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第一章 函数，连续，极限

1.1 函数

概念和常见的函数

常见函数分类

• 符号函数
• 取整函数
• 隐函数
• 分段函数
• 基本初等函数
  • 常值函数
  • 幂函数
  • 三角函数
  • 指数函数
  • 对数函数
  • 反三角函数

性质

• 周期性
• 单调性
• 奇偶性
• 有界性

1.2 极限

数列极限

定义lim⁡Δx→∞=A定义\;\;\;\lim_{\Delta x \to \infty} =A 定义Δx→∞lim​=A

∀ϵ>0,∃N>0,当n>N时，恒有∣Xn−A∣<ϵ\forall \epsilon>0 ,\exists N>0 ,当n>N时，恒有|X_n-A|< \epsilon ∀ϵ>0,∃N>0,当n>N时，恒有∣Xn​−A∣<ϵ

函数极限

定义lim⁡Δx→∞f(x)=A定义\;\;\;\lim_{\Delta x \to \infty}f(x)=A 定义Δx→∞lim​f(x)=A

∀ϵ>0,∃N，当n>N时，恒有∣f(n)−A∣<ϵ\forall \epsilon >0 ,\exists N ， 当n>N 时，恒有| f(n)-A|<\epsilon ∀ϵ>0,∃N，当n>N时，恒有∣f(n)−A∣<ϵ

性质

• 有界性
• 保号性lim⁡Δx→∞f(x)=A如果A>0,那么∃N>0,当n>N时，f(n)>0\lim_{\Delta x \to \infty}f(x)=A \; 如果A>0,那么\exists N>0,当n>N 时，f(n)>0limΔx→∞​f(x)=A如果A>0,那么∃N>0,当n>N时，f(n)>0$

易错问题

• 分段函数的左极限和右极限
• e∞型的极限e^{\infty}型的极限e∞型的极限
• arctan(∞)型极限arctan(x)x→+∞=π2arctan(\infty)型极限 \qquad arctan(x)_{x \to +\infty}=\frac{\pi}{2}arctan(∞)型极限arctan(x)x→+∞​=2π​

极限和无穷小的关系

• 概念
• 无穷小的比较
  • 高阶lim⁡α(x)β(x)=0\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=0limβ(x)α(x)​=0
  • 低阶lim⁡α(x)β(x)=∞\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\inftylimβ(x)α(x)​=∞
  • 同阶lim⁡α(x)β(x)=A;A≠0\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=A; \;A\ne 0limβ(x)α(x)​=A;A​=0
  • 等价lim⁡α(x)β(x)=1\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1limβ(x)α(x)​=1
• 性质
  • 有限个无穷小量依旧是无穷小
  • 有限个无穷小量的积依旧是无穷小
  • 有界变量乘以无穷小依旧是无穷小

极限存在准则

• 夹逼准则

  一般用在n项和 的地方

• 单调有界准则

  单调增，有上界必有极限

  单调减，有下界必有极限

求极限方法8种

• 利用基本极限求极限

lim⁡Δx→0sinxx=1\lim_{\Delta x \to 0}\frac{sinx}{x}=1limΔx→0​xsinx​=1 lim⁡Δx→0(1+x)1x=e\lim_{\Delta x \to 0 }(1+x)^{\frac{1}{x}}=elimΔx→0​(1+x)x1​=e lim⁡Δx→∞nn=1\lim_{\Delta x \to \infty} \sqrt [n] n=1limΔx→∞​nn​=1

• 利用等阶无穷小代换求极限

  原式	无穷小
  ex−1,tanx,sinx,arcsinx,arctanxe^{x}-1,tanx,sinx,arcsinx,arctanxex−1,tanx,sinx,arcsinx,arctanx	xxx
  1−cosx1-cosx1−cosx	12x2\frac{1}{2} x^221​x2
  1−cosαx1-cos^\alpha x1−cosαx	α2x2\frac{\alpha}{2}x^22α​x2
  (1+βx)α−1(1+\beta x)^\alpha-1(1+βx)α−1	αβx\alpha \beta xαβx
  log⁡a(1+x)−1\log_a(1+x)-1loga​(1+x)−1	xlna\frac{x}{lna}lnax​
  tanx−xtanx-xtanx−x	13x3\frac{1}{3} x^331​x3
  $ x-ln(1+x)$	12x2\frac{1}{2}x^221​x2
  x−sinxx-sinxx−sinx	x36\frac{x^3}{6}6x3​

• 利用有理运算法则求极限

• 利用洛必达求极限

• 利用泰勒公式求极限

  常见的泰勒展开式(拉格朗日余项)

  原式	展开式
  11−x\frac{1}{1-x}1−x1​	=1+x+x2+x3+xn+……=∑n=0∞xn=1+x +x^2+x^3+x^n+…… \\= \sum_{n=0}^{\infty} x^n=1+x+x2+x3+xn+……=∑n=0∞​xn
  exe^xex	=1+x+x22!+x33!+=∑n=0∞xnn!=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ \\ =\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=1+x+2!x2​+3!x3​+=∑n=0∞​n!xn​
  cosxcosxcosx	=1−x22!+x44!−x66=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6} \\ =\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}=1−2!x2​+4!x4​−6x6​=∑n=0∞​(−1)n(2n)!x2n​
  sinxsinxsinx	=x−x33!+x55!−x77!=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)n=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!} \\ =\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)^n}=x−3!x3​+5!x5​−7!x7​=∑n=0∞​(−1)n(2n+1)nx2n+1​
  ln(1+x)ln(1+x)ln(1+x)	=x−x22+x33−x44=∑n=1∞(−1)nxnn=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\\=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{x^n}{n}=x−2x2​+3x3​−4x4​=∑n=1∞​(−1)nnxn​
  tanxtanxtanx	x+x33+o(x3)x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)x+3x3​+o(x3)
  arctanxarctanxarctanx	x−x33+x55+o(x5)x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+o(x^5)x−3x3​+5x5​+o(x5)
  (1+x)α(1+x)^\alpha(1+x)α	1+αx+α(α−1)2!x2+……+α(α−1)(α−n+1)n!xn1+\alpha x+\frac{ \alpha (\alpha -1)}{2!}x^2+……+ \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-n+1)}{n!}x^n1+αx+2!α(α−1)​x2+……+n!α(α−1)(α−n+1)​xn

• 利用夹逼准则求极限

• 利用单调有界准则求极限

• 利用定积分求极限

1.3 连续

定义

若lim⁡Δx→x0f(x)=f(x0)则称y=f(x)在点x0处连续若 \lim_{\Delta x \to x_0} f(x)=f(x_0) 则称y=f(x)在点x_0处连续 若Δx→x0​lim​f(x)=f(x0​)则称y=f(x)在点x0​处连续

间断点

• 定义

若f(x)在x0某去心领域有定义，但在x0处不连续，则称x0为f(x)的间断点若f(x)在x_0某去心领域有定义，但在x_0处不连续，则称x_0为f(x)的间断点 若f(x)在x0​某去心领域有定义，但在x0​处不连续，则称x0​为f(x)的间断点

• 分类

  • 第一类间断点：左右极限均存在

    可去间断点：左极限=右极限

    跳跃间断点：左极限 不等于 右极限

  • 第二类间断点 左右极限至少有一个不存在

    无穷间断点

    震荡间断点

运算和性质

• 零点定理
• 介值定理

第二章 导数

2.1 导数和微分概念

导数定义

f′(x0)=lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0f(x0+Δx）−f(x0)Δxf^\prime(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x）-f(x_0)}{\Delta x} f′(x0​)=Δx→0lim​ΔxΔy​=Δx→0lim​Δxf(x0​+Δx）−f(x0​)​

微分定义

如果Δy=f(x0+Δx)−f(x0)可以表示为Δy=AΔx+o(Δx)(Δ→0)则称函数f(x)在点x0处可微称AΔx为微分，记为dy=AΔx如果\Delta y=f(x_0 +\Delta x)-f(x_0)\;可以表示为\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)\;\; (\Delta \to 0)\\则称 函数f(x)在点x_0处可微 称A\Delta x 为微分，记为dy=A\Delta x 如果Δy=f(x0​+Δx)−f(x0​)可以表示为Δy=AΔx+o(Δx)(Δ→0)则称函数f(x)在点x0​处可微称AΔx为微分，记为dy=AΔx

定理二
函数y=f(x)在点x0处可微的充分必要条件是f(x0)在点x0处可导，且有dy=f′(x0)Δx=f′(x0)dx函数y=f(x)在点x_0 处可微的充分必要条件是f(x_0)在点x_0处可导，且有 \\ dy=f^\prime(x_0)\Delta x=f^\prime(x_0)dx 函数y=f(x)在点x0​处可微的充分必要条件是f(x0​)在点x0​处可导，且有dy=f′(x0​)Δx=f′(x0​)dx

几何意义

• 斜率

• 切线方程

• 法线方程

连续，可导，可微关系

可导⇔可微可导\Leftrightarrow 可微可导⇔可微

可导⇒连续可导\Rightarrow 连续可导⇒连续

可微⇒连续可微\Rightarrow 连续可微⇒连续

一阶可导 推不出 一阶导函数连续

一阶可导 推不出 一阶极限存在

2. 2 导数公式和求导法则

基本初等函数的导数

原函数	导数
sinxsinxsinx	cosxcosxcosx
xαx^\alphaxα	αxα−1\alpha x^{\alpha -1}αxα−1
axa^xax	axlnaa^x lnaaxlna
exe^xex	exe^xex
log⁡ax\log_{a}xloga​x	1xlna\frac{1}{xlna}xlna1​
ln⁡∣x∣\ln\mid x \midln∣x∣	1x\frac{1}{x}x1​
cosxcosxcosx	−sinx-sinx−sinx
tanxtanxtanx	=1cos2x=sec2x=\frac{1}{cos^2x}=sec^2x=cos2x1​=sec2x
1tanx=cotx\frac{1}{tanx}=cotxtanx1​=cotx	−1sin2x=−csc2x-\frac{1}{sin^2x}=-csc^2x−sin2x1​=−csc2x
secx=1cosxsecx=\frac{1}{cosx}secx=cosx1​	secxtanx=sinxcos2xsecxtanx=\frac{sinx}{cos^2x}secxtanx=cos2xsinx​
cscxcscxcscx	−cscxcotx-cscxcotx−cscxcotx
arcsinxarcsinxarcsinx	11−x2\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}1−x2​1​
arccosxarccosxarccosx	−11−x2-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}−1−x2​1​
arctanxarctanxarctanx	11+x2\frac{1}{1+x^2}1+x21​
arccotxarccotxarccotx	−11+x2-\frac{1}{1+x^2}−1+x21​

求导法则

• 有理运算法则

(u+v)′=u′+v′(u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime(u+v)′=u′+v′

(uv)′=u′v+uvprime(uv)^\prime=u^\prime v+uv^prime(uv)′=u′v+uvprime

(uv)=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u^\prime v-uv^\prime}{v^2}(vu​)=v2u′v−uv′​

