表明，f(z)f(z)f(z)的洛朗展开式沿围绕孤立奇点的正向简单闭曲线积分后，只留下(z−z0)(z-z_0)(z−z0)的负一次幂,，接下来我们就来研究此系数a−1a_{-1}a−1
留数(Residue)
留数定义：设z0z_0z0是f(z)f(z)f(z)的孤立奇点，即f(z)f(z)f(z)在去心邻域0<∣z−z0∣<δ0<|z-z_0|<δ0<∣z−z0∣<δ内解析，则f(z)f(z)f(z)在z0z_0z0的洛朗展开式的负一次幂的系数a−1a_{-1}a−1，称为留数，记作Res(f,z0)\text{Res}(f,z_0)Res(f,z0)，即Res(f,z0)=12πi∮Cf(z)dz\text{Res}(f,z_0)=\displaystyle\dfrac{1}{2π i}\oint_{C}f(z)dzRes(f,z0)=2πi1∮Cf(z)dz其中C是该去心邻域内围绕z0z_0z0的任何一条正向简单闭曲线。
留数定理：设函数f(z)f(z)f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,⋯,znz_1,z_2,\cdots,z_nz1,z2,⋯,zn外处处解析，C是D内包围所有奇点的一条正向简单闭曲线，则∮Cf(z)dz=2πi∑k=1nRes(f,zk)\displaystyle\oint_{C}f(z)dz=2π i \sum_{k=1}^{n}\text{Res}(f,z_k)∮Cf(z)dz=2πik=1∑nRes(f,zk)

证明：如图，由复合闭路定理有∮Cf(z)dz=∑k=1n∮Γkf(z)dz=2πi∑k=1nRes(f,zk)\displaystyle\oint_{C}f(z)dz=\sum_{k=1}^{n}\oint_{Γ_k}f(z)dz=2π i \sum_{k=1}^{n}\text{Res}(f,z_k)∮Cf(z)dz=k=1∑n∮Γkf(z)dz=2πik=1∑nRes(f,zk)
无穷远点的留数
无穷远点的留数：Res(f,∞)=12πi∮C−f(z)dz=−a−1\text{Res}(f,∞)=\displaystyle\dfrac{1}{2π i}\oint_{C^-}f(z)dz=-a_{-1}Res(f,∞)=2πi1∮C−f(z)dz=−a−1
其中C是围绕原点z=0z=0z=0的任何一条正向简单闭曲线。
无穷远点留数定理：∑k=1nRes(f,zk)+Res(f,∞)=0\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\text{Res}(f,z_k)+\text{Res}(f,∞)=0k=1∑nRes(f,zk)+Res(f,∞)=0
其中C是围绕原点且包围所有孤立奇点z1,z2,⋯,znz_1,z_2,\cdots,z_nz1,z2,⋯,zn的一条正向简单闭曲线。

留数的计算

如果z0z_0z0是f(z)f(z)f(z)的可去奇点 Res(f,z0)=0\text{Res}(f,z_0)=0Res(f,z0)=0
如果z0z_0z0是f(z)f(z)f(z)的本性奇点，只能用洛朗展开式法求a−1a_{-1}a−1
如果z0z_0z0是f(z)f(z)f(z)的极点
Res(f,z0)={lim⁡z→z0(z−z0)f(z)if 1-order pole1(m−1)!lim⁡z→z0dm−1dzm−1[(z−z0)mf(z)]if m-order pole\text{Res}(f,z_0)=\begin{cases} \lim\limits_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) &\text{if 1-order pole} \\ \displaystyle\dfrac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\dfrac {\text{d}^{m-1}}{\text{d}z^{m-1}}[(z-z_0)^mf(z)] &\text{if m-order pole} \end{cases}Res(f,z0)=⎩⎪⎨⎪⎧z→z0lim(z−z0)f(z)(m−1)!1z→z0limdzm−1dm−1[(z−z0)mf(z)]if 1-order poleif m-order pole
如果f(z)=P(z)Q(z)f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}f(z)=Q(z)P(z)，P(z),Q(z)P(z),Q(z)P(z),Q(z)均在z0z_0z0解析，且P(z0)≠0,Q(z0)≠0,Q′(z0)≠0P(z_0)\neq 0,Q(z_0)\neq 0,Q'(z_0)\neq 0P(z0)=0,Q(z0)=0,Q′(z0)=0，则z0z_0z0是f(z)f(z)f(z)的一阶极点 Res(f,z0)=P(z0)Q′(z0)\text{Res}(f,z_0)=\frac{P(z_0)}{Q'(z_0)}Res(f,z0)=Q′(z0)P(z0)
无穷远点的留数 Res(f,∞)=−Res[f(1z)⋅1z2,0]\text{Res}(f,∞)=-\text{Res}[f(\frac{1}{z})\cdot\frac{1}{z^2},0]Res(f,∞)=−Res[f(z1)⋅z21,0]

