一阶线性微分方程的格林函数通解

积分变换法（格林函数）求解常微分方程

2018 数一

$y{}'+y=f\left ( x \right )$

$(1)f\left ( x \right ) = x$ ,求方程解

对应的齐次方程解为 $e^{^{-x}}$

对应的非齐次方程解可设为 $ax+b$

很容易得到方程通解

(2)若 $f\left ( x\right )$ 是周期为T的周期函数，证明方程存在唯一的以周期为T的解

方法一： $f\left ( x\right )$ 可进行复数傅里叶展开

$f\left ( x \right ) = \sum_{n=-\infty }^{n=\infty}A_{n}e^{2\pi nix/T}$

假设存在一周期为T的函数 $g\left ( x\right )$ 满足条件，同理可以将 $g\left ( x\right )$ 进行复数傅里叶展开

$g\left ( x \right ) = \sum_{n=-\infty }^{n=\infty}B_{n}e^{2\pi nix/T}$

可以带入方程可以得到

$2\pi niB_{n}/T + B_{n} =A_{n}$

由上式可以发现，Bn完全由An确定，由傅里叶级数展开的唯一性知结论证毕

方法二：由格林函数理论知，原方程解可以写为

$h\left ( x \right ) = G\left ( x,x' \right ) * f\left ( x \right )$ 其中*表示卷积

其中 $G\left ( x,x' \right )$ 满足方程 ${G\left ( x,x' \right )}'+ {G\left ( x,x' \right )} = \delta \left ( x-x' \right )$ ， $\delta \left ( x-x' \right )$ 为狄拉克函数

可以用傅里叶变换求解以上方程

$(i\omega +1) G\left ( \omega \right ) = e^{-i\omega x'}$

$G\left ( x-x' \right ) = e^{-(x-x')}$

为方便取x'=0

$h\left ( x \right ) = e^{-x} * f\left ( x \right )$ * 表示卷积

$h\left ( x \right ) = \int_{0}^{\infty} e^{-t} f\left ( x-t \right )dt$

卷积具有平移不变性即

如果

$f_{3}\left ( t \right ) = f_{1}\left ( t \right ) * f_{2}\left ( t \right )$

那么 $f_{1}\left ( t-T \right ) * f_{2}\left ( t \right ) = f_{3}\left ( t \right - T )$

所以 $h\left ( x \right ) = e^{-x} * f\left ( x \right ) = e^{-x} * f\left ( x - T \right ) =h\left ( x-T \right )$

所以h(x)是周期函数

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