• 复合函数求导法

• 隐函数求导

F(x,y)=0dydx=−FxFyF(x,y)=0 \; \frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}F(x,y)=0dxdy​=−Fy​Fx​​

• 反函数求导

φ′(x)=1f′(x)\varphi^\prime(x)=\frac{1}{f^\prime(x)}φ′(x)=f′(x)1​

• 参数方程
  y=y(x)是由{x=ϕ(x)y=φ(x),(α<t<β)确定的函数，则dydx=φ′(t)ϕ′(t)y=y(x)是由\begin{cases}x=\phi(x) \\ y=\varphi(x)\end{cases},(\alpha<t<\beta)确定的函数， \\ 则\frac{dy}{dx}=\frac{\varphi^\prime(t)}{\phi^\prime(t)} y=y(x)是由{x=ϕ(x)y=φ(x)​,(α<t<β)确定的函数，则dxdy​=ϕ′(t)φ′(t)​

• 对数求导法

  一般应用成幂指函数

规律

设f(x)可导设f(x)可导设f(x)可导

f(x)是奇函数，则f′(x)是偶函数f(x) 是奇函数，则f^\prime(x)是偶函数f(x)是奇函数，则f′(x)是偶函数

f(x)是偶函数，则f′(x)是奇函数f(x)是偶函数，则f^\prime(x)是奇函数f(x)是偶函数，则f′(x)是奇函数

f(x)是周期函数，则f′(x)也是周期函数f(x)是周期函数，则f^\prime(x)也是周期函数f(x)是周期函数，则f′(x)也是周期函数

2.3 高阶导数

(sinx)(n)=sin(x+nπ2)(sinx)^{(n)}=sin(x+n\frac{\pi}{2})(sinx)(n)=sin(x+n2π​)

(u+v)(n)=u(n)+v(n)(u+v)^{(n)}=u^{(n)}+v^{(n)}(u+v)(n)=u(n)+v(n)

(uv)(n)=∑k=0nCnku(k)v(n−k)(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n C_n^ku^{(k)}v^{(n-k)}(uv)(n)=∑k=0n​Cnk​u(k)v(n−k)

求n 阶导数

• 公式
• 归纳
• 泰勒公式

2.4 相关性

2.5 常见题型

• 导数的定义
• 复合函数，隐函数，参数方程求导
• 高阶导数
• 导数的应用

第三章 微分中值定理及导数应用

3.1 微分中值定理

费马定理

如果函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值,那么f′(x0)=0如果函数f(x)在x_0处可导，且在x_0 处取得极值,那么f^\prime(x_0)=0如果函数f(x)在x0​处可导，且在x0​处取得极值,那么f′(x0​)=0

罗尔定理

若f(x)在[a,b]上连续，f(x)在(a,b)内可导，f(a)=f(b),则∃ξ∈(a,b),f′(ξ)=0若f(x)在[a,b]上连续，f(x)在(a,b)内可导，f(a)=f(b),则\exists \xi \in(a,b) ,f^\prime(\xi)=0若f(x)在[a,b]上连续，f(x)在(a,b)内可导，f(a)=f(b),则∃ξ∈(a,b),f′(ξ)=0

拉格朗日定理

设f(x)在闭区间[a,b]内上连续，在开区间(a,b)上可导，则至少存在一点ξ∈(a,b)使得f(b)−f(a)=f(ξ)(b−a)设f(x)在闭区间[a,b]内上连续，在开区间(a,b)上可导，则至少存在一点\xi \in (a,b) 使得f(b)-f(a)=f(\xi)(b-a)设f(x)在闭区间[a,b]内上连续，在开区间(a,b)上可导，则至少存在一点ξ∈(a,b)使得f(b)−f(a)=f(ξ)(b−a)

柯西中值定理

设f(x),g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且g′(x)≠0,x∈(a,b),至少存在一点ξ∈(a,b),使得f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(x)g′(x)设f(x),g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且g^\prime(x) \neq 0,x\in (a,b),至少存在一点 \xi \in (a,b),使得 \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^\prime (x)}{g^\prime(x)}设f(x),g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且g′(x)​=0,x∈(a,b),至少存在一点ξ∈(a,b),使得g(b)−g(a)f(b)−f(a)​=g′(x)f′(x)​

皮亚诺余项泰勒公式(局部)

• 极限

• 极值

• 麦克劳林公式

拉格朗日余项泰勒公式(整体)

• 不等式
• 最值

3.2 导数的应用

单调性

f′(x)>0f(x)递增f^\prime(x)>0 \; f(x) 递增f′(x)>0f(x)递增

f′(x)<0f(x)递减f^\prime(x)<0 \; f(x) 递减f′(x)<0f(x)递减

极值点

驻点

一阶导数为零。

f′(x)=0f^\prime(x)=0f′(x)=0

最值

曲线的凹凸性

拐点

使函数凹凸性改变的点。

二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在。

f′′(x)<0凸函数f^{\prime \prime}(x)<0 \;凸函数f′′(x)<0凸函数

f′′(x)>0凹函数f^{\prime \prime}(x)>0 \;凹函数f′′(x)>0凹函数

渐进线

• 水平渐进线，最多两条

lim⁡x→∞f(x)=A\lim_{x \to \infty }f(x)=Alimx→∞​f(x)=A

• 垂直渐近线，无穷多条

lim⁡x→x0f(x)=∞\lim_{x \to x_0}f(x)=\inftylimx→x0​​f(x)=∞

• 斜渐近线

lim⁡x→∞f(x)x=ab=lim⁡x→∞f(x)−axy=ax+bs是y=f(x)的渐近线\lim_{x \to \infty }\frac{f(x)}{x}=a \\ b=\lim_{x \to \infty} f(x)-ax\\ y=ax+bs是y=f(x)的渐近线limx→∞​xf(x)​=ab=limx→∞​f(x)−axy=ax+bs是y=f(x)的渐近线

曲率

• 参数方程
  K(t)=∣x′(t)y′′(t)−x′′y′(t)∣((x′(t))2+(y′(t))2)32K(t)=\frac{\mid x^\prime(t)y^{\prime\prime} (t)-x^{\prime \prime}y^\prime(t)\mid}{\left((x^\prime (t))^2+(y^\prime(t))^2 \right)^{\frac{3}{2}}} K(t)=((x′(t))2+(y′(t))2)23​∣x′(t)y′′(t)−x′′y′(t)∣​

• 直角坐标系
  K=∣y′′∣(1+y′2)32K=\frac{\mid y^{\prime \prime}\mid }{(1+y^{\prime 2})^{\frac{3}{2}}} K=(1+y′2)23​∣y′′∣​

• 空间参数曲线 [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-6UzfCqWt-1630029175260)(https://gitee.com/fakerlove/picture_1/raw/master/1.svg)] 的曲率

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  3.3 题型

• 求极限

• 函数的极值和最值，曲线的凹向和拐点

• 曲线的渐近线

• 方程的根

• 不等式的证明

• 中值定理的证明题

第四章 不定积分

4.1 不定积分概念

∫f(x)d(x)=F(x)+C\int f(x)d(x)=F(x)+C∫f(x)d(x)=F(x)+C

• 定理

若f(x)在区间I上连续，在则f(x)在区间I上一定存在原函数若f(x)在区间I 上连续，在则f(x)在区间I 上一定存在原函数若f(x)在区间I上连续，在则f(x)在区间I上一定存在原函数

若f(x)在区间I上有第一类间断点，在则f(x)在区间I上一定不存在原函数若f(x)在区间I 上有第一类间断点，在则f(x)在区间I 上一定不存在原函数若f(x)在区间I上有第一类间断点，在则f(x)在区间I上一定不存在原函数

4.2 基本公式

积分	原函数
∫1cosxdx\int \frac{1}{cosx}dx∫cosx1​dx	ln⁡∣secx+tanx∣+C\ln\mid secx+tanx\mid+Cln∣secx+tanx∣+C
∫cosxdx\int cosxdx∫cosxdx	sinx+Csinx+Csinx+C
∫1sinxdx\int \frac{1}{sinx}dx∫sinx1​dx	ln⁡∣tanx2∣+C\ln \mid tan\frac{x}{2} \mid +Cln∣tan2x​∣+C
∫αxα−1dx\int \alpha x^{\alpha -1} dx∫αxα−1dx	xα+Cx^\alpha +Cxα+C
∫axlnadx\int a^x lna dx∫axlnadx	ax+Ca^x +Cax+C
∫exdx\int e^x dx∫exdx	ex+Ce^x +Cex+C
∫1xlnadx\int \frac{1}{xlna} dx∫xlna1​dx	log⁡ax+C\log_{a}x +Cloga​x+C
∫1xdx\int \frac{1}{x} dx∫x1​dx	ln⁡∣x∣+C\ln\mid x\mid +Cln∣x∣+C
∫−sinxdx\int -sinxdx∫−sinxdx	cosx+Ccosx+Ccosx+C
∫sec2xdx\int sec^2x dx∫sec2xdx	tanx+Ctanx+Ctanx+C
∫−csc2xdx\int -csc^2x dx∫−csc2xdx	1tanx=cotx+C\frac{1}{tanx}=cotx+Ctanx1​=cotx+C
∫secxtanxdx\int secxtanx dx∫secxtanxdx	secx=1cosxsecx=\frac{1}{cosx}secx=cosx1​
∫−cscxcotxdx\int -cscxcotx dx∫−cscxcotxdx	cscx+Ccscx+Ccscx+C
∫11−x2dx\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx∫1−x2​1​dx	arcsinx+Carcsinx+Carcsinx+C
∫−11−x2dx\int -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx∫−1−x2​1​dx	arccosx+Carccosx+Carccosx+C
∫11+x2dx\int \frac{1}{1+x^2} dx∫1+x21​dx	arctanx+Carctanx+Carctanx+C
∫−11+x2dx\int -\frac{1}{1+x^2}dx∫−1+x21​dx	arccotx+Carccotx+Carccotx+C
∫dxa2+x2\int \frac{dx}{a^2+x^2}∫a2+x2dx​	1aarctanxa+C\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+Ca1​arctanax​+C
∫dxx2−a2\int\frac{dx}{x^2-a^2}∫x2−a2dx​	12aln∣x−ax+a∣+C\frac{1}{2a}ln\mid \frac{x-a}{x+a}\mid +C2a1​ln∣x+ax−a​∣+C
$\int \frac{dx}{a2-x2} $	12aln∣a+xa−x∣+C\frac{1}{2a}ln\mid \frac{a+x}{a-x}\mid+C2a1​ln∣a−xa+x​∣+C
∫dxa2−x2\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}∫a2−x2​dx​	arcsinxa+Carcsin\frac{x}{a}+Carcsinax​+C
∫dxx2±a2\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}∫x2±a2​dx​	ln(x+x2±a2)+Cln(x+\sqrt{x^2\pm a^2})+Cln(x+x2±a2​)+C
∫0∞=xne−xdx\int_{0}^\infty=x^ne^{-x}dx∫0∞​=xne−xdx	n!n!n!
∫−∞+∞e−x2dx\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx∫−∞+∞​e−x2dx	π\sqrt{\pi}π​