实例

计算积分 ∮Czezz2−1dz\displaystyle\oint_{C}\dfrac{ze^z}{z^2-1}dz∮Cz2−1zezdz，C为正向圆周 ∣z∣=2|z|=2∣z∣=2
被积函数有两个一阶极点 ±1\pm1±1，而这两个极点都在圆周C内，所以
∮Czezz2−1dz=2πi[Res(f,1)+Res(f,−1)]=2πi(e2+e−12)=πi(e+e−1)\displaystyle\oint_{C}\dfrac{ze^z}{z^2-1}dz=2π i[\text{Res}(f,1)+\text{Res}(f,-1)]=2π i(\dfrac{e}{2}+\dfrac{e^{-1}}{2})=π i(e+e^{-1})∮Cz2−1zezdz=2πi[Res(f,1)+Res(f,−1)]=2πi(2e+2e−1)=πi(e+e−1)
计算积分 ∮Cezz(z−1)2dz\displaystyle\oint_{C}\dfrac{e^z}{z(z-1)^2}dz∮Cz(z−1)2ezdz，C为正向圆周 ∣z∣=2|z|=2∣z∣=2
被积函数有一个一阶极点z=0z=0z=0和一个二阶极点z=1z=1z=1，所以
∮Cezz(z−1)2dz=2πi[Res(f,0)+Res(f,1)]=2πi\displaystyle\oint_{C}\dfrac{e^z}{z(z-1)^2}dz=2π i[\text{Res}(f,0)+\text{Res}(f,1)]=2π i∮Cz(z−1)2ezdz=2πi[Res(f,0)+Res(f,1)]=2πi
求 f(z)=z−1f(z)=z^{-1}f(z)=z−1在 ∞ 点的留数
Res(z−1,∞)=−Res[f(1ξ)⋅1ξ2,0]=−Res(1ξ,0)=−1\text{Res}(z^{-1},∞)=-\text{Res}[f(\frac{1}{ξ})\cdot\frac{1}{ξ^2},0]=-\text{Res}(\frac{1}{ξ},0)=-1Res(z−1,∞)=−Res[f(ξ1)⋅ξ21,0]=−Res(ξ1,0)=−1

留数在定积分计算中的应用

引理 1：设函数f(z)f(z)f(z)在闭区域D={z∣α⩽arg⁡z⩽β(0⩽α⩽β⩽π)}D=\{z|α⩽\arg z⩽β(0⩽α⩽β⩽π)\}D={z∣α⩽argz⩽β(0⩽α⩽β⩽π)}上连续，CRC_RCR为圆周 C:∣z∣=RC : |z| = RC:∣z∣=R 在D内的一段弧，若对CRC_RCR上的任意的点 z 均有 lim⁡z→∞zf(z)=k\lim\limits_{z\to ∞}zf(z)=kz→∞limzf(z)=k，则 lim⁡R→∞∫CRf(z)dz=k(β−α)i\displaystyle\lim\limits_{R\to∞}\int_{C_R}f(z)dz=k(β−α)iR→∞lim∫CRf(z)dz=k(β−α)i

引理 2：设函数f(z)f(z)f(z)在闭区域D={z∣α⩽arg⁡(z−z0)⩽β(0⩽α⩽β⩽π),∣z∣⩽r0}D=\{z|α⩽\arg (z-z_0)⩽β(0⩽α⩽β⩽π),|z|⩽r_0\}D={z∣α⩽arg(z−z0)⩽β(0⩽α⩽β⩽π),∣z∣⩽r0}上连续，CrC_rCr为圆周 C:∣z−z0∣=r(r<r0)C : |z-z_0| = r(r<r_0)C:∣z−z0∣=r(r<r0) 在D内的一段弧，若对CrC_rCr的任意的点 z 均有 lim⁡z→z0(z−z0)f(z)=k\lim\limits_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)=kz→z0lim(z−z0)f(z)=k，则 lim⁡r→0∫Crf(z)dz=k(β−α)i\displaystyle\lim\limits_{r\to0}\int_{C_r}f(z)dz=k(β−α)ir→0lim∫Crf(z)dz=k(β−α)i

若尔当(Jordan)引理：设函数f(z)f(z)f(z)在闭区域D={z∣α⩽arg⁡z⩽β(0⩽α⩽β⩽π),0<R0⩽∣z∣<+∞}D=\{z|α⩽\arg z⩽β(0⩽α⩽β⩽π),0<R_0⩽|z|<+ ∞\}D={z∣α⩽argz⩽β(0⩽α⩽β⩽π),0<R0⩽∣z∣<+∞}上连续，CRC_RCR为圆周 C:∣z∣=R(R>R0)C : |z| = R(R>R_0)C:∣z∣=R(R>R0) 在D内的一段弧，若对CRC_RCR上的任意的点 z 均有 lim⁡z→∞f(z)=0\lim\limits_{z\to ∞}f(z)=0z→∞limf(z)=0，则对于任意 a>0a>0a>0有 lim⁡R→∞∫CRf(z)eiazdz=0\displaystyle\lim\limits_{R\to∞}\int_{C_R}f(z)e^{iaz}dz=0R→∞lim∫CRf(z)eiazdz=0

积分计算

形如 ∫02πR(cos⁡θ,sin⁡θ)dθ\displaystyle\int_{0}^{2π}R(\cosθ,\sinθ)dθ∫02πR(cosθ,sinθ)dθ 的积分
这里讨论的被积函数R(cos⁡θ,sin⁡θ)R(\cosθ,\sinθ)R(cosθ,sinθ)是有理函数
另 z=eiθz=e^{iθ}z=eiθ，则dz=ieiθdθ=izdθdz=ie^{iθ}dθ=izdθdz=ieiθdθ=izdθ
sin⁡θ=z2−12iz,cos⁡θ=z2+12z\sinθ=\dfrac{z^2-1}{2iz},\quad \cosθ=\dfrac{z^2+1}{2z}sinθ=2izz2−1,cosθ=2zz2+1
所以 ∫02πR(cos⁡θ,sin⁡θ)dθ=∫∣z∣=1R(z2+12z,z2−12iz)1izdz\displaystyle\int_{0}^{2π}R(\cosθ,\sinθ)dθ=\int_{|z|=1}R(\dfrac{z^2+1}{2z},\dfrac{z^2-1}{2iz})\dfrac{1}{iz}dz∫02πR(cosθ,sinθ)dθ=∫∣z∣=1R(2zz2+1,2izz2−1)iz1dz
令 f(z)=R(z2+12z,z2−12iz)1izf(z)=R(\dfrac{z^2+1}{2z},\dfrac{z^2-1}{2iz})\dfrac{1}{iz}f(z)=R(2zz2+1,2izz2−1)iz1，则
∫02πR(cos⁡θ,sin⁡θ)dθ=∮∣z∣=1f(z)dz=2πi∑k=1nRes(f,zk)\displaystyle\int_{0}^{2π}R(\cosθ,\sinθ)dθ=\oint_{|z|=1}f(z)dz=2π i \sum_{k=1}^{n}\text{Res}(f,z_k)∫02πR(cosθ,sinθ)dθ=∮∣z∣=1f(z)dz=2πik=1∑nRes(f,zk)
其中z0,z1,⋯,znz_0,z_1,\cdots,z_nz0,z1,⋯,zn为在圆周∣z∣=1|z|=1∣z∣=1内的孤立奇点。
形如 ∫−∞+∞R(x)dx\displaystyle\int_{-∞}^{+∞}R(x)dx∫−∞+∞R(x)dx 的积分
被积函数R(x)R(x)R(x)为有理函数，其分母的次数至少比分子的次数高二次，且在实轴上连续，设R(z)=zn+a1zn−1+⋯+anzm+b1zm−1+⋯+bm,m−n⩾2R(z)=\dfrac{z^n+a_1z^{n-1}+\cdots+a_n}{z^m+b_1z^{m-1}+\cdots+b_m},\quad m-n⩾2R(z)=zm+b1zm−1+⋯+bmzn+a1zn−1+⋯+an,m−n⩾2 为一不可约分式。

