抽象代数笔记2—

CSDN前端有毒，Latex写出来排版全乱
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群的定义：
设 GGG 是一个非空集合，“o" role="presentation" style="position: relative;">ooo” 是 GGG 上的二元代数运算，称为乘法。
如果下列条件成立，则称 G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 对它的乘法“ooo”构成一个群(Group)。
1. 乘法“o" role="presentation" style="position: relative;">ooo”满足结合律。
2. 对乘法“ooo”， G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 中有一个左幺元 eee。
即 ∀a∈G, e o a=a" role="presentation" style="position: relative;">∀a∈G, e o a=a∀a∈G, e o a=a\forall a\in G,\ e\ o\ a=a
3. 对乘法“ooo”， G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 中每个元素都有一个左逆元。
即 ∀a∈G, ∃b∈G, b o a=e∀a∈G,∃b∈G,boa=e\forall a\in G,\ \exists b\in G,\ b\ o\ a=e

如果乘法“ooo”满足交换律，即 a o b=b o a" role="presentation" style="position: relative;">a o b=b o aa o b=b o aa\ o\ b=b\ o\ a，则称群 GGG 为交换群。
交换群又称阿贝尔群(Abel Group)。

群 (G,o)" role="presentation" style="position: relative;">(G,o)(G,o)(G, o) 称为有限群，如果 GGG 为有限集。G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 的基数称为群 GGG 的阶。
order(G)=|G|" role="presentation" style="position: relative;">order(G)=|G|order(G)=|G|order(G)=|G|

\
群的若干性质定理：
1. 设 (G,o)(G,o)(G, o) 是一个群，则 ∀a∈G,a∀a∈G,a\forall a\in G, a 的左逆元也是 aaa 的右逆元。
el=all o ((al o a) o al)=(all o al) o (a o al)=a o al" role="presentation" style="position: relative;">el=all o ((al o a) o al)=(all o al) o (a o al)=a o alel=all o ((al o a) o al)=(all o al) o (a o al)=a o ale_l=a_{ll}\ o\ ((a_l\ o\ a)\ o\ a_l)=(a_{ll}\ o\ a_l)\ o\ (a\ o\ a_l)=a\ o\ a_l
2. GGG 的左幺元也是右幺元。
a o el=a o (a−1 o a)=(a o a−1) o a=el o a=a" role="presentation" style="position: relative;">a o el=a o (a−1 o a)=(a o a−1) o a=el o a=aa o el=a o (a−1 o a)=(a o a−1) o a=el o a=aa\ o\ e_l=a\ o\ (a^{-1}\ o\ a)=(a\ o\ a^{-1})\ o\ a=e_l\ o\ a=a
3. 群的两个定义等价。
i)i)\qquad i) 幺半群，(任意元素)可逆。
ii)ii)\qquad ii) 半群，左幺元，(任意元素有)左逆元。
4. ∀a,b∈G,(a−1)−1=a,(ab)−1=b−1a−1∀a,b∈G,(a−1)−1=a,(ab)−1=b−1a−1\forall a,b\in G, (a^{-1})^{-1}=a,\quad (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}
5. 对 ∀a,b∈G∀a,b∈G\forall a,b\in G，在群 GGG 中，方程
ax=b,ya=b" role="presentation" style="position: relative;">ax=b,ya=bax=b,ya=b\qquad ax=b, ya=b 关于未知量 xxx 与 y" role="presentation" style="position: relative;">yyy 有唯一解。
6. 设 GGG 是一个非空集合，“o" role="presentation" style="position: relative;">ooo” 是 GGG 上的二元代数运算，
则 (G,o)" role="presentation" style="position: relative;">(G,o)(G,o)(G, o) 构成一个群的充分必要条件是下列两个条件同时成立：
i)i)\qquad i) “ooo”满足结合律。
ii)" role="presentation" style="position: relative;">ii)ii)\qquad ii) 对 ∀a,b∈G,a o x=by o a=b∀a,b∈G,aox=byoa=b\forall a,b\in G,\quad a\ o\ x= b\quad y\ o\ a= b 在 GGG 中有解且唯。
proof: 必要性显然。下证充分性：
k∈G,y o k=k" role="presentation" style="position: relative;">k∈G,y o k=kk∈G,y o k=kk\in G, y\ o\ k=k 有唯一解，设为 e,e o k=ke,eok=ke,\quad e\ o\ k=k
对于 ∀m∈G,k o x=m∀m∈G,kox=m\forall m\in G, k\ o\ x=m 有唯一解，设为 θ,m=k o θθ,m=koθ\theta,\quad m=k\ o\ \theta
于是，e o m=e o (k o θ)=(e o k) o θ=k o θ=meom=eo(koθ)=(eok)oθ=koθ=me\ o\ m=e\ o\ (k\ o\ \theta)=(e\ o\ k)\ o\ \theta=k\ o\ \theta=m
故存在左幺元，于是任意元素都有左逆元，因此 (G,o)(G,o)(G, o) 构成一个群。
7. 群 GGG 中的乘法满足消去律。
8. 设 G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 是一个非空有限集合，“ooo” 是 G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 上的二元代数运算，
则 (G,o)(G,o)(G, o) 构成一个群的充分必要条件是下列两个条件同时成立：
i)i)\qquad i) “ooo” 满足结合律。
ii)" role="presentation" style="position: relative;">ii)ii)\qquad ii) “ooo” 满足左右消去律。
proof: 注意到 G→a o G" role="presentation" style="position: relative;">G→a o GG→a o GG\to a\ o\ G 为单射(于是双射)，故 a o x=baox=ba\ o\ x=b 有唯一解，
由6可知 (G,o)(G,o)(G, o) 构成一个群。