4.3 三种积分方法

1. 第一类换元法(凑微分)

∫f(u)du=F(u)+C\int f(u)du=F(u)+C∫f(u)du=F(u)+C

• 例题

∫2−x3+2x−x2dx\int \frac{2-x}{\sqrt{3+2x-x^2}}dx∫3+2x−x2​2−x​dx

2. 分部积分

∫udv=uv−∫vdu\int u dv=uv-\int vdu∫udv=uv−∫vdu

适用于两类不同函数相乘，反对幂指三

3. 第二类换元法

设x=ϕ(x)是单调的，可导的函数，并且ϕ′(t)≠0,又∫f[ϕ(t)]ϕ′(t)dt=F(t)+C则∫f(x)dx=∫f[ϕ(t)]ϕ′(t)dt=F(t)+C设x=\phi(x) 是单调的，可导的函数，并且\phi^\prime(t)\ne 0,又\int f[\phi(t)]\phi^\prime(t)dt=F(t)+C \\ 则\int f(x)dx=\int f[\phi(t)]\phi^\prime(t)dt=F(t)+C 设x=ϕ(x)是单调的，可导的函数，并且ϕ′(t)​=0,又∫f[ϕ(t)]ϕ′(t)dt=F(t)+C则∫f(x)dx=∫f[ϕ(t)]ϕ′(t)dt=F(t)+C

• a2−x2\sqrt{a^2-x^2}a2−x2​ x=asintx=asintx=asint
• a2+x2\sqrt{a^2+x^2}a2+x2​ x=atantx=atantx=atant
• x2−a2\sqrt{x^2-a^2}x2−a2​ x=asectx=asectx=asect

4.4 三种常见可积函数的积分

1. 有理函数的积分

∫R(x)dx\int R(x)dx∫R(x)dx ，一定能被积出来

• 一般法，部分分式法

∫x+5x2−6x+13dx\int \frac{x+5}{x^2-6x+13}dx∫x2−6x+13x+5​dx

∫dxx(x9+1)\int \frac{dx}{x(x^9+1)}∫x(x9+1)dx​

2. 三角有理式积分

∫R(sinx,cosx)dx\int R(sinx,cosx) dx∫R(sinx,cosx)dx

• 一般法，万公式tanx2=ttan\frac{x}{2}=ttan2x​=t
• 特殊法，三角换元，分部

3. 简单无理数积分

4. 图片解析

函数	图像
sin1xsin\frac{1}{x}sinx1​
sinxx\frac{sinx}{x}xsinx​
1xsin1x\frac{1}{x}sin\frac{1}{x}x1​sinx1​
x2+1x2−1渐近线有垂直还有其他的\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2-1}}渐近线有垂直还有其他的x2−1​x2+1​渐近线有垂直还有其他的
xsinx\frac{x}{sinx}sinxx​

第五章 定积分和反常积分

5.1 定积分

题型

• 定积分概念，性质和几何意义
• 变上限定积分
• 定积分的计算

概念性质

• 定积分存在的充分条件

f(x)在[a,b]上连续，则f(x)可积f(x)在[a,b]上连续，则f(x)可积f(x)在[a,b]上连续，则f(x)可积

f(x)在[a,b]上有界且只有有限个间断点,则f(x)可积f(x)在[a,b]上有界且只有有限个间断点,则f(x)可积f(x)在[a,b]上有界且只有有限个间断点,则f(x)可积

f(x)在[a,b]上仅有有限个第一类间断点，则f(x)可积f(x)在[a,b]上仅有有限个第一类间断点，则f(x)可积f(x)在[a,b]上仅有有限个第一类间断点，则f(x)可积

• 不等式

m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a)m(b-a)\leq \int_{a}^bf(x)dx \leq M(b-a)m(b−a)≤∫ab​f(x)dx≤M(b−a)

• 中值定理

f(x)函数可积，函数一定有定积分,F(x)连续有界f(x)在x=x0处连续，则∣f(x)∣在x=x0处连续f(x)函数可积，函数一定有定积分,F(x)连续有界\\ f(x)在x=x_0 处连续，则\mid f(x)\mid 在x=x_0 处连续 f(x)函数可积，函数一定有定积分,F(x)连续有界f(x)在x=x0​处连续，则∣f(x)∣在x=x0​处连续

积分上限函数

设f(x)在[a,b]上连续，则∫axf(t)dt在[a,b]上可导且(∫axf(t)dt)′=f(x)设f(x) 在[a,b] 上连续，则\int_a^xf(t)dt 在[a,b]上可导且\left( \int_a^xf(t)dt\right)^\prime=f(x)设f(x)在[a,b]上连续，则∫ax​f(t)dt在[a,b]上可导且(∫ax​f(t)dt)′=f(x)

(∫exx2f(t)dt)′=(∫ex0f(t)dt+∫0x2f(t)dt)′\left(\int_{e^x}^{x^2}f(t)dt\right)^\prime=\\\ \left( \int_{e^x}^0f(t)dt+\int_0^{x^2}f(t)dt\right)^\prime(∫exx2​f(t)dt)′= (∫ex0​f(t)dt+∫0x2​f(t)dt)′

总结:(∫φ(x)ϕ(x)f(t)dt=f(ϕ(x)ϕ′(x)−f(φ(x))ϕ′(x))总结:\left(\int_{\varphi(x)}^{\phi(x)}f(t)dt=f(\phi(x)\phi^\prime(x)-f(\varphi(x))\phi^\prime(x)\right)总结:(∫φ(x)ϕ(x)​f(t)dt=f(ϕ(x)ϕ′(x)−f(φ(x))ϕ′(x))

例题

∫0x(x−t)f(t)dt\int_0^x(x-t)f(t)dt∫0x​(x−t)f(t)dt

∫12f(x+t)dt\int_1^2f(x+t)dt∫12​f(x+t)dt

定积分的计算

• 牛顿-莱布尼兹公式

∫abf(x)dx=F(a)−F(b)\int_a^bf(x)dx=F(a)-F(b)∫ab​f(x)dx=F(a)−F(b)

• 换元法

• 分布积分法

• 利用周期性，奇偶性

• 利用公式

  名称
  华莱士公式	In=∫0π2sinnxdx=∫0π2cosnxdx={n−1nn−3n−2……1212π(n为偶数)n−1nn−3n−2……4523(n为大于1的奇数)I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}sin^nxdx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}cos^nxdx = \begin{cases} \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}……\frac{1}{2}\frac{1}{2}\pi \; (n 为偶数) \\ \frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2} ……\frac{4}{5} \frac{2}{3} \;(n 为大于1 的奇数) \end{cases}In​=∫02π​​sinnxdx=∫02π​​cosnxdx={nn−1​n−2n−3​……21​21​π(n为偶数)nn−1​n−2n−3​……54​32​(n为大于1的奇数)​
  伽马公式	Γ(x)=∫0∞tx−1e−tdt\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dtΓ(x)=∫0∞​tx−1e−tdt Γ(x+1)=xΓ(x)\Gamma(x+1)=x \Gamma(x)Γ(x+1)=xΓ(x) Γ(n+1)=n!\Gamma(n+1)=n!Γ(n+1)=n! Γ(1)=1Γ(12=π)\Gamma(1)=1\;\Gamma(\frac{1}{2}=\sqrt{\pi})Γ(1)=1Γ(21​=π​)
  	∫0πxf(sinx)dx=π2∫0πf(sinx)dx\int_0^\pi xf(sinx)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(sinx)dx∫0π​xf(sinx)dx=2π​∫0π​f(sinx)dx

可爱因子

lim⁡n→∞(1n+1+1n+2+………1n+n)=\lim_{n \to \infty}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+………\frac{1}{n+n})=limn→∞​(n+11​+n+21​+………n+n1​)=

• 先提1n\frac{1}{n}n1​

• 然后看lim⁡n→∞1n∑i∞f(ξi)\lim_{n \to \infty }\frac{1}{n} \sum_i^\infty f(\xi_i)limn→∞​n1​∑i∞​f(ξi​)

• f(ξi)就是积分f(\xi_i) 就是积分f(ξi​)就是积分

• 此题就是lim⁡n→∞1n[11+1n+11+2n+11+3n+……11+nn]\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\left[\frac{1}{1+\frac{1}{n}}+\frac{1}{1+\frac{2}{n}}+\frac{1}{1+\frac{3}{n}}+……\frac{1}{1+\frac{n}{n}}\right]limn→∞​n1​[1+n1​1​+1+n2​1​+1+n3​1​+……1+nn​1​]

=∫0111+xdx=\int_0^1\frac{1}{1+x}dx=∫01​1+x1​dx

看变化部分

n→∞时，变化主体=0就用夹逼定理n\to \infty 时，\frac{变化}{主体}=0 就用夹逼定理n→∞时，主体变化​=0就用夹逼定理

n→∞时，变化主体=A≠0就用定积分n\to \infty 时，\frac{变化}{主体}=A\ne 0 就用定积分n→∞时，主体变化​=A​=0就用定积分

5.2 反常积分

无穷区间上的积分

∫a+∞=lim⁡t→+∞∫atf(x)dx\int_a^{+\infty}=\lim_{t \to +\infty}\int_a^tf(x)dx∫a+∞​=limt→+∞​∫at​f(x)dx

∫−∞b=lim⁡t→−∞∫tbf(x)dx\int_{-\infty}^{b}=\lim_{t \to -\infty}\int_t^bf(x)dx∫−∞b​=limt→−∞​∫tb​f(x)dx

常用结论
∫a+∞1xPdx;{P>1收敛p≤1发散\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^P}dx;\begin{cases} P>1\; 收敛 \\ p\leq 1\; 发散\end{cases} ∫a+∞​xP1​dx;{P>1收敛p≤1发散​

无界函数的反常积分

设a为f(x)的无界点，∫abf(x)dx=lim⁡t→a+∫tbf(x)dx设a为f(x)的无界点，\int_a^bf(x)dx=\lim_{t \to a^+}\int_t^bf(x)dx设a为f(x)的无界点，∫ab​f(x)dx=limt→a+​∫tb​f(x)dx

常用结论
∫ab1(x−a)Pdx;{P<1收敛p≥1发散\int_a^{b} \frac{1}{(x-a)^P}dx;\begin{cases} P<1\; 收敛 \\ p\ge 1\; 发散\end{cases} ∫ab​(x−a)P1​dx;{P<1收敛p≥1发散​