由留数定理有 ∫−rrR(z)dz+∫CrR(z)dz=2πi∑k=1nRes[R(z),zk]\displaystyle\int_{-r}^{r}R(z)dz+\int_{C_r}R(z)dz=2π i \sum_{k=1}^{n}\text{Res}[R(z),z_k]∫−rrR(z)dz+∫CrR(z)dz=2πik=1∑nRes[R(z),zk]
其中z0,z1,⋯,znz_0,z_1,\cdots,z_nz0,z1,⋯,zn为 Im z>0\text{Im }z>0Im z>0 内所有的极点
令 r→∞r\to ∞r→∞，对上式两端取极限
∫−∞+∞R(z)dz+lim⁡r→∞∫CrR(z)dz=2πi∑k=1nRes[R(z),zk]\displaystyle\int_{-∞}^{+∞}R(z)dz+\lim\limits_{r\to∞}\int_{C_r}R(z)dz=2π i \sum_{k=1}^{n}\text{Res}[R(z),z_k]∫−∞+∞R(z)dz+r→∞lim∫CrR(z)dz=2πik=1∑nRes[R(z),zk]
由于R(z)R(z)R(z)分母的次数至少比分子的次数高二次，所以 lim⁡z→∞zR(z)=0\lim\limits_{z\to ∞}zR(z)=0z→∞limzR(z)=0
由引理 1 知 lim⁡r→∞∫CrR(z)dz=0\displaystyle\lim\limits_{r\to∞}\int_{C_r}R(z)dz=0r→∞lim∫CrR(z)dz=0
所以 ∫−∞+∞R(z)dz=2πi∑k=1nRes[R(z),zk]\displaystyle\int_{-∞}^{+∞}R(z)dz=2π i \sum_{k=1}^{n}\text{Res}[R(z),z_k]∫−∞+∞R(z)dz=2πik=1∑nRes[R(z),zk]
形如 ∫−∞+∞R(x)eiaxdx(a>0)\displaystyle\int_{-∞}^{+∞}R(x)e^{iax}dx(a>0)∫−∞+∞R(x)eiaxdx(a>0) 的积分
用上例的方法，根据若尔当引理可得
∫−∞+∞R(z)eiaxdz=2πi∑k=1nRes[R(z)eiax,zk]\displaystyle\int_{-∞}^{+∞}R(z)e^{iax}dz=2π i \sum_{k=1}^{n}\text{Res}[R(z)e^{iax},z_k]∫−∞+∞R(z)eiaxdz=2πik=1∑nRes[R(z)eiax,zk]

实例
(1) 积分 ∫0+∞sin⁡xxdx=π2\displaystyle\int_{0}^{+∞}\dfrac{\sin x}{x}dx=\dfrac{π}{2}∫0+∞xsinxdx=2π
(2) 积分 ∫0+∞dx(1+x)xa=πsin⁡πa(0<a<1)\displaystyle\int_{0}^{+∞}\dfrac{dx}{(1+x)x^a}=\dfrac{π}{\sin πa}\quad(0<a<1)∫0+∞(1+x)xadx=sinπaπ(0<a<1)

对数留数与辐角原理

定理 1：设闭曲线C是区域D的边界线，函数f(z)f(z)f(z)在D内除极点外每一点都解析，并且在C上解析，则12πi∮Cf′(z)f(z)dz=P−N\displaystyle\dfrac{1}{2π i }\oint_{C}\dfrac{f'(z)}{f(z)}dz=P-N2πi1∮Cf(z)f′(z)dz=P−N这里P和N分别表示在D内零点¹及极点的总数，而且每个k阶零点或极点分别算作k个零点或极点。
上式左端称为函数 f(z)f(z)f(z)关于围线C的对数留数(Logarithmic Residue)，实际上 f′(z)f(z)=ddz[Ln f(z)]\dfrac{f'(z)}{f(z)}=\dfrac{\text{d}}{\text{d}z}[\text{Ln }f(z)]f(z)f′(z)=dzd[Ln f(z)]。它提供了一种计算复变函数沿围线积分的方法。

辐角原理(Argument Principle)：设有闭曲线C及函数f(z)f(z)f(z)，满足定理 1 的条件，则P−N=12πΔCarg⁡f(z)\displaystyle P-N=\dfrac{1}{2π}Δ_{C}\arg f(z)P−N=2π1ΔCargf(z) 这里ΔCarg⁡f(z)Δ_{C}\arg f(z)ΔCargf(z)表示z沿C的正向绕行一周时，函数 f(z)f(z)f(z) 的辐角改变量。

