1. 理论基础

PID控制器的一般形式为
u(t)=Kpe(t)+Ki∫0te(τ)dτ+Kdde(t)dtu(t) = {K_p}e(t) + {K_i}\int_0^t {e(\tau )} d\tau + {K_d}\frac{{de(t)}}{{dt}}u(t)=Kpe(t)+Ki∫0te(τ)dτ+Kddtde(t)
其中，e(t)e(t)e(t)是系统误差；KpK_pKp、KiK_iKi和KdK_dKd分别是对系统误差信号及其积分与微分量的加权，控制器通过这样的加权就可以计算出控制信号，驱动受控对象。
因此，PID控制器的三个参数的选择相当重要，优化这三个参数相当重要。传统参数的选取都是靠人工经验进行选取，此文章将使用PSO对PID控制器中的这三个参数进行优化。

2. 问题描述

PID控制器的系统结构图如下

PID控制器的优化问题就是确定一组合适的参数KpK_pKp、KiK_iKi、KdK_dKd，使得指标达到最优。这里选用ITAE指标，其定义为
J=∫0∞t∣e(t)∣dtJ = \int_0^\infty {t\left| {e(t)} \right|dt} J=∫0∞t∣e(t)∣dt
选取的被控对象为为下面的不稳定系统：
G(s)=s+2s4+8s3+4s2−s+0.4G(s) = \frac{{s + 2}}{{{s^4} + 8{s^3} + 4{s^2} - s + 0.4}}G(s)=s4+8s3+4s2−s+0.4s+2
在Simulink环境下搭建上述的模型如下图所示：

3. 思路及步骤

3.1 优化设计过程

李用粒子群算法对PID控制器的参数进行优化设计，过程图如下所示：

上图中，粒子群算法与Simulink模型之间连接的桥梁是粒子（即PID控制器参数）和该粒子对应的适应值（即控制系统的性能指标）。优化过程如下：PSO产生粒子群（可以是初始化的粒子群，也可以是更新后的粒子群），将该粒子群中的粒子依次赋值给PID控制器的参数KpK_pKp、KiK_iKi、KdK_dKd，然后运行控制器系统的Simulink模型，得到该参数对应的性能指标，该性能指标传递到PSO中作为该粒子的适应值，最后判断是否可以退出算法。

3.2 粒子群算法实现

粒子群算法中速度和位置是根据下面两个公式进行更新
vt+1=ωvt+c1r1(Pt−xt)+c2r2(Gt−xt){v_{t + 1}} = \omega {v_t} + {c_1}{r_1}({P_t} - {x_t}) + {c_2}{r_2}({G_t} - {x_t})vt+1=ωvt+c1r1(Pt−xt)+c2r2(Gt−xt)
xt+1=xt+vt+1x_{t+1}=x_t+v_{t+1}xt+1=xt+vt+1
其中，xxx表示粒子的位置；vvv表示粒子的速度；ω\omegaω为惯性因子；c1c_1c1、c2c_2c2为加速度常数；r1r_1r1、r2r_2r2为[0,1][0,1][0,1]区间的随机数；PtP_tPt是粒子迄今为止搜索到的最优为止；GtG_tGt是整个粒子群迄今为止搜索到的最优为止。
PSO的流程如下：

初始化粒子群，随机产生所有粒子的位置和速度，并确定粒子的PtP_tPt和GtG_tGt。
对每个粒子，将其适应值与该粒子所经历过的最优位置PtP_tPt的适应值进行比较，若较好，则将其作为当前的PtP_tPt。
对每个粒子，将其适应值与整个粒子群所经历过的最优位置GtG_tGt的适应值进行比较，若较好，则将其作为当前的GtG_tGt。
按照上面的公式进行速度和位置的更新。
如果没有满足终止条件（通常为预设的最大迭代次数和适应值下限值），则返回步骤（2）；否则，推出算法，得到最优解。

4. MATLAB程序

下面是Simulink图

其中函数部分的程序如下：

function z=PSO_PID(x)
assignin('base','Kp',x(1));    %粒子依次赋值给Kp
assignin('base','Ki',x(2));    %粒子依次赋值给Ki
assignin('base','Kd',x(3));    %粒子依次赋值给Kd
[t_time,x_state,y_out]=sim('PID_Model',[0,20]);    %使用命令行运行控制系统模型
z=y_out(end,1);    %返回性能指标