题型

• 反常积分的敛散性
• 反常积分的计算

第六章 定积分应用

6.1 几何应用

平面图形的面积

• 坐标系

∫ab[f(x)−g(x)]dx\int_a^b[f(x)-g(x)]d x∫ab​[f(x)−g(x)]dx

• 极坐标

12∫αβρ2(θ)dθ\frac{1}{2} \int_\alpha^\beta \rho^2(\theta)d\theta21​∫αβ​ρ2(θ)dθ

旋转体体积

• 绕x轴转

Vx=π∫abf2(x)dxV_x=\pi\int_a^bf^2(x)d xVx​=π∫ab​f2(x)dx

如果是参数方程 直接往里面带

• 绕y轴转

Vy=2π∫abxf(x)dxV_y=2\pi \int_a^bx f(x) d xVy​=2π∫ab​xf(x)dx

• 万能公式

V=2π∬Dr(x,y)dσV=2\pi\iint_D r(x,y)d\sigma V=2π∬D​r(x,y)dσ

曲线弧长

• 坐标系

s=∫ab1+y′2dxs=\int_a^b \sqrt{1+y^{\prime 2}} d xs=∫ab​1+y′2​dx

• 参数方程

s=∫αβx′2+y′2dts=\int_\alpha^\beta \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}} d ts=∫αβ​x′2+y′2​dt

• 极坐标

s=∫αβρ2+ρ′2dθs=\int_\alpha^\beta \sqrt{\rho^2+\rho^{\prime 2}}d \thetas=∫αβ​ρ2+ρ′2​dθ

旋转体侧面积

S=2π∫abf(x)1+f′2(x)dxS=2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}d x S=2π∫ab​f(x)1+f′2(x)​dx

6.2 物理应用

压力

变力做功

引力

第七章 微分方程

7.1 常微分方程的基本概念

• 微分方程
• 微分方程的阶
• 微分方程的解
• 微分方程的通解
• 微分方程的特解

7.2 一阶微分方程

• 可分离变量的方程

  y′=f(x)f(y)y^\prime=f(x)f(y)y′=f(x)f(y)

• 齐次方程

  dydx=φ(yx)\frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}{x})dxdy​=φ(xy​)

  令yx=uu+xdudx=φ(u)令\frac{y}{x}=u\\ u+x\frac{du}{dx}=\varphi(u)令xy​=uu+xdxdu​=φ(u)

• 线性方程

  y′+P(x)y=Q(x)y^\prime+P(x)y=Q(x)y′+P(x)y=Q(x)

通解y=e−∫p(x)dx[∫Q(x)e∫p(x)dxdx+C]通解 y=e^{-\int p(x)dx}\left[ \int Q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C\right] 通解y=e−∫p(x)dx[∫Q(x)e∫p(x)dxdx+C]

• 伯努利方程

y′+P(x)y=Q(x)yα令y1−α=uy^\prime +P(x)y=Q(x)y^\alpha \\ 令y^{1-\alpha=u}y′+P(x)y=Q(x)yα令y1−α=u

• 全微分方程

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

∂P∂y=∂Q∂x\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}∂y∂P​=∂x∂Q​

• 偏积分
• 凑微分
• 线积分

7.3 可降阶的高阶方程

• y′′=f(x)y^{\prime \prime}=f(x)y′′=f(x)

• y′′=f(x,y′)y^{\prime \prime}=f(x,y^\prime)y′′=f(x,y′)

  令y′=py′′=dpdx令y^\prime=p \\ y^{\prime \prime} =\frac{d p}{d x}令y′=py′′=dxdp​

• y′′=f(y,y′)y^{\prime \prime}=f(y,y^\prime)y′′=f(y,y′)

  令y′=p,y′′=PdPdy令y^\prime=p,y^{\prime \prime}=P\frac{dP}{dy}令y′=p,y′′=PdydP​

7.4 高阶线性微分方程

齐次方程

y′′+p(x)y′+q(x)y=0y^{\prime \prime}+p(x)y^\prime+q(x)y=0y′′+p(x)y′+q(x)y=0

通解为
如果y1(x)和y2(x)是齐次方程的两个线性无关的特解,那么Y=C1y1(x)+C2y2(x)如果y_1(x)和y_2(x)是齐次方程的两个线性无关的特解,那么Y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) 如果y1​(x)和y2​(x)是齐次方程的两个线性无关的特解,那么Y=C1​y1​(x)+C2​y2​(x)

非齐次方程

y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)y^{\prime \prime}+p(x)y^\prime+q(x)y=f(x)y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)

通解为
如果y∗为非齐次方程是一个特解，y1(x)和y2(x)是齐次方程的两个线性无关的特解,那么Y=C1y1(x)+C2y2(x)+y∗(x)如果y^*为非齐次方程是一个特解，y_1(x)和y_2(x)是齐次方程的两个线性无关的特解,那么Y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+y^*(x) 如果y∗为非齐次方程是一个特解，y1​(x)和y2​(x)是齐次方程的两个线性无关的特解,那么Y=C1​y1​(x)+C2​y2​(x)+y∗(x)

常系数齐次线性微分方程

y′′+py′+qy=0y^{\prime \prime }+py^\prime+qy=0y′′+py′+qy=0

特征方程

r2+pr+q=0r1,r2为特征方程的两个根r^2+pr+q=0\\ r1,r2 为特征方程的两个根r2+pr+q=0r1,r2为特征方程的两个根

情况		解
共轭复根	r1,2=α±iβr_{1,2}=\alpha \pm i\betar1,2​=α±iβ	y=eαx(C1cos(βx)+C2sin(βx))y=e^{\alpha x}(C_1cos(\beta x)+C_2sin(\beta x))y=eαx(C1​cos(βx)+C2​sin(βx))
相等根	r1≠r2r_1\ne r_2r1​​=r2​	y=C1er1x+C2er2xy=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}y=C1​er1​x+C2​er2​x
不相等根	r1=r2=rr_1=r_2=rr1​=r2​=r	y=erx(C1+C2x)y=e^{rx}(C_1+C_2x)y=erx(C1​+C2​x)

常系数非齐次线性微分方程

y′′+py′+qy=f(x)y^{\prime \prime }+py^\prime+qy=f(x)y′′+py′+qy=f(x)

f(x)=eλxPm(x)f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)f(x)=eλxPm​(x)	y∗=xkQm(x)eλxy^*=x^kQ_m(x)e^{\lambda x}y∗=xkQm​(x)eλx	特征方程的根和没有λ相同k=0特征方程的根和没有\lambda 相同\;k=0特征方程的根和没有λ相同k=0 特$特征方程的根和没有\lambda 相同，但是只有一个;k=1<br/>1<br/>1<br/>特征方程的根和 有\lambda 相同,且有两个;k=2$
f(x)=eαx[Pl(1)(x)cosβx+Pn(2)(x)sinβx]f(x)=e^{\alpha x}[P_l^{(1)}(x)cos\beta x+P_n^{(2)}(x)sin\beta x]f(x)=eαx[Pl(1)​(x)cosβx+Pn(2)​(x)sinβx]	y∗=xkeαx[Rm(1)(x)cosβx+Rm(2)(x)sinβx]y^*= x^ke^{\alpha x}[R_m^{(1)}(x)cos\beta x+R_m^{(2)}(x)sin \beta x]y∗=xkeαx[Rm(1)​(x)cosβx+Rm(2)​(x)sinβx]	m=maxl,n,k看共轭复根重复个数m=max{l,n},k看共轭复根重复个数m=maxl,n,k看共轭复根重复个数

7.5 题型

• 微分方程求解
• 应用题
• 综合题

第八章 多元函数微分学

8.1 重极限，连续，偏导数，全微分

二元函数

二元函数的极限

• 取绝对值，然后夹逼准则

多元函数的连续性

• 概念

lim⁡(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0)\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)lim(x,y)→(x0​,y0​)​f(x,y)=f(x0​,y0​)

• 性质

  多元连续函数 和，差，积，商依旧是连续函数

  复合函数依旧为连续函数

  多元初等函数再其定义域内连续

• 计算二重极限

  • 极限性质

偏导数(不会)

• 定义

fx(x0,y0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δx=ddxf(x,y0)∣x=x0f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=\frac{d}{dx}f(x,y_0)|_{x=x_0}fx​(x0​,y0​)=limΔx→0​Δxf(x0​+Δx,y0​)−f(x0​,y0​)​=dxd​f(x,y0​)∣x=x0​​

fy(x0,y0)=lim⁡Δx→0f(x0,y0+Δy)−f(x0,y0)Δy=ddyf(x0,y)∣y=y0f_y(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}=\frac{d}{dy}f(x_0,y)|_{y=y_0}fy​(x0​,y0​)=limΔx→0​Δyf(x0​,y0​+Δy)−f(x0​,y0​)​=dyd​f(x0​,y)∣y=y0​​

求导数，先带后求。求x在某处偏导数是否存在

先带后求，fx′(x,0),在带x=0直接先求导数fx′,然后再带x=0,y=0,如果两个相等，说明偏导数∂f∂x在(x0,y)处连续先带后求，f^\prime _x(x,0),在带x=0 \\ 直接先求导数 f^\prime_x ,然后再带x=0,y=0 ,如果两个相等，说明偏导数\frac{\partial f}{\partial x}在(x_0,y)处连续 先带后求，fx′​(x,0),在带x=0直接先求导数fx′​,然后再带x=0,y=0,如果两个相等，说明偏导数∂x∂f​在(x0​,y)处连续

全微分

若Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)=AΔx+BΔy+o(ρ)若\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)若Δz=f(x0​+Δx,y0​+Δy)−f(x0​,y0​)=AΔx+BΔy+o(ρ)

可微存在的必要条件
如果z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则在点(x0,y0)处∂z∂x,∂z∂y必定存在，且dz=∂z∂xdx+∂z∂ydy如果z=f(x,y)在点(x_0,y_0)处可微，则在点(x_0,y_0)处 \frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}必定存在 ，且\\ dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy 如果z=f(x,y)在点(x0​,y0​)处可微，则在点(x0​,y0​)处∂x∂z​,∂y∂z​必定存在，且dz=∂x∂z​dx+∂y∂z​dy
可导可以推出两个偏导数都存在，
在f(x,y)在x0,y0处可微，∂f(x0,y0)∂x=0,∂f(x0,y0)∂y=0在f(x,y)在x_0,y_0 处可微，\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}=0,\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}=0 在f(x,y)在x0​,y0​处可微，∂x∂f(x0​,y0​)​=0,∂y∂f(x0​,y0​)​=0

• 用定义判定可微性

fx(x0,y0)与fy(x0,y0)是否都存在f_x(x_0,y_0)与f_y(x_0,y_0)是否都存在fx​(x0​,y0​)与fy​(x0​,y0​)是否都存在

lim⁡(Δx,Δy)→(0,0)Δz−∣fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy∣(Δx)2+(Δy)2是否为零\lim_{(\Delta x,\Delta y )\to(0,0)} \frac{\Delta z-|f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y|}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} 是否为零lim(Δx,Δy)→(0,0)​(Δx)2+(Δy)2​Δz−∣fx​(x0​,y0​)Δx+fy​(x0​,y0​)Δy∣​是否为零

连续，可导，可微的关系

如果z=f(x,y)的偏导数,∂z∂x,∂z∂y在点(x0,y0)处连续，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微如果z=f(x,y)的偏导数,\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}在点(x_0,y_0)处连续，则函数z=f(x,y)在点(x_0,y_0)处可微如果z=f(x,y)的偏导数,∂x∂z​,∂y∂z​在点(x0​,y0​)处连续，则函数z=f(x,y)在点(x0​,y0​)处可微