儒歇定理 (Rouché’s theorem)：设C是一围线，若函数 f(z)f(z)f(z)与ϕ(z)ϕ(z)ϕ(z)均在C的内部及C上解析，且满足 ∣ϕ(z)∣<∣f(z)∣,z∈C|ϕ(z)| < |f(z)| ,　z∈C∣ϕ(z)∣<∣f(z)∣,　z∈C，则 f(z)+ϕ(z)f(z) +ϕ(z)f(z)+ϕ(z)与 f(z)f(z)f(z) 在C的内部的零点个数相同(一个k级零点算作k个零点)。

代数基本定理：任何复系数一元n次多项式方程 f(z)=a0zn+a1zn−1+⋯+an(a0≠0)f(z)=a_0z^n+a_1z^{n-1}+\cdots+a_n(a_0\neq 0)f(z)=a0zn+a1zn−1+⋯+an(a0=0) 有且只有 n 个零点(n 级零点就算作 n 个零点)。

共形映射(Conformal Mapping)

解析函数的映射性质

导数的几何意义

设C 是一条有向光滑曲线，其方程为 z=z(t),a⩽t⩽bz=z(t),a⩽t⩽bz=z(t),a⩽t⩽b，它的正向为随t增大时z的移动方向，设z0=z(t0),z=z(t0+Δt)=z(t)z_0=z(t_0),z=z(t_0+Δt)=z(t)z0=z(t0),z=z(t0+Δt)=z(t) 为曲线C上的点，则割线zz0‾\overline{zz_0}zz0的正向与复数 z(t0+Δt)−z(t0)Δt\frac{z(t_0+Δt)-z(t_0)}{Δt}Δtz(t0+Δt)−z(t0) 表示的向量的方向一致，因此 z′(t0)=lim⁡Δt→0z(t0+Δt)−z(t0)Δtz'(t_0)=\lim\limits_{Δt\to 0}\frac{z(t_0+Δt)-z(t_0)}{Δt}z′(t0)=Δt→0limΔtz(t0+Δt)−z(t0) 所表示的向量就是曲线C 处的切线向量，且与C的方向一致。
因此在处的切线与实轴的夹角可复数表示为 α=Arg z′(t0)α=\text{Arg }z'(t_0)α=Arg z′(t0)
设w=f(z)w=f(z)w=f(z)将曲线C映射成曲线 Γ:w=w(t)=f[z(t)]Γ:w=w(t)=f[z(t)]Γ:w=w(t)=f[z(t)]，则曲线 ΓΓΓ在w0=f[z(t0)]w_0=f[z(t_0)]w0=f[z(t0)]处的切线与实轴的夹角为 β=Arg w′(t0)=Arg f′(z0)z′(t0)=Arg f′(z0)+Arg z′(t0)β=\text{Arg }w'(t_0)=\text{Arg }f'(z_0)z'(t_0)=\text{Arg }f'(z_0)+\text{Arg }z'(t_0)β=Arg w′(t0)=Arg f′(z0)z′(t0)=Arg f′(z0)+Arg z′(t0)
通过映射w=f(z)w=f(z)w=f(z)，曲线C在z0z_0z0处的切线逆时针方向旋转Arg f′(z0)\text{Arg }f'(z_0)Arg f′(z0)得到曲线ΓΓΓ在z0z_0z0处的切线。
由此，称Arg f′(z0)\text{Arg }f'(z_0)Arg f′(z0)为映射w=f(z)w=f(z)w=f(z)在点 z0z_0z0 处的旋转角(angle of rotation)。易知，旋转角只依赖于点z0z_0z0，而与曲线C 的形状和方向无关。称旋转角的这种性质为旋转角不变性。
由旋转角不变性立即可获得一个重要性质：对于连续函数 w=f(z),z∈Dw=f(z),z∈Dw=f(z),z∈D，若f′(z0)≠0f'(z_0)\neq 0f′(z0)=0，则过点 z0z_0z0 具有切线的任意两条有向连续曲线 C,C1C,C_1C,C1 的夹角(二曲线在点z0z_0z0的切线所夹的角)与象曲线在点 w0=f(z0)w_0 = f(z_0)w0=f(z0) 的夹角保持大小相等且方向相同(即由原象曲线 C,C1C,C_1C,C1 的旋转方向与由象曲线Γ,Γ1Γ,Γ_1Γ,Γ1 的旋转方向是一致的)，该性质称为保角性(Conformal)。
由导数定义，有∣f′(z0)∣=lim⁡z→z0∣f(z)−f(z0)∣∣z−z0∣=r(r≠0)|f'(z_0)|=\lim\limits_{z\to z_0}\dfrac{|f(z)-f(z_0)|}{|z-z_0|}=r\quad (r\neq 0)∣f′(z0)∣=z→z0lim∣z−z0∣∣f(z)−f(z0)∣=r(r=0)
上式表明，像点之间的距离∣f(z)−f(t0)∣|f(z)-f(t_0)|∣f(z)−f(t0)∣与原像点之间的距离∣z−z0∣|z-z_0|∣z−z0∣比值的极限为∣f′(z0)∣|f'(z_0)|∣f′(z0)∣，称这个极限为映射w=f(z)w= f(z)w=f(z)在点 z0z_0z0 的伸缩率(shrinkage)。显然，这伸缩率只依赖于点 z0z_0z0 ，而与曲线C 的形状及方向无关，这种性质称为伸缩率不变性。