主程序如下：

%% 清空环境
clear
clc%% 参数设置
w = 0.6;      % 惯性因子
c1 = 2;       % 加速常数
c2 = 2;       % 加速常数Dim = 3;            % 维数
SwarmSize = 100;    % 粒子群规模
ObjFun = @PSO_PID;  % 待优化函数句柄MaxIter = 100;      % 最大迭代次数
MinFit = 0.1;       % 最小适应值 Vmax = 1;
Vmin = -1;
Ub = [300 300 300];
Lb = [0 0 0];%% 粒子群初始化Range = ones(SwarmSize,1)*(Ub-Lb);Swarm = rand(SwarmSize,Dim).*Range + ones(SwarmSize,1)*Lb      % 初始化粒子群VStep = rand(SwarmSize,Dim)*(Vmax-Vmin) + Vmin                 % 初始化速度fSwarm = zeros(SwarmSize,1);
for i=1:SwarmSizefSwarm(i,:) = feval(ObjFun,Swarm(i,:));                         % 粒子群的适应值
end%% 个体极值和群体极值
[bestf bestindex]=min(fSwarm);
zbest=Swarm(bestindex,:);   % 全局最佳
gbest=Swarm;                % 个体最佳
fgbest=fSwarm;              % 个体最佳适应值
fzbest=bestf;               % 全局最佳适应值%% 迭代寻优
iter = 0;
y_fitness = zeros(1,MaxIter);   % 预先产生4个空矩阵
K_p = zeros(1,MaxIter);
K_i = zeros(1,MaxIter);
K_d = zeros(1,MaxIter);
while( (iter < MaxIter) && (fzbest > MinFit) )for j=1:SwarmSize% 速度更新VStep(j,:) = w*VStep(j,:) + c1*rand*(gbest(j,:) - Swarm(j,:)) + c2*rand*(zbest - Swarm(j,:));if VStep(j,:)>Vmax, VStep(j,:)=Vmax; endif VStep(j,:)<Vmin, VStep(j,:)=Vmin; end% 位置更新Swarm(j,:)=Swarm(j,:)+VStep(j,:);for k=1:Dimif Swarm(j,k)>Ub(k), Swarm(j,k)=Ub(k); endif Swarm(j,k)<Lb(k), Swarm(j,k)=Lb(k); endend% 适应值fSwarm(j,:) = feval(ObjFun,Swarm(j,:));% 个体最优更新     if fSwarm(j) < fgbest(j)gbest(j,:) = Swarm(j,:);fgbest(j) = fSwarm(j);end% 群体最优更新if fSwarm(j) < fzbestzbest = Swarm(j,:);fzbest = fSwarm(j);endend iter = iter+1;                      % 迭代次数更新y_fitness(1,iter) = fzbest;         % 为绘图做准备K_p(1,iter) = zbest(1);K_i(1,iter) = zbest(2);K_d(1,iter) = zbest(3);
end
%% 绘图输出
figure(1)      % 绘制性能指标ITAE的变化曲线
plot(y_fitness,'LineWidth',2)
title('最优个体适应值','fontsize',18);
xlabel('迭代次数','fontsize',18);ylabel('适应值','fontsize',18);
set(gca,'Fontsize',18);figure(2)      % 绘制PID控制器参数变化曲线
plot(K_p)
hold on
plot(K_i,'k','LineWidth',3)
plot(K_d,'--r')
title('Kp、Ki、Kd 优化曲线','fontsize',18);
xlabel('迭代次数','fontsize',18);ylabel('参数值','fontsize',18);
set(gca,'Fontsize',18);
legend('Kp','Ki','Kd',1);

5.仿真结果

经过优化后的PID控制器的最优参数以及性能指标为
Kp=33.6326,Ki=0.1662K_p= 33.6326, K_i=0.1662 Kp=33.6326,Ki=0.1662
Kd=38.7892,ITAE=1.0580K_d= 38.7892 , ITAE= 1.0580Kd=38.7892,ITAE=1.0580

性能指标曲线图：

单位阶跃响应曲线：

KpK_pKp、KiK_iKi、KdK_dKd优化曲线：

大家如果有使用PSO算法对LQR中的Q参数进行优化的程序可以进行交流一下，谢谢！

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