连续 推不出 偏导

偏导 推不出 连续

连续 推不出 可微

可微⇒偏导可微 \Rightarrow 偏导可微⇒偏导

可微⇒连续可微 \Rightarrow 连续可微⇒连续

题型

连续性，可导性，可微性

8.2 多元函数微分法

复合函数微分法

设u=u(x,y),v=v(x,y)在点（x,y）处有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)处连续偏导数，则z=f[u(x,y),z(x,y)]在点(x,y)处的两个偏导数存在，且有∂z∂x=∂z∂u∂u∂x+∂z∂v∂v∂x，∂z∂y=∂z∂u∂u∂y+∂z∂v∂v∂y设u=u(x,y),v=v(x,y)在点（x,y）处有对x及对y的偏导数，\\函数z=f(u,v)在对应点(u,v)处连续偏导数，\\则z=f[u(x,y),z(x,y)]在点(x,y)处的两个偏导数存在，且有\\ \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}，\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y} 设u=u(x,y),v=v(x,y)在点（x,y）处有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)处连续偏导数，则z=f[u(x,y),z(x,y)]在点(x,y)处的两个偏导数存在，且有∂x∂z​=∂u∂z​∂x∂u​+∂v∂z​∂x∂v​，∂y∂z​=∂u∂z​∂y∂u​+∂v∂z​∂y∂v​

全微分不变性

dz=∂z∂xdx+∂z∂ydy=∂z∂udu+∂z∂vdvdz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dvdz=∂x∂z​dx+∂y∂z​dy=∂u∂z​du+∂v∂z​dv

隐函数微分法

由方程F(x,y,z)=0，确定的隐函数z=z(x,y),由方程F(x,y,z)=0，确定的隐函数z=z(x,y),由方程F(x,y,z)=0，确定的隐函数z=z(x,y),

∂z∂x=−Fx′Fz′\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x^\prime}{F_z^\prime}∂x∂z​=−Fz′​Fx′​​

∂z∂y=−Fy′Fz′\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y^\prime}{F_z^\prime}∂y∂z​=−Fz′​Fy′​​

8.3 多元函数的极限和最值

无约束极值

设z=f(x,y)在点（x0,y0)存在偏导数，且(x0,y0)为f(x,y)极值点，则fx′(x0,y0)=0,fy′(x0,y0)=0,设z=f(x,y)在点（x_0,y_0)存在偏导数，且(x_0,y_0)为f(x,y)极值点，则\\ f_x^\prime(x_0,y_0)=0,f_y^\prime(x_0,y_0)=0, 设z=f(x,y)在点（x0​,y0​)存在偏导数，且(x0​,y0​)为f(x,y)极值点，则fx′​(x0​,y0​)=0,fy′​(x0​,y0​)=0,

fx′(x0,y0)=0,fy′(x0,y0)=0,这样子的点叫做驻点，极值点⇒驻点，在某一段有界连续区间内，函数只有唯一的极值点，取得极值点的地方不一定是最大值或者是最小值。但是在一元函数上是成立的f_x^\prime(x_0,y_0)=0,f_y^\prime(x_0,y_0)=0, 这样子的点叫做驻点，极值点 \Rightarrow 驻点 ，\\ 在某一段有界连续区间内，函数只有唯一的极值点，取得极值点的地方不一定是最大值或者是最小值。但是在一元函数上是成立的 fx′​(x0​,y0​)=0,fy′​(x0​,y0​)=0,这样子的点叫做驻点，极值点⇒驻点，在某一段有界连续区间内，函数只有唯一的极值点，取得极值点的地方不一定是最大值或者是最小值。但是在一元函数上是成立的

求极值
令fx′(x0,y0)=0,fy′(x0,y0)=0,求出x,y的值然后求A=fxx′,B=fxy′,C=fyy′,AC−B2>0,有极值，A>0有极小值，A<0有极大值AC−B2<0,表示没有极值，AC−B2=0，有待进一步商讨令f_x^\prime(x_0,y_0)=0,f_y^\prime(x_0,y_0)=0,\\ 求出x,y 的值 \\ 然后求A=f^\prime_{xx},B=f^\prime_{xy},C=f^\prime_{yy},\\ AC-B^2>0,有极值，A>0 有极小值，A<0有极大值\\ AC-B^2<0,表示没有极值，\\ AC-B^2=0，有待进一步商讨 令fx′​(x0​,y0​)=0,fy′​(x0​,y0​)=0,求出x,y的值然后求A=fxx′​,B=fxy′​,C=fyy′​,AC−B2>0,有极值，A>0有极小值，A<0有极大值AC−B2<0,表示没有极值，AC−B2=0，有待进一步商讨

条件极值与拉格朗日乘法

函数f(x,y)在条件φ(x,y)=0条件下的极值函数f(x,y)在条件 \varphi(x,y)=0条件下的极值函数f(x,y)在条件φ(x,y)=0条件下的极值

拉格朗日函数
令F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y){Fx=fx′(x,y)+λφx′(x,y)=0Fy=fy′(x,y)+λφy′(x,y)=0Fλ=φ(x,y)=0令F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda \varphi(x,y) \\ \begin{cases} F_x=f_x^\prime(x,y)+\lambda \varphi_x^\prime(x,y)=0\\ F_y=f_y^\prime(x,y)+\lambda \varphi_y^\prime(x,y)=0\\ F_\lambda=\varphi(x,y)=0 \end{cases} 令F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)⎩⎪⎨⎪⎧​Fx​=fx′​(x,y)+λφx′​(x,y)=0Fy​=fy′​(x,y)+λφy′​(x,y)=0Fλ​=φ(x,y)=0​
函数f(x,y)在条件φ(x,y)=0,ϕ(x,y,z)=0条件下的极值函数f(x,y)在条件 \varphi(x,y)=0,\phi(x,y,z)=0条件下的极值函数f(x,y)在条件φ(x,y)=0,ϕ(x,y,z)=0条件下的极值

令F(x,y,λ)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)+μϕ(x,y,z)令F(x,y,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda \varphi(x,y,z)+\mu \phi(x,y,z)令F(x,y,λ)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)+μϕ(x,y,z)

最大最小值

题型

• 求极值
• 求最大最小值
• 最大值和最小值应用题

8.4 伯努利方程

y′+P(x)y=Q(x)yny−ny′+p(x)y1−n=Q(x)令u=y1−n,方程就变成了11−ndudx+p(x)u=Q(x),就可以进行微分方程的求解y^\prime+P(x)y=Q(x)y^n \\ y^{-n}y^\prime +p(x)y^{1-n}=Q(x) \\ 令u=y^{1-n},方程就变成了\\ \frac{1}{1-n}\frac{du}{dx}+p(x)u=Q(x),就可以进行微分方程的求解 y′+P(x)y=Q(x)yny−ny′+p(x)y1−n=Q(x)令u=y1−n,方程就变成了1−n1​dxdu​+p(x)u=Q(x),就可以进行微分方程的求解

8.5 欧拉方程

xny(n)+p1xn−1y(n−1)++pn−1xy′+pn=f(x)令x=et,t=lnx,dtdx=1xx^ny^{(n)}+p_1x^{n-1}y^{(n-1)}++p_{n-1}xy^\prime+p_n=f(x)\\ 令x=e^t,t=lnx,\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x} xny(n)+p1​xn−1y(n−1)++pn−1​xy′+pn​=f(x)令x=et,t=lnx,dxdt​=x1​

第九章 二重积分

9.1 二重概念的概念与性质

∬Df(x,y)dσ=lim⁡λ→0∑i=1nf(xi,yi)Δσi\iint_Df(x,y)d\sigma =\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^n f(x_i,y_i)\Delta \sigma_i ∬D​f(x,y)dσ=λ→0lim​i=1∑n​f(xi​,yi​)Δσi​

9.2 二重积分计算

• 利用直角坐标系

  先y后x

  先x后y

• 利用极坐标

先ρ后θ∬Df(x,y)dσ=∫αβdθ∫φ1(θ)φ2(θ)f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ先\rho 后\theta \iint_D f(x,y)d\sigma =\int_\alpha^\beta d\theta\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}f(\rho cos\theta,\rho sin\theta)\rho d\rho先ρ后θ∬D​f(x,y)dσ=∫αβ​dθ∫φ1​(θ)φ2​(θ)​f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ

• 利用极坐标计算的被积函数

f(x2+y2,f(yx),f(xy)f(\sqrt{x^2+y^2},f(\frac{y}{x}),f(\frac{x}{y})f(x2+y2​,f(xy​),f(yx​)

适合用极坐标的积分域，

x2+y2≤R2x^2+y^2 \leq R^2x2+y2≤R2

r2≤x2+y2≤R2r^2\leq x^2+y^2\leq R^2r2≤x2+y2≤R2

x2+y2≤2axx^2+y^2 \leq 2axx2+y2≤2ax

• 利用对称性和奇偶性计算若积分域D关于y 轴对称，则
  ∬Df(x,y)dσ={2∬Dx≥0f(x,y)dσ;f(−x,y)=f(x,y)0;f(−x,y)=−f(x,y)\iint_Df(x,y)d\sigma=\begin{cases} 2\iint_{D_x\ge0}f(x,y)d\sigma ;f(-x,y)=f(x,y)\\ 0;f(-x,y)=-f(x,y) \end{cases} ∬D​f(x,y)dσ={2∬Dx​≥0​f(x,y)dσ;f(−x,y)=f(x,y)0;f(−x,y)=−f(x,y)​

• 利用变量对称性计算

  若D 关于y=x 对称,则

∬Df(x,y)dσ=∬Df(y,x)dσ\iint_{D} f(x,y)d\sigma=\iint_D f(y,x)d\sigma∬D​f(x,y)dσ=∬D​f(y,x)dσ

9.3 题型

• 累次积分交换次序及计算
• 二重积分的计算

第十章 无穷级数

10.1 常数项级数

级数的概念与性质

• 概念

∑n=1∞un=u1+u2+u3+……+un+……\sum_{n=1}^\infty u_n=u_1+u_2+u_3+……+u_n+……∑n=1∞​un​=u1​+u2​+u3​+……+un​+……

Sn=∑i=1nui=lim⁡n→∞snS_n=\sum_{i=1}^n u_i=\lim_{n \to \infty}s_nSn​=∑i=1n​ui​=limn→∞​sn​

极限存在，就收敛

极限不存在，就发散

• 性质

若∑n=1∞un收敛于s,则∑n=1∞kun也收敛，且其和为ks若\sum_{n=1}^\infty u_n 收敛于s,则\sum_{n=1}^\infty ku_n 也收敛，且其和为ks若∑n=1∞​un​收敛于s,则∑n=1∞​kun​也收敛，且其和为ks