共形映射(conformal mapping)
若函数 w=f(z)w = f(z)w=f(z)在 z0z_0z0 的邻域内有定义，且在z0z_0z0具有保角性和伸缩率不变性，则称映射w=f(z)w = f(z)w=f(z)在 z0z_0z0 是共形的，或称 w=f(z)w = f(z)w=f(z)在 z0z_0z0 是共形映射。若映射 w=f(z)w = f(z)w=f(z)在区域G 内每一点都是共形的，则称该映射为区域G 内的共形映射。
单叶函数 (univalent function)：设函数f(z)f(z)f(z)在区域D内解析，且对D内任意不同两点z1z_1z1和z2z_2z2，均有f(z1)≠f(z2)f(z_1)\neq f(z_2)f(z1)=f(z2) ，则称f(z)f(z)f(z)为区域D内的单叶解析函数，简称单叶函数。
由单叶函数的性质知，单叶函数在定义域内为共形映射。
定理 1：设f(z)f(z)f(z)在区域D内单叶解析，则f′(z)≠0,z∈Df'(z)\neq 0,z\in Df′(z)=0,z∈D
保域性定理：设函数f(z)f(z)f(z)在区域D内解析，并且不恒等于常数，则D的像D′=f(D)D'=f(D)D′=f(D)是一个区域，即f(z)f(z)f(z)确定从区域D到区域D′D'D′的一个满射。
定理 2：若函数w=f(z)w = f(z)w=f(z)在 z0z_0z0 解析，且 f′(z0)≠0f'(z_0) ≠ 0f′(z0)=0，则映射w=f(z)w = f(z)w=f(z)是共形的，而且 Arg f′(z0)\text{Arg }f'(z_0)Arg f′(z0) 表示这个映射在 z0z_0z0 的旋转角， ∣f′(z0)∣|f'(z_0)|∣f′(z0)∣ 表示这个映射在 z0z_0z0 的伸缩率。如果解析函数w=f(z)w = f(z)w=f(z)在G 内处处有 f′(z)≠0f'(z) ≠ 0f′(z)=0，则映射w=f(z)w = f(z)w=f(z)是G 内的共形映射。
定理 3：若函数w=f(z)w = f(z)w=f(z)为区域G 内单叶函数，则反函数 z=φ(w)z = φ(w)z=φ(w) 为 G1=f(G)G_1=f(G)G1=f(G) 内单叶函数，并有 φ′(w0)=1f′(z0),z0∈G,w0=f(z0)∈G1φ'(w_0)=\dfrac{1}{f'(z_0)},z_0\in G,w_0=f(z_0)\in G_1φ′(w0)=f′(z0)1,z0∈G,w0=f(z0)∈G1

分式线性映射

分式线性映射：设a,b,c,da,b,c,da,b,c,d为满足ad−bc≠0ad-bc\neq 0ad−bc=0的复常数，称由分式线性函数w=az+bcz+dw=\dfrac{az+b}{cz+d}w=cz+daz+b构成的映射为分式线性映射(Fractional Linear Mapping)。特别的，当c=0c=0c=0时，称为线性映射。
(1) 其中条件限制ad−bc≠0ad-bc\neq 0ad−bc=0是为了映射的保角性，否则将有dwdz=ad−bc(cz+d)2=0\dfrac{dw}{dz}=\dfrac{ad-bc}{(cz+d)^2}=0dzdw=(cz+d)2ad−bc=0，此时w≡w≡w≡ 常数，将会把整个 z平面映射 w平面一个点。
(2) 逆映射 z=−dw+bcw−az=\dfrac{-dw+b}{cw-a}z=cw−a−dw+b满足(−a)(−d)−bc≠0(-a)(-d)-bc\neq 0(−a)(−d)−bc=0，仍为分式线性映射。
(3) 三个基本映射：一个一般的分式线性映射可以分解为几个简单的映射的复合。
当 c=0c=0c=0 时，有 w=az+bd=ad(z+ba)w=\cfrac{az+b}{d}=\cfrac{a}{d}(z+\cfrac{b}{a})w=daz+b=da(z+ab)
当 c≠0c\neq0c=0 时，有 w=az+bcz+d=(b−adc)1cz+d+acw=\cfrac{az+b}{cz+d}=(b-\cfrac{ad}{c})\cfrac{1}{cz+d}+\cfrac{a}{c}w=cz+daz+b=(b−cad)cz+d1+ca
由此可见，分式线性映射可由 w=z+b,w=αz,w=1zw=z+b,w=αz,w=\frac{1}{z}w=z+b,w=αz,w=z1 复合而成。
平移映射(translation)：w=z+bw=z+bw=z+b
旋转和相似映射(rotation and similar)：w=αzw=αzw=αz
设 α=reiθ0,z=∣z∣eiθα=re^{iθ_0},z=|z|e^{iθ}α=reiθ0,z=∣z∣eiθ，则w=r∣z∣ei(θ0+θ)w=r|z|e^{i(θ_0+θ)}w=r∣z∣ei(θ0+θ)
从而 Arg w=Arg z+θ,∣w∣=r∣z∣\text{Arg }w=\text{Arg }z+θ,|w|=r|z|Arg w=Arg z+θ,∣w∣=r∣z∣，即 z点先旋转角度 θ0θ_0θ0，∣z∣|z|∣z∣再伸缩 rrr 倍。
反演映射(inverse)：w=1zw=\dfrac{1}{z}w=z1
设 z=reiθz=re^{iθ}z=reiθ，则w=1rei(−θ)w=\dfrac{1}{r}e^{i(-θ)}w=r1ei(−θ)

反演映射通常分解为两个映射完成：
(1) ξ=1zˉ=1reiθ\xi=\dfrac{1}{\bar z}=\dfrac{1}{r}e^{iθ}ξ=zˉ1=r1eiθ ，∣ξ∣∣z∣=1|\xi||z|=1∣ξ∣∣z∣=1，即 zzz 和 ξ\xiξ关于单位圆周 ∣z∣=1|z|=1∣z∣=1对称²
(2) w=ξˉ=1rei(−θ)w=\bar \xi=\dfrac{1}{r}e^{i(-θ)}w=ξˉ=r1ei(−θ)，ξ\xiξ 和 www关于实轴对称。

