RC电路一阶线性微分方程
电路中一阶线性微分方程
在高等数学中，一阶微分方程求解过程需要先算出齐次的通解，然后再根据初始条件算出特解，计算与推理过程很是复杂。在我们学习电路的时候再遇到这个东西时，会因为之前复杂的求解方式严重打击自信心，加之老师说数学在电路中应用是非常广泛的，对于RC电路中存在这个一阶线性微分方程，已经成为拦路虎。
本文将从另一个角度讲解一阶微分方程在电路中的应用，让你感觉到数学在此次的RC电路中，充其量就是个计算方法的引荐或者是一个工具，电路中有一套自己的方法对待这个，而且解法固定，没有套路（态度真诚），只需知道一阶微分方程的基本概念是什么，比如一阶指的是啥，线性指的是啥，导数是啥。
解法介绍
分为两个步骤：求齐次的通解，然后请求非齐次的特解。
如上电路图，根据KCL，我们可以得出 i=Cdvcdt+vcRi = C \frac{dv_c}{dt} + \frac{v_c}{R}i=Cdtdvc+Rvc 。
对上式子进行化简一下得出： iC=dvcdt+vcRC\frac{i}{C} = \frac{dv_c}{dt} + \frac{v_c}{RC}Ci=dtdvc+RCvc
通过上式可以知道，1RC\frac{1}{RC}RC1 是一个常数，该式是关于vcv_cvc的一阶线性微分方程。所以需要求解出该方程的解，在RC电路中，一阶微分方程求解出来的解是一个函数，而不是一个值。
顺便提一下在Java开发中，语法中lambda表达式，这个表达就是把一个函数当成一个变量传递过去。在微分方程中，也可以顺着思路想一下，微分方程是导数的方程，那么原来的函数就是之前的解了，而不是常数值解。
先求齐次的通解
Cdvcdt+vcR=iC \frac{dv_c}{dt} + \frac{v_c}{R} = iCdtdvc+Rvc=i 式的齐次方程为：dvcdt+vcRC=0\frac{dv_c}{dt} + \frac{v_c}{RC} = 0dtdvc+RCvc=0 。
这里电路没有套路做法体现出来了，齐次方程的通解为：vc=Aeλtv_c = Ae^{ \lambda t}vc=Aeλt 你没看错，通解就是这种固定的写法，压根都不用复杂推导。 然后求出该式中的λ\lambdaλ 值，对该式子求导，带入到齐次方程中去；
得出 λAeλt+1RCAeλt=0\lambda Ae^{ \lambda t} + \frac{1}{RC} Ae^{ \lambda t} = 0λAeλt+RC1Aeλt=0 。
化简可以得到 λ+1RC=0\lambda + \frac{1}{RC} = 0λ+RC1=0 也就是 λ=−1RC\lambda = - \frac{1}{RC}λ=−RC1 。
齐次方程的通解为 vc=Ae−t⋅1RCv_c = Ae^{ - t \cdot \frac{1}{RC}}vc=Ae−t⋅RC1 。
注：我们来看一下这个齐次方程，没有了iii，也就是没有图中的电流源，也就是没有了外界输入，变成下面这样的图。
然后求非齐次特解（特解就是特定的解，一个指定的解）
本次例子中的式子是这种的 Cdvcdt+vcR=iC \frac{dv_c}{dt} + \frac{v_c}{R} = iCdtdvc+Rvc=i ，iii是一个常数；那么跟齐次方程的通解一样，可以立马得到 vc=Av_c = Avc=A，这里的A是一个常数变量。然后带入到非齐次方程中，得到A=iRA = iRA=iR ，也就是特解是 vc=iRv_c = iRvc=iR。
最终的解为 齐次方程的通解 加上 非齐次方程的特解，所以 vc=−iRe−t⋅1RC+iRv_c = -iRe^{ - t \cdot \frac{1}{RC}} + iRvc=−iRe−t⋅RC1+iR 。
非齐次方程特解的一般推导
如果非齐次方程为 ： dx(t)dt+x(t)RC=t\frac{dx(t)}{dt} + \frac{x(t)}{RC} = tdtdx(t)+RCx(t)=t，那么特解是 x(t)=Bt+Dx(t) = Bt + Dx(t)=Bt+D，把 x(t)=Bt+Dx(t) = Bt + Dx(t)=Bt+D 式子 带到 非齐次方程 里面去求出 B 和 D。
带入求解的方式如下：
根据x(t)=Bt+Dx(t) = Bt + Dx(t)=Bt+D 对其求导可得 dx(t)dt=B\frac{dx(t)}{dt} = Bdtdx(t)=B ，带入非齐次方程中可得 B+Bt+DRC=tB + \frac{Bt + D}{RC} = tB+RCBt+D=t ，得到式子 RC⋅B+Bt+D=RC⋅tRC \cdot B + Bt + D =RC \cdot tRC⋅B+Bt+D=RC⋅t 整理可得 B=RCB = RCB=RC，可得 D=−(RC)2D = - (RC)^2D=−(RC)2；
最终的非齐次方程的通解为 ： Ae−t⋅1RC+RC⋅t−(RC)2Ae^{ - t \cdot \frac{1}{RC}} + RC \cdot t - (RC)^2Ae−t⋅RC1+RC⋅t−(RC)2 。
我们从最终的通解仍然没有得到A的未知数，解得A需要根据电路0时刻的条件，比如x(0)等于多少。
如果非齐次方程为 ： dx(t)dt+x(t)RC=t2\frac{dx(t)}{dt} + \frac{x(t)}{RC} = t^2dtdx(t)+RCx(t)=t2 那么特解是 x(t)=Et2+Bt+Dx(t) = Et^2 + Bt + Dx(t)=Et2+Bt+D，解法跟上面一样，把 x(t)=Et2+Bt+Dx(t) = Et^2 + Bt + Dx(t)=Et2+Bt+D式子 带到 非齐次方程 里面去求出E、B 和 D。
然后再加上齐次方程的通解。
图形表示
最终求解公式 vc=−iRe−t⋅1RC+iRv_c = -iRe^{ - t \cdot \frac{1}{RC}} + iRvc=−iRe−t⋅RC1+iR 做成图形；iR赋值成4、RC分为4 8 12、x是时间t。如下图我们可以看到RC越大，图形变道4的时间越长，所以RC的值是影响RC电路趋于稳定iRiRiR值的唯一指标。
这个特性就是在RC时间范围内，电路在趋于稳态（稳定的状态，已经充完电了，电容相当于一个断路了）。
上图中的公式显示在下面，可以直接拷贝进去就可以显示了
4(1−
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