收敛±发散=发散收敛 \pm 发散=发散收敛±发散=发散

发散±发散=不确定发散\pm 发散=不确定发散±发散=不确定

在级数中去掉，加上或改变有限项不影响级数的敛散性

收敛级数加括号仍收敛且和不变

级数的审敛准则

• 正项级数

∑n=1∞un收敛⇔sn上有界\sum_{n=1}^\infty u_n收敛 \Leftrightarrow s_n 上有界∑n=1∞​un​收敛⇔sn​上有界

判别方法

• 比较判别法

un≤vnu_n\le v_nun​≤vn​

∑n=1∞vn收敛⇒∑n=1∞un收敛\sum_{n=1}^\infty v_n 收敛 \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty u_n 收敛∑n=1∞​vn​收敛⇒∑n=1∞​un​收敛

• 比较法极限形式

lim⁡n→∞unvn=l\lim_{n \to \infty }\frac{u_n}{v_n}=llimn→∞​vn​un​​=l

{0<l<∞,则∑n=1∞un与∑n=1∞vn同敛散l=0，则∑n=1∞vn收敛⇒un收敛，∑n=1∞un发散⇒∑n=1∞vn发散\begin{cases} 0<l< \infty ,则\sum_{n=1}^{\infty}u_n 与\sum_{n=1}^{\infty}v_n 同敛散 \\ l=0 ，则\sum_{n=1}^{\infty}v_n 收敛\Rightarrow u_n收敛，\sum_{n=1}^{\infty} u_n 发散\Rightarrow\sum_{n=1}^{\infty}v_n 发散\end{cases}{0<l<∞,则∑n=1∞​un​与∑n=1∞​vn​同敛散l=0，则∑n=1∞​vn​收敛⇒un​收敛，∑n=1∞​un​发散⇒∑n=1∞​vn​发散​

• 常用级数

∑n=1∞1np,p>1时收敛，p≤时发散\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p},p>1 时收敛，p\le 时发散∑n=1∞​np1​,p>1时收敛，p≤时发散

∑n=1∞aqn，q<1收敛，当q≥1发散\sum_{n=1}^{\infty}a q^n，q<1 收敛，当q \ge 1 发散∑n=1∞​aqn，q<1收敛，当q≥1发散

• 比值法

lim⁡n→∞un+1un=ρ\lim_{n \to \infty }\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rholimn→∞​un​un+1​​=ρ

• 根值法

lim⁡n→∞unn=ρ\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{u_n}=\rholimn→∞​nun​​=ρ

• 交错级数

  莱布尼兹准则
  ∑n=1∞(−1)n−1un,un>0(1)un单调递减(2)lim⁡n→∞un=0则∑n=1∞(−1)n−1un收敛\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n,u_n>0 \\(1) u_n单调递减 \\(2)\lim_{n \to \infty }u_n=0 \\ 则\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}u_n 收敛 n=1∑∞​(−1)n−1un​,un​>0(1)un​单调递减(2)n→∞lim​un​=0则n=1∑∞​(−1)n−1un​收敛

• 任意项级数

  绝对收敛和条件收敛

∑n=1∞∣un∣收敛⇒∑n=1∞un收敛，此时∑n=1∞un绝对收敛\sum_{n=1}^\infty|u_n|收敛\Rightarrow \sum_{n=1}^\infty u_n 收敛，此时\sum_{n=1}^\infty u_n 绝对收敛∑n=1∞​∣un​∣收敛⇒∑n=1∞​un​收敛，此时∑n=1∞​un​绝对收敛

若∑n=1∞an收敛，∑n=1∞∣an∣发散，则称∑n=1∞an条件收敛若\sum_{n=1}^\infty a_n 收敛， \sum_{n=1}^\infty |a_n|发散，则称\sum_{n=1}^\infty a_n 条件收敛若∑n=1∞​an​收敛，∑n=1∞​∣an​∣发散，则称∑n=1∞​an​条件收敛

题型

• 常数项级数敛散性的判定

10.2 幂级数

收敛半径 收敛区域 收敛域

∑n=1∞anx2=a0+a1x+a2x2+……+anxn\sum_{n=1}^\infty a_nx^2=a_0+a_1x+a_2x^2+……+a_nx^n∑n=1∞​an​x2=a0​+a1​x+a2​x2+……+an​xn

• 阿贝尔定理

若∑n=1∞anxn当x=x0(x≠0)时收敛，则当∣x∣<∣x0∣时，∑n=1∞anxn绝对收敛若∑n=1∞anxn当x=x0(x≠0)时发散，则当∣x∣>∣x0∣时，∑n=1∞anxn发散若\sum_{n=1}^\infty a_nx^n 当x=x_0(x\ne 0)时收敛，则当|x|<|x_0| 时，\sum_{n=1}^\infty a_nx^n 绝对收敛\\ 若\sum_{n=1}^\infty a_nx^n 当x=x_0(x\ne 0)时发散，则当|x|>|x_0| 时，\sum_{n=1}^\infty a_nx^n 发散 若n=1∑∞​an​xn当x=x0​(x​=0)时收敛，则当∣x∣<∣x0​∣时，n=1∑∞​an​xn绝对收敛若n=1∑∞​an​xn当x=x0​(x​=0)时发散，则当∣x∣>∣x0​∣时，n=1∑∞​an​xn发散

*对于任何x∈(−∞,+∞)都收敛对于任何x\in (-\infty,+\infty)都收敛对于任何x∈(−∞,+∞)都收敛

• 仅在x=0处收敛
  *存在一个正数R,当∣x∣<R时绝对收敛，当∣x∣>R时发散存在一个正数R,当|x|<R 时绝对收敛，当|x|>R时发散存在一个正数R,当∣x∣<R时绝对收敛，当∣x∣>R时发散
  *若幂级数∑n=0∞anxn处条件收敛，则点x0必为该幂级数收敛区间(−R,R)的一个端点若幂级数\sum_{n=0}^\infty a_nx^n 处条件收敛，则点x_0 必为该幂级数收敛 区间(-R,R)的一个端点若幂级数∑n=0∞​an​xn处条件收敛，则点x0​必为该幂级数收敛区间(−R,R)的一个端点

*lim⁡n→∞∣an+1an=ρ，则R=1ρ\lim_{n \to \infty }|\frac{a_{n+1}}{a_n}=\rho ，则R=\frac{1}{\rho}limn→∞​∣an​an+1​​=ρ，则R=ρ1​
*lim⁡n→∞∣an∣n=ρ，则R=1ρ\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{|a_n|}=\rho ，则R=\frac{1}{\rho}limn→∞​n∣an​∣​=ρ，则R=ρ1​

幂级数的性质

设∑n=0∞anxn的收敛半径为R1,∑n=0∞bnxn收敛半径为R2,令R=minR1,R2,则当x∈(−R,R)设\sum_{n=0}^\infty a_nx^n 的收敛半径为R_1,\sum_{n=0}^\infty b_nx^n 收敛半径为R_2,令R=min{R_1,R_2},则当x\in(-R,R) 设n=0∑∞​an​xn的收敛半径为R1​,n=0∑∞​bn​xn收敛半径为R2​,令R=minR1​,R2​,则当x∈(−R,R)

• 加减法

∑n=0∞anxn±∑n=0∞bnxn=∑n=0∞(an±bn)xn\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\pm\sum_{n=0}^\infty b_nx^n=\sum_{n=0}^\infty(a_n\pm b_n)x^n n=0∑∞​an​xn±n=0∑∞​bn​xn=n=0∑∞​(an​±bn​)xn

• 可积性
  和函数S(x)在（-R,R)上可积，且可逐项积分，半径不变

函数的幂级数展开

如果函数f(x)在区间(x0−R,x0+R)上能展开为x−x0的幂级数f(x)=∑n=0∞an(x−x0)n,则其展开式是唯一的∑n=0∞f(n)x0n!(x−x0)n,f(x)在x=x0处的泰勒级数如果函数f(x)在区间(x_0-R,x_0+R)上能展开为x-x_0的幂级数f(x)= \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n ,则其展开式是唯一的 \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}x_0}{n!}(x-x_0)^n, \\f(x)在x=x_0处的泰勒级数 如果函数f(x)在区间(x0​−R,x0​+R)上能展开为x−x0​的幂级数f(x)=n=0∑∞​an​(x−x0​)n,则其展开式是唯一的n=0∑∞​n!f(n)x0​​(x−x0​)n,f(x)在x=x0​处的泰勒级数

常见的级数展开

原式	展开式
11−x\frac{1}{1-x}1−x1​	=1+x+x2+x3+xn+……=∑n=0∞xn=1+x +x^2+x^3+x^n+…… \\= \sum_{n=0}^{\infty} x^n=1+x+x2+x3+xn+……=∑n=0∞​xn
exe^xex	=1+x+x22!+x33!+=∑n=0∞xnn!=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+ \\ =\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=1+x+2!x2​+3!x3​+=∑n=0∞​n!xn​
cosxcosxcosx	=1−x22!+x44!−x66=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6} \\ =\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}=1−2!x2​+4!x4​−6x6​=∑n=0∞​(−1)n(2n)!x2n​
sinxsinxsinx	=x−x33!+x55!−x77!=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)n=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!} \\ =\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)^n}=x−3!x3​+5!x5​−7!x7​=∑n=0∞​(−1)n(2n+1)nx2n+1​
ln(1+x)ln(1+x)ln(1+x)	=x−x22+x33−x44=∑n=1∞(−1)nxnn=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\\=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{x^n}{n}=x−2x2​+3x3​−4x4​=∑n=1∞​(−1)nnxn​
tanxtanxtanx	x+x33+o(x3)x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)x+3x3​+o(x3)
arctanxarctanxarctanx	x−x33+x55+o(x5)x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+o(x^5)x−3x3​+5x5​+o(x5)
(1+x)α(1+x)^\alpha(1+x)α	1+αx+α(α−1)2!x2+……+α(α−1)(α−n+1)n!xn1+\alpha x+\frac{ \alpha (\alpha -1)}{2!}x^2+……+ \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-n+1)}{n!}x^n1+αx+2!α(α−1)​x2+……+n!α(α−1)(α−n+1)​xn

展开方法

• 直接展法

• 间接展开法

  根据函数展开为幂级数的唯一性，从某些已知函数的展开式出发，利用幂级数的性质（四则运算，逐项求导）及变量代换等方法，求的所给函数的展开式

题型

• 求收敛半径 收敛区间及收敛域
• 将函数展开为幂级数
• 级数求和

10.3 傅里叶级数

傅里叶系数与傅里叶级数

an=1π∫−ππf(x)cos(nx)dx,n=0,1,2,3,……bn=1π∫−ππf(x)sin(nx)dx,n=1,2,3,……f(x)=a02+∑n=1∞(ancosnx+bnsinnx)a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(nx)dx,n=0,1,2,3,……\\ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sin(nx)dx,n=1,2,3,……\\ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n cosnx+b_n sinnx) an​=π1​∫−ππ​f(x)cos(nx)dx,n=0,1,2,3,……bn​=π1​∫−ππ​f(x)sin(nx)dx,n=1,2,3,……f(x)=2a0​​+n=1∑∞​(an​cosnx+bn​sinnx)