分式线性映射的性质
为便于研究分式线性变换在扩充复平面的性质，约定：
(1) 反演映射 w=1zw=\dfrac{1}{z}w=z1将 z=0z=0z=0映射成 w=∞w=∞w=∞， z=∞z=∞z=∞映射成 w=0w=0w=0
(2) 函数 f(z)f(z)f(z)在z=∞z=∞z=∞及其邻域内的性质可由函数 f(1ξ),ξ=1zf(\frac{1}{ξ}),ξ=\frac{1}{z}f(ξ1),ξ=z1在z=0z=0z=0及其邻域内的性质确定。
(3) 在扩充复平面上将直线视作一个过无穷远点的特殊圆周。
共形性(conformity)：分式线性映射在扩充复平面是单叶的，且是共形的。
(1) 线性映射 w=az+b(a≠0)w=az+b(a\neq 0)w=az+b(a=0)是单叶的，且w′(z)=a≠0w'(z)=a\neq 0w′(z)=a=0，显然在扩充复平面是共形的
(2) 反演映射 w=1zw=\dfrac{1}{z}w=z1是单叶的，且w′(z)=−1z2w'(z)=-\dfrac{1}{z^2}w′(z)=−z21，根据约定计算，在扩充复平面是共形的
分式线性映射由线性映射和反演映射复合而成，显然是单叶共形的。
保圆性 (circular)：分式线性映射将扩充复平面上的圆周映射为圆周。
(1) 线性映射 w=az+b(a≠0)w=az+b(a\neq 0)w=az+b(a=0) 将 z平移，旋转，伸缩，且有相同的旋转角 Arg a\text{Arg }aArg a和伸缩因子 ∣a∣|a|∣a∣，故将映射成圆。
(2) 反演映射 w=1zw=\dfrac{1}{z}w=z1，设z=x+iy,w=u+ivz=x+iy,w=u+ivz=x+iy,w=u+iv，可得x=uu2+v2,y=−vu2+v2x=\dfrac{u}{u^2+v^2},y=-\dfrac{v}{u^2+v^2}x=u2+v2u,y=−u2+v2v
对于z平面任意给定的圆 A(x2+y2)+Bx+Cy+D=0A(x^2+y^2)+Bx+Cy+D=0A(x2+y2)+Bx+Cy+D=0，其像曲线满足方程 D(u2+v2)+Bu−Cv+A=0D(u^2+v^2)+Bu-Cv+A=0D(u2+v2)+Bu−Cv+A=0，故仍然为圆。
保对称性(Symmetries)：设点z1,z2z_1,z_2z1,z2是关于圆周C的对称点，则在分式线性映射w=f(z)w=f(z)w=f(z)下，他们的像点w1=f(z1),w2=f(z2)w_1=f(z_1),w_2=f(z_2)w1=f(z1),w2=f(z2)是关于C的像曲线 Γ=f(C)Γ=f(C)Γ=f(C) 对称。
定理 1：在扩充复平面上的两点 z1,z2z_1,z_2z1,z2 是关于圆周C 的对称点的充要条件是通过z1,z2z_1,z_2z1,z2 的任何圆周与圆周C 正交。
对应点公式：若分式性性映射将扩充复平面( z 平面)上3个互异的点 z1,z2,z3z_1,z_2,z_3z1,z2,z3 依次映射为扩充复平面(w平面)上的三点 w1,w2,w3w_1,w_2,w_3w1,w2,w3，则此分式线性映射就唯一确定，且可写成w−w1w−w2:w3−w1w3−w2=z−z1z−z2:z3−z1z3−z2\dfrac{w-w_1}{w-w_2}:\dfrac{w_3-w_1}{w_3-w_2}=\dfrac{z-z_1}{z-z_2}:\dfrac{z_3-z_1}{z_3-z_2}w−w2w−w1:w3−w2w3−w1=z−z2z−z1:z3−z2z3−z1
称 z−z1z−z2:z3−z1z3−z2\dfrac{z-z_1}{z-z_2}:\dfrac{z_3-z_1}{z_3-z_2}z−z2z−z1:z3−z2z3−z1 为z1,z2,z,z3z_1,z_2,z,z_3z1,z2,z,z3的交比(cross ratio)，或称非调和比，记为 (z1,z2,z,z3)(z_1,z_2,z,z_3)(z1,z2,z,z3)
由上式可知，分式线性函数保持交比不变。

部分初等函数的映射性质

指数函数的映射：w=ez=exeiyw=e^z=e^xe^{iy}w=ez=exeiy ，以2πi2π i2πi为周期，在一个周期内为单叶函数。
指数函数将水平带状区域映射为角形区域。
对数函数的映射：w=Ln z=ln⁡z+2kπiw=\text{Ln }z=\ln z+2kπiw=Ln z=lnz+2kπi，主值分支 ln⁡z=ln⁡∣z∣+iarg⁡z\ln z=\ln|z|+i\arg zlnz=ln∣z∣+iargz
对数函数为指数函数反函数，在单值分支内为单叶函数。
取单值分支fk(z)=ln⁡∣z∣+iarg⁡z+2kπif_k(z)=\ln|z|+i\arg z+2kπifk(z)=ln∣z∣+iargz+2kπi
设 z平面内角形区域 z=reiθ(0<θ<θ0⩽2π)z=re^{iθ} (0<θ<θ_0⩽2π)z=reiθ(0<θ<θ0⩽2π)，则 fk(z)=ln⁡∣r∣+i(θ+2kπ)f_k(z)=\ln|r|+i(θ+2kπ)fk(z)=ln∣r∣+i(θ+2kπ)
即将 z平面角形区域映射成 w平面平行于实轴的带形区域.
幂函数的映射：w=zn(n∈Z+)w=z^n(n\in \Z^+)w=zn(n∈Z+)
设z=reiθz=re^{iθ}z=reiθ，则 w=rneinθw=r^{n}e^{inθ}w=rneinθ ，即 ∣w∣=rn,arg⁡w=nθ|w|=r^n,\arg w=nθ∣w∣=rn,argw=nθ
即 z平面角形区域 arg⁡z∈[0,θ0]\arg z\in[0,θ_0]argz∈[0,θ0] 映射为 w平面角形区域 arg⁡w∈[0,nθ0]\arg w \in [0,nθ_0]argw∈[0,nθ0]