收敛定理

设f(x)在[−π,π]上连续或有有限个第一类间断点，且只有有限个极值点，则f(x)的傅里叶级数在[−π,π]上处处收敛，且收敛于S(x)=f(x)，当x=为f(x)的连续点S(x)=f(x−)+f(x+)2，当x为f(x)的间断点S(x)=f((−π)+)+f((π)−)2,当x=±π设f(x)在[-\pi,\pi]上连续或有有限个第一类间断点，且只有有限个极值点，则f(x)的傅里叶级数在[-\pi,\pi]上处处收敛，且收敛于\\ S(x)=f(x)， 当x=为f(x)的连续点\\ S(x)=\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2} ，当x为f(x)的间断点\\ S(x)=\frac{f((-\pi)^+)+f((\pi)^-)}{2},当x=\pm \pi 设f(x)在[−π,π]上连续或有有限个第一类间断点，且只有有限个极值点，则f(x)的傅里叶级数在[−π,π]上处处收敛，且收敛于S(x)=f(x)，当x=为f(x)的连续点S(x)=2f(x−)+f(x+)​，当x为f(x)的间断点S(x)=2f((−π)+)+f((π)−)​,当x=±π

函数展开为傅里叶级数

• [−π,π]上展开[-\pi,\pi]上展开[−π,π]上展开

  an=1π∫−ππf(x)cos(nx)dx,n=0,1,2,3,……bn=1π∫−ππf(x)sin(nx)dx,n=1,2,3,……a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(nx)dx,n=0,1,2,3,……\\ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sin(nx)dx,n=1,2,3,……\\ an​=π1​∫−ππ​f(x)cos(nx)dx,n=0,1,2,3,……bn​=π1​∫−ππ​f(x)sin(nx)dx,n=1,2,3,……

• [−π,π]上就奇偶函数的展开[-\pi,\pi]上就奇偶函数的展开[−π,π]上就奇偶函数的展开

• f(x)为奇函数f(x)为奇函数f(x)为奇函数

  an=0bn=2π∫0πf(x)sin(nx)dx,n=1,2,3,……a_n=0\\ b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f(x)sin(nx)dx,n=1,2,3,……an​=0bn​=π2​∫0π​f(x)sin(nx)dx,n=1,2,3,……

• f(x)为偶函数f(x)为偶函数f(x)为偶函数
  an=2π∫0πf(x)cos(nx)dx,n=0,1,2,3,……bn=0，n=1,a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f(x)cos(nx)dx,n=0,1,2,3,……\\ b_n=0 ，n=1,an​=π2​∫0π​f(x)cos(nx)dx,n=0,1,2,3,……bn​=0，n=1,

• [0,π]上展开为正弦函数[0,\pi]上展开为正弦函数[0,π]上展开为正弦函数

• [−l,l]上展开[-l,l]上展开[−l,l]上展开

an=1l∫−llf(x)cos(nπxl)dx,n=0,1,2,3,……bn=1l∫−llf(x)sin(nπxl)dx,n=1,2,3,……a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)cos(\frac{n\pi x}{l})dx,n=0,1,2,3,……\\ b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)sin(\frac{n\pi x}{l})dx,n=1,2,3,……an​=l1​∫−ll​f(x)cos(lnπx​)dx,n=0,1,2,3,……bn​=l1​∫−ll​f(x)sin(lnπx​)dx,n=1,2,3,……

• [−l,l]上奇偶函数展开[-l,l]上奇偶函数展开[−l,l]上奇偶函数展开

• [0,l]上展开为正弦函数[0,l]上展开为正弦函数[0,l]上展开为正弦函数

题型

• 有关收敛定理的问题
• 讲函数展开为傅里叶级数

第十一章 向量代数在空间解析几何及多元微分学在几何上的应用

11.1 向量代数

数量积

a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cosαa⃗⋅b⃗=a⃗xb⃗x+a⃗yb⃗y+a⃗zb⃗z\vec a\cdot \vec b=|\vec a||\vec b| cos\alpha \\ \vec a\cdot \vec b=\vec a_x\vec b_x+\vec a_y\vec b_y+\vec a_z\vec b_z\\ a⋅b=∣a∣∣b∣cosαa⋅b=ax​bx​+ay​by​+az​bz​

• 交换律

• 分配律

• 求模

• 求夹角

• 判断两个向量垂直

向量积

几何表示a⃗×b⃗是一个向量，模∣a⃗×b⃗∣=∣a⃗∣∣b⃗∣sinα几何表示 \vec a\times \vec b 是一个向量，模|\vec a\times \vec b|=|\vec a||\vec b|sin \alpha 几何表示a×b是一个向量，模∣a×b∣=∣a∣∣b∣sinα

*a⃗×b⃗=−(b⃗×a⃗)\vec a\times \vec b =-(\vec b \times \vec a)a×b=−(b×a)

• 分配律a⃗×(b⃗+c⃗)=a⃗×b⃗+a⃗×c⃗\vec a\times(\vec b+\vec c)=\vec a\times \vec b+\vec a \times \vec ca×(b+c)=a×b+a×c
• 判断两向量平行a⃗//b⃗⇔a⃗×b⃗=0\vec a//\vec b \Leftrightarrow \vec a \times \vec b=0a//b⇔a×b=0
• 求四边形面积
• 求同时垂直于a和b 的向量

混合积

(a⃗b⃗c⃗)=(a⃗×b⃗)⋅c⃗(\vec a \vec b\vec c)=(\vec a\times \vec b)\cdot \vec c(abc)=(a×b)⋅c

• 运算规律

  轮换对称

  交换变号

• 几何应用

V平行六面体=∣(a⃗b⃗c⃗)∣V_{平行六面体}=|(\vec a\vec b\vec c)|V平行六面体​=∣(abc)∣

判断三个向量共面

题型

• 向量的计算

11.2 空间平面 与直线

平面方程

• 一般式

Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0

• 点法式

A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0A(x−x0​)+B(y−y0​)+C(z−z0​)=0

• 截距式

xa+yb+zc=1\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1ax​+by​+cz​=1

直线方程

• 一般式

• 对称式

x−x0l=y−y0m=z−z0n\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}lx−x0​​=my−y0​​=nz−z0​​

• 参数式

x=x0+lt,y=y0+mt,z=z0+ntx=x_0+lt,y=y_0+mt,z=z_0+ntx=x0​+lt,y=y0​+mt,z=z0​+nt

平面与直线的关系

点到面的距离

点(x0,y0,z0)到Ax+By+Cy+D=0的距离点(x_0,y_0,z_0)到Ax+By+Cy+D=0的距离点(x0​,y0​,z0​)到Ax+By+Cy+D=0的距离

d=∣Ax0+By+0+Cz0+DA2+B2+C2d=\frac{|Ax_0+By+0+Cz_0+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}d=A2+B2+C2​∣Ax0​+By+0+Cz0​+D​

点到直线的距离

点(x0,y0,z0)到直线x−x1l=y−y1m=z−z1nd=∣{x1−x0,y1−y0,z1−z0∣}×{l,m,n}l2+m2+n2点(x_0,y_0,z_0)到直线\frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n}\\ d=\frac{|\{x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0|\}\times\{l,m,n\}}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}} 点(x0​,y0​,z0​)到直线lx−x1​​=my−y1​​=nz−z1​​d=l2+m2+n2​∣{x1​−x0​,y1​−y0​,z1​−z0​∣}×{l,m,n}​

11.3 曲面与空间曲线

曲面方程

一般式 F(x,y,z)=0 或者z=f(x,y)

空间曲线

• 参数方程

{x=x(t)y=y(t)z=z(t)\begin{cases}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧​x=x(t)y=y(t)z=z(t)​

• 一般式

{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0\begin{cases}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{cases}{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0​

常见曲面

• 旋转面

  一条平面曲线绕平面上一条直线旋转

  L是yoz平面上一条曲线，其方程是{f(y,z)=0x=0，则L绕Y轴旋转所成的旋转面方程为f(y,±x2+z2)L是yoz平面上一条曲线，其方程是\begin{cases}f(y,z)=0\\ x=0\end{cases}，则\\ L绕Y轴旋转所成的旋转面方程为f(y,\pm \sqrt{x^2+z^2})L是yoz平面上一条曲线，其方程是{f(y,z)=0x=0​，则L绕Y轴旋转所成的旋转面方程为f(y,±x2+z2​)

• 柱面 平行定直线并沿定曲线移动的直线L,形成

• 二次曲面

  • 椭圆锥面x2a2+y2b2=z2\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2a2x2​+b2y2​=z2，圆锥面x2+y2=z2x^2+y^2=z^2x2+y2=z2

  • 椭球面

  • 单页双曲面x2a2+y2b2−z2c2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1a2x2​+b2y2​−c2z2​=1

  • 双叶双曲面

    x2a2−y2b2−z2c2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1a2x2​−b2y2​−c2z2​=1

  • 椭圆抛物面

    x2a2+y2b2=z\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=za2x2​+b2y2​=z

  • 旋转抛物面

    z=x2+y2z=x^2+y^2z=x2+y2

  • 双曲抛物面

  空间曲线投影

曲线Γ:{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0在xoy面上投影曲线方程为{H(x,y)=0z=0消除z即可曲线 \Gamma :\begin{cases} F(x,y,z)=0 \\ G(x,y,z)=0\end{cases}在xoy面上投影曲线方程为\\ \begin{cases} H(x,y)=0 \\ z=0\end{cases} 消除z即可曲线Γ:{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0​在xoy面上投影曲线方程为{H(x,y)=0z=0​消除z即可

11.4 多元微分在几何应用

曲面的切平面与法线

曲线F(x,y,z)=0，法向量：n={Fx,Fy,Fz}曲线F(x,y,z)=0，法向量：n=\{F_x,F_y,F_z\}曲线F(x,y,z)=0，法向量：n={Fx​,Fy​,Fz​}

曲线z=f(x,y)，法向量：n={fx,f)y,−1}曲线z=f(x,y)，法向量：n=\{f_x,f)y,-1\}曲线z=f(x,y)，法向量：n={fx​,f)y,−1}

曲线的切线与法平面

曲线{x=x(t)y=y(t)z=z(t),切向量={x′(t0),y′(t0),z′(t0)}曲线\begin{cases}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{cases},切向量=\{x^\prime(t_0),y^\prime(t_0),z^\prime(t_0)\}曲线⎩⎪⎨⎪⎧​x=x(t)y=y(t)z=z(t)​,切向量={x′(t0​),y′(t0​),z′(t0​)}

曲线{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0,切向量n1⃗⋅n2⃗曲线\begin{cases}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{cases},切向量\vec {n_1}\cdot \vec{n_2}曲线{F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0​,切向量n1​​⋅n2​​

第十二章 多元积分学及其应用

12. 1 三重积分

定义

∭Ωf(x,y,z)dv=lim⁡λ→0∑k=1nf(δk,ηk,ξk)Δvk\iiint_\Omega f(x,y,z)dv=\lim_{\lambda \to 0}\sum_{k=1}^n f(\delta_k,\eta_k,\xi_k)\Delta v_k∭Ω​f(x,y,z)dv=λ→0lim​k=1∑n​f(δk​,ηk​,ξk​)Δvk​