共形映射的基本问题示例

共形映射的基本问题是：对任意给定的两个单连通区域G 与G′ ，是否存在一个单叶函数能将G 保形映射成G′ = f(G)？若存在，是否唯一。
黎曼(Riemann)定理：若G 为扩充复平面上的一个单连通区域，其边界点不止一点，则必存在单叶函数w=f(z)w = f(z)w=f(z) 将G映射为单位圆D；若G内某一点满足条件f(z0)=0f(z_0)=0f(z0)=0且f′(z0)>0f'(z_0)>0f′(z0)>0，则映射 w=f(z)w = f(z)w=f(z) 是唯一的。

边界对应定理(boundary correspondence)：设 C为单连通区域G的边界，若函数w=f(z)w=f(z)w=f(z) 在闭区域Gˉ=G∪C\bar G=G∪CGˉ=G∪C上解析，且把CCC双射成C1C_1C1，则函数w=f(z)w=f(z)w=f(z) 在G内部单叶，且把G映射成C1C_1C1包围的区域G1G_1G1
边界对应定理，将区域问题变为考查察边界问题。

将上半平面(半径为无穷大的圆) Im z>0\text{Im }z > 0Im z>0 映射为单位圆盘 ∣w∣<1|w| <1∣w∣<1 的分式线性映射。
解：设 z上平面一点 z=z0(Im z0>0)z=z_0(\text{Im }z_0 > 0)z=z0(Im z0>0)映射到 w平面原点 w=0w=0w=0，有保对称性知，z=zˉ0z=\bar z_0z=zˉ0将映射成w=∞w=∞w=∞，故可设线性映射 w=kz−z0z−zˉ0,k∈Rw=k\dfrac{z-z_0}{z-\bar z_0},k\in\Rw=kz−zˉ0z−z0,k∈R
只须利用该映射将实轴上的点 z = x 映射为单位圆周 ∣w∣=1|w| =1∣w∣=1上的点，即当z = x时，有 ∣w∣=∣kx−z0x−zˉ0∣=∣k∣∣x−z0x−zˉ0∣=∣k∣=1|w|=|k\dfrac{x-z_0}{x-\bar z_0}|=|k||\dfrac{x-z_0}{x-\bar z_0}|=|k|=1∣w∣=∣kx−zˉ0x−z0∣=∣k∣∣x−zˉ0x−z0∣=∣k∣=1，即k=eiθ,θ∈Rk=e^{iθ},θ\in\Rk=eiθ,θ∈R
所求的映射为 w=eiθz−z0z−zˉ0(θ∈R,Im z0>0)w=e^{iθ}\dfrac{z-z_0}{z-\bar z_0}\quad(θ\in\R,\text{Im }z_0 > 0)w=eiθz−zˉ0z−z0(θ∈R,Im z0>0)
求把圆盘 ∣z∣<1|z|<1∣z∣<1 映射成 ∣w∣<1|w|<1∣w∣<1 的分式线性映射。
解：设 z上平面一点 z=z0(∣z0∣<1)z=z_0(|z_0| < 1)z=z0(∣z0∣<1)映射到 w平面原点 w=0w=0w=0，有保对称性知，z=z0z=z_0z=z0关于圆周 ∣z∣=1|z|=1∣z∣=1 的对称点1zˉ0\frac{1}{\bar z_0}zˉ01 将映射成w=∞w=∞w=∞，故可设线性映射 w=kz−z0z−1zˉ0=k′z−z01−zˉ0z,k′=kzˉ0w=k\cfrac{z-z_0}{z-\frac{1}{\bar z_0}}=k'\cfrac{z-z_0}{1-\bar z_0z},k'=k\bar z_0w=kz−zˉ01z−z0=k′1−zˉ0zz−z0,k′=kzˉ0
只须利用该映射将 ∣z∣=1|z|=1∣z∣=1 映射为 ∣w∣=1|w| =1∣w∣=1上的点，即当z = 1时，有 ∣w∣=∣k′1−z01−zˉ0∣=∣k′∣=1|w|=|k'\dfrac{1-z_0}{1-\bar z_0}|=|k'|=1∣w∣=∣k′1−zˉ01−z0∣=∣k′∣=1，即k′=eiθ,θ∈Rk'=e^{iθ},θ\in\Rk′=eiθ,θ∈R
所求的映射为 w=eiθz−z01−zˉ0z(θ∈R,∣z0∣<1)w=e^{iθ}\dfrac{z-z_0}{1-\bar z_0z}\quad(θ\in\R,|z_0| < 1)w=eiθ1−zˉ0zz−z0(θ∈R,∣z0∣<1)
将角形区域 G:0<arg⁡z<π/6G:0<\arg z<π/6G:0<argz<π/6映射为单位圆盘∣w∣<1|w|<1∣w∣<1的映射
z1=z6z_1=z^6z1=z6可将角形区域映射成半平面G1:Im z1>0G_1:\text{Im }z_1>0G1:Im z1>0
又根据上述例 1，取z0=i,θ=0z_0=i,θ=0z0=i,θ=0，通过w=z1−iz1+iw=\dfrac{z_1-i}{z_1+i}w=z1+iz1−i将 G1G_1G1映射成单位圆盘
复合可得 w=z6−iz6+iw=\dfrac{z^6-i}{z^6+i}w=z6+iz6−i
将半圆G:∣z∣<1,Im z>0G:|z|<1,\text{Im }z > 0G:∣z∣<1,Im z>0 映射成上平面 G′:Im w>0G':\text{Im }w > 0G′:Im w>0的映射
w=(z+1z−1)2w=(\dfrac{z+1}{z-1})^2w=(z−1z+1)2