性质

计算

• 直角坐标

  • 先一后二
  • 先二后一

• 柱坐标

  被积函数ϕ(z)g(x2+y2)\phi(z)g(\sqrt{x^2+y^2})ϕ(z)g(x2+y2​)

  被积域 为域

{x=ρcosθ,0≤ρ<+∞y=ρsinθ,0≤θ≤2πz=z,−∞<z<+∞\begin{cases}x=\rho cos\theta,0\le\rho<+\infty \\ y=\rho sin\theta ,0\le \theta\le 2\pi \\ z=z ,-\infty <z<+\infty\end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧​x=ρcosθ,0≤ρ<+∞y=ρsinθ,0≤θ≤2πz=z,−∞<z<+∞​

• 球坐标

  被积区域为球

  被积函数为f(x2+y2+z2)f(\sqrt{x^2+y^2+z^2})f(x2+y2+z2​)

• 奇偶性

• 对称性

12.2 曲线积分

对弧长的线积分(第一类线积分)

函数值乘以弧长

• 定义
  ∫Lf(x,y)ds=lim⁡λ→0∑i=1nf(ηi,ξi)Δs\int_Lf(x,y)ds=\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^n f(\eta_i,\xi_i)\Delta s ∫L​f(x,y)ds=λ→0lim​i=1∑n​f(ηi​,ξi​)Δs

• 性质

  和路径无关

• 计算方法

  • 直接法

  ∫Cf(x,y)ds=∫αβf(x(t),t(t))x′2(t)+y′2(t)dt\int_C f(x,y)ds=\int_\alpha^\beta f(x(t),t(t))\sqrt{x^{\prime2}(t)+y^{\prime2}(t)}dt∫C​f(x,y)ds=∫αβ​f(x(t),t(t))x′2(t)+y′2(t)​dt

  ∫Cf(x,y)ds=∫abf(x,y(x))+y′2(x)dx\int_C f(x,y)ds=\int_a^b f(x,y(x))\sqrt{+y^{\prime2}(x)}dx∫C​f(x,y)ds=∫ab​f(x,y(x))+y′2(x)​dx

  若C:ρ=ρ(θ),α≤θ≤β∫Cf(x,y)ds=∫αβf(ρ(θ)cosθ,ρ(θ)sinθ)ρ2(θ)+ρ′2(θ)dθ若C:\rho=\rho(\theta) ,\alpha\le\theta\le\beta \\ \int_C f(x,y)ds=\int_\alpha^\beta f(\rho(\theta)cos\theta,\rho(\theta)sin\theta)\sqrt{\rho^2(\theta)+\rho^{\prime 2}(\theta)d\theta}若C:ρ=ρ(θ),α≤θ≤β∫C​f(x,y)ds=∫αβ​f(ρ(θ)cosθ,ρ(θ)sinθ)ρ2(θ)+ρ′2(θ)dθ​

  • 利用奇偶性

  • 利用对称性

  • 空间曲线L的方程

  ∫Lf(x,y,z)ds=∫αβf(x(t),y(t),z(t))x′2(t),y′2(t)+z′2(t)dt\int_L f(x,y,z)ds=\int_\alpha^\beta f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x^{\prime2 }(t),y^{\prime2}(t)+z^{\prime 2}(t)}dt∫L​f(x,y,z)ds=∫αβ​f(x(t),y(t),z(t))x′2(t),y′2(t)+z′2(t)​dt

对坐标的线积分(第二类线积分)

函数值乘以x上投影，y上的投影

• 定义

∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=lim⁡λ→0∑i=1nP(φi,ξi)Δxi+Q(φi,ξi)Δyi\int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^n P(\varphi_i,\xi_i)\Delta x_i +Q(\varphi_i,\xi_i)\Delta y_i∫L​P(x,y)dx+Q(x,y)dy=limλ→0​∑i=1n​P(φi​,ξi​)Δxi​+Q(φi​,ξi​)Δyi​

• 性质

  和方向有关

• 计算方法（平面）

  • 直接法

  L={x=x(t)y=y(t),t∈[α,β]，则L=\begin{cases}x=x(t)\\ y=y(t)\end{cases},t\in[\alpha,\beta]，则L={x=x(t)y=y(t)​,t∈[α,β]，则

  ∫LPdx+Qdy=∫αβ[P(x(t),y(t))x′(t),Q(x(t),y(t))y′(t)]dt\int_L Pdx+Qdy=\int_\alpha^\beta [P(x(t),y(t))x^{\prime}(t),Q(x(t),y(t))y^{\prime}(t)]dt∫L​Pdx+Qdy=∫αβ​[P(x(t),y(t))x′(t),Q(x(t),y(t))y′(t)]dt

  • 格林公式

    使用条件为封闭空间

  ∫LPdx+Qdy=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)\int_L Pdx+Qdy=\iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})∫L​Pdx+Qdy=∬D​(∂x∂Q​−∂y∂P​)

  • 利用线积分与路径无关

  ∂Q∂x=∂P∂y区域单连通\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}区域单连通∂x∂Q​=∂y∂P​区域单连通

  改变路径

• 计算方法(空间)

  • 直接法
  • 斯托克斯公式（空间曲线)

12.3 曲面积分

对面积的面积分(第一类面积分)

• 定义

∬∑f(x,y,z)dS=lim⁡λ→0∑i=1nf(ηi,ξi,φi)ΔSi\iint_{\sum}f(x,y,z)dS=\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^nf(\eta_i,\xi_i,\varphi_i)\Delta S_i∬∑​f(x,y,z)dS=limλ→0​∑i=1n​f(ηi​,ξi​,φi​)ΔSi​

• 性质

• 计算方法

  • 直接法

  ∑:z=z(x,y),(x,y)∈D\sum:z=z(x,y),(x,y)\in D∑:z=z(x,y),(x,y)∈D

  ∬∑f(x,y,z)dS=∬Df(x,y,z(x,y))1+zx2+zy2dσ\iint_{\sum}f(x,y,z)dS=\iint_D f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}d\sigma∬∑​f(x,y,z)dS=∬D​f(x,y,z(x,y))1+zx2​+zy2​​dσ

  • 利用奇偶性

  • 利用对称性

对坐标的面积分(第二类面积分)

• 定义

• 性质

  有正负号有区分

• 计算方法

  • 直接法

  z=z(x,y),(x,y)∈Dz=z(x,y),(x,y)\in Dz=z(x,y),(x,y)∈D

  KaTeX parse error: Got function '\sum' with no arguments as subscript at position 7: \iint_\̲s̲u̲m̲ ̲R(x,y,z)dxdy=\p…

  • 高斯公式

  ∯∑外Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∭(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dV\oiint_{\sum_外}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dV∬​∑外​​Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∭(∂x∂P​+∂y∂Q​+∂z∂R​)dV

  • 补面用高斯公式

• 两类面积分的连续

12.4 多元积分应用

	平面板	空间体	曲线	曲面
质量
质心
转动惯量
几何度量

• 变力做功
• 通量

12.5 场论初步

方向导数

若z=f(x,y)可微，则∂f∂l=∂f∂xcosα+∂f∂ycosβ若z=f(x,y)可微，则\\ \frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}cos\alpha+\frac{\partial f}{\partial y}cos\beta 若z=f(x,y)可微，则∂l∂f​=∂x∂f​cosα+∂y∂f​cosβ

梯度

梯度是一个向量，方向为最大的值
gradu=∂u∂xi+∂u∂yj+∂u∂zkgradu=\frac{\partial u}{\partial x} i+\frac{\partial u}{\partial y}j+\frac{\partial u}{\partial z}k gradu=∂x∂u​i+∂y∂u​j+∂z∂u​k

散度

是一个数
设有向量场A(x,y,z)={P,Q,R}divA=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z设有向量场A(x,y,z)=\{P,Q,R\} \\ divA=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} 设有向量场A(x,y,z)={P,Q,R}divA=∂x∂P​+∂y∂Q​+∂z∂R​

旋度

设有向量场A(x,y,z)={P,Q,R}rotA=∣ijk∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣设有向量场A(x,y,z)=\{P,Q,R\} \\ rotA=\begin{vmatrix} i &j&k \\ \frac{\partial }{\partial x}&\frac{\partial }{\partial y}&\frac{\partial }{\partial z}\\ P&Q&R \end{vmatrix} 设有向量场A(x,y,z)={P,Q,R}rotA=∣∣∣∣∣∣​i∂x∂​P​j∂y∂​Q​k∂z∂​R​∣∣∣∣∣∣​

错题集锦

高数部分

• 题目	解析	答案
  下列函数f(x)中，导函数f′在x=0处不连续的是A.f(x)={x43sin1x,x≠00,x=0B.f(x)={sinxx,x≠01,x=0下列函数f(x)中，导函数f^\prime在x=0 处不连续的是\\ A.f(x)=\begin{cases}x^{\frac{4}{3}}sin\frac{1}{x},x\ne 0\\ 0,x=0\end{cases} \;\;\; B.f(x)=\begin{cases}\frac{sinx}{x},x\ne 0\\ 1,x=0\end{cases}下列函数f(x)中，导函数f′在x=0处不连续的是A.f(x)={x34​sinx1​,x​=00,x=0​B.f(x)={xsinx​,x​=01,x=0​	设f(x)={∣x∣αsin1x,x≠00,x=0,则f(x)在x=0处连续，a>0在f(x)在x=0处可导，a>1，在x=0处f′(x)连续，a>2设f(x)=\begin{cases}\mid x\mid^\alpha sin\frac{1}{x},x\ne0\\ 0,x=0\end{cases},\\ 则f(x)在x=0 处连续，a>0 \\在f(x)在x=0处可导，a>1 ，\\ 在x=0 处f^\prime(x)连续，a>2设f(x)={∣x∣αsinx1​,x​=00,x=0​,则f(x)在x=0处连续，a>0在f(x)在x=0处可导，a>1，在x=0处f′(x)连续，a>2	A

• 题目	解析	答案
  以下四个问题，正确的是A.若f′在(a,b)内连续，则f(x)在(a,b)内有界B.若f(x)在(a,b)内连续，则f(x)在(a,b)内有界C.若f′(x)在(a,b)内有界，则f(x)在(a,b)内有界以下四个问题，正确的是\\ A.若f^\prime 在(a,b)内连续，则f(x)在(a,b)内有界\\ B.若f(x)在(a,b)内连续，则f(x)在(a,b)内有界\\ C. 若f^\prime(x)在(a,b)内有界，则f(x)在(a,b)内有界以下四个问题，正确的是A.若f′在(a,b)内连续，则f(x)在(a,b)内有界B.若f(x)在(a,b)内连续，则f(x)在(a,b)内有界C.若f′(x)在(a,b)内有界，则f(x)在(a,b)内有界		C

• 题目	解析	答案

• 题目	解析	答案

• 题目	解析	答案

• 题目	解析	答案

• 题目	解析	答案

• 题目	解析	答案

• 题目	解析	答案

• 题目	解析	答案

• 题目	解析	答案

• 题目	解析	答案

• 题目	解析	答案

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