将上半平面(半径为无穷大的圆) G:Im z>0G:\text{Im }z > 0G:Im z>0 映射为一般圆盘 G′:∣w−w0∣<RG':|w-w_0| <RG′:∣w−w0∣<R
首先 GGG 经z1=eiθz−z0z−zˉ0z_1=e^{iθ}\dfrac{z-z_0}{z-\bar z_0}z1=eiθz−zˉ0z−z0映射为G1:∣z1∣<1G_1:|z_1|<1G1:∣z1∣<1
齐次 G1G_1G1经 w=Rz1+w0w=Rz_1+w_0w=Rz1+w0映射为G′:∣w−w0∣<RG':|w-w_0| <RG′:∣w−w0∣<R
复合可得z1=Reiθz−z0z−zˉ0+w0(θ∈R,Im z0>0)z_1=Re^{iθ}\dfrac{z-z_0}{z-\bar z_0}+w_0\quad(θ\in\R,\text{Im }z_0 > 0)z1=Reiθz−zˉ0z−z0+w0(θ∈R,Im z0>0)
茹科夫斯基(Zhukovskii)映射：w=12(z+1z)w=\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z})w=21(z+z1)
(1) 将圆周 ∣z∣=r>1|z| = r>1∣z∣=r>1映射为椭圆周
令z=reiθ,w=u+ivz=re^{iθ},w=u+ivz=reiθ,w=u+iv，则{u=12(r+1r)cos⁡θv=12(r−1r)sin⁡θ\begin{cases} u=\frac{1}{2}(r+\frac{1}{r})\cosθ \\ v=\frac{1}{2}(r-\frac{1}{r})\sinθ \end{cases}{u=21(r+r1)cosθv=21(r−r1)sinθ
像的坐标满足方程 u2a2+v2b2=1\frac{u^2}{a^2}+\frac{v^2}{b^2}=1a2u2+b2v2=1，其中a=12(r+1r),b=12(r−1r)a=\frac{1}{2}(r+\frac{1}{r}),b=\frac{1}{2}(r-\frac{1}{r})a=21(r+r1),b=21(r−r1)
即焦点为(−1,0),(1,0)(-1,0),(1,0)(−1,0),(1,0)的椭圆
(2) 把扩充 z平面的单位圆外部∣z∣>1|z|>1∣z∣>1映射成扩充 w平面去掉割线[−1,1][-1,1][−1,1]的平面
可将单位圆外部视为无穷个圆周∣z∣=r>1|z|=r>1∣z∣=r>1的集合，只须确
定这无穷个圆周的象即。
基于(1) 的讨论，知道这无穷个圆周的象是无穷个椭圆周，并且 lim⁡r→112(r+1r)=1,lim⁡r→112(r−1r)=0\lim\limits_{r\to 1}\frac{1}{2}(r+\frac{1}{r})=1,\lim\limits_{r\to 1}\frac{1}{2}(r-\frac{1}{r})=0r→1lim21(r+r1)=1,r→1lim21(r−r1)=0，即椭圆周的长半轴趋向1，而短半轴趋向0，因而相应的椭圆周便退化为w 平面上的线段[−1,1][-1,1][−1,1]
又lim⁡r→+∞12(r+1r)=+∞,lim⁡r→+∞12(r−1r)=+∞\lim\limits_{r\to +∞}\frac{1}{2}(r+\frac{1}{r})=+∞,\lim\limits_{r\to +∞}\frac{1}{2}(r-\frac{1}{r})=+∞r→+∞lim21(r+r1)=+∞,r→+∞lim21(r−r1)=+∞，故能扫过除[−1,1][-1,1][−1,1]外的整个 w平面。

零点(zero point)：若不恒等于零的解析函数f(z)f(z)f(z)在z0z_0z0的邻域内可以表示成f(z)=(z−z0)mg(z)f(z)=(z-z_0)^mg(z)f(z)=(z−z0)mg(z)，其中g(z)g(z)g(z)在z0z_0z0解析且g(z0)≠0g(z_0)\neq 0g(z0)=0，则称z0z_0z0为f(z)f(z)f(z)的m级(阶)零点。
由g(z0)≠0g(z_0)\neq 0g(z0)=0和g(z)g(z)g(z)的连续性可推得，不恒为零的解析函数的零点是孤立的。
零点判定：若f(z)f(z)f(z)在z0z_0z0解析，则z0z_0z0为函数 f(z)f(z)f(z)的m级零点的充要条件是 f(k)(z0)=0(k=0,1,⋯,m−1);f(m)(z0)≠0f^{(k)}(z_0)=0(k=0,1,\cdots,m-1);\quad f^{(m)}(z_0)\neq 0f(k)(z0)=0(k=0,1,⋯,m−1);f(m)(z0)=0 ↩︎ ↩︎
圆周对称定义：设圆周CCC的半径为RRR，A,BA,BA,B两点位于从圆心OOO出发的射线上，且OA⋅OB=R2OA\cdot OB=R^2OA⋅OB=R2，则称点 AAA与点BBB是关于该圆周的对称点。
约定圆心的对称点为无穷远点 ∞∞∞
↩︎

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