定义：阶
设 (G,o)(G,o)(G, o) 是一个群，a∈Ga∈Ga\in G，使 an=ean=ea^n=e 的最小正整数 nnn 称为 a" role="presentation" style="position: relative;">aaa 的阶。
如果这样的正整数不存在，则称 aaa 的阶为无穷大。

定理：
有限群的每个元素的阶不超过有限群的阶。
(由抽屉原理即得)

定义：子群
设 (G,o)" role="presentation" style="position: relative;">(G,o)(G,o)(G, o) 是一个群，设 SSS 是 G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 的一个非空子集，
并且 (S,o)(S,o)(S, o) 也构成一个群，则称 SSS 是 G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 的子群。

性质：
子群的幺元也是群的幺元。
子群元素的逆也是该元素在群中的逆。

定理：
1. 群 GGG 的子群的交还是 G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 的子群。
2. 群 GGG 的非空子集 S" role="presentation" style="position: relative;">SSS 是 GGG 的子群的充分必要条件是：
∀a,b∈S," role="presentation" style="position: relative;">∀a,b∈S,∀a,b∈S,\qquad \forall a,b\in S, 总有 ab−1∈Sab−1∈Sab^{-1}\in S
！！！
3. 群 GGG 的非空子集 F" role="presentation" style="position: relative;">FFF 是 GGG 的子群的充分必要条件是：
F" role="presentation" style="position: relative;">FF\qquad F 对于“ooo”运算封闭。
proof: 抽屉原理

定义：
群 G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 的元素 aaa 称为群 G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 的中心元素，如果 aaa 与 G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 的每个元素可交换。
GGG 的所有中心元素的集合 C" role="presentation" style="position: relative;">CCC 称为 GGG 的中心。
定理：
群 G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 的中心 CCC 是 G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 的可交换子群。

定义：
设 MMM 是群 G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 的非空子集， GGG 的所有包含 M" role="presentation" style="position: relative;">MMM 的所有子群的交称为由 MMM 生成的子群，记为 (M)" role="presentation" style="position: relative;">(M)(M)(M)
例：(a)={...,a−2,a−1,e,a1,a2,...}(a)={...,a−2,a−1,e,a1,a2,...}(a)=\{...,a^{-2},a^{-1},e,a^1,a^2,...\}

定义：同构
设 (G1,o)(G2,∗)(G1,o)(G2,∗)(G_1, o)\quad (G_2,*) 是群，如果存在一个双射 ϕ:G1→G2ϕ:G1→G2\phi: G_1\to G_2，使得对于
∀a,b∈G1∀a,b∈G1\forall a,b\in G_1，都有
ϕ(a o b)=ϕ(a)∗ϕ(b)ϕ(aob)=ϕ(a)∗ϕ(b)\qquad \qquad \phi(a\ o\ b)=\phi(a) * \phi(b)
则称群 G1G1G_1 与 G2G2G_2 同构，记为 G1≅G2G1≅G2G_1\cong G_2，此时 ϕϕ\phi 称为 G1G1G_1 到 G2G2G_2 同构。

定义：对称群
设 SSS 是一个非空集合， sym(S)" role="presentation" style="position: relative;">sym(S)sym(S)sym(S) 是从 SSS 到 S" role="presentation" style="position: relative;">SSS 的双射构成的集合，按照映射的合成构成一个群，称为 SSS 上的对称群。当 S={1,2,...,n}" role="presentation" style="position: relative;">S={1,2,...,n}S={1,2,...,n}S=\{1,2,...,n\} 时，记 sym(S)=Sn,sym(S)sym(S)=Sn,sym(S)sym(S)=S_n, sym(S) 的任一子群称为 SSS 上的一个变换群。 Sn" role="presentation" style="position: relative;">SnSnS_n 的任一子群称为置换群。

群的Cayley同构定理：
任何一个群都同构一个变换群。
推论：任何一个n阶有限群都同构与置换群 SnSnS_n 的一个n阶子群。

定义：自同构
设 (G,o)(G,o)(G, o) 是群，如果存在一个双射 ϕ:G→Gϕ:G→G\phi: G\to G，使得对于
∀a,b∈G1∀a,b∈G1\forall a,b\in G_1，都有
ϕ(a o b)=ϕ(a) o ϕ(b)ϕ(aob)=ϕ(a)oϕ(b)\qquad \qquad \phi(a\ o\ b)=\phi(a)\ o\ \phi(b)
则称 ϕϕ\phi 为 GGG 的一个自同构。

例：四元群在同构意义下只有2个：
克莱因四元群和四元循环群

定义：设 G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 是一个群， GGG 的所有自同构之集 A(G)" role="presentation" style="position: relative;">A(G)A(G)A(G) 对映射的合成构成一个群，称为 GGG 的自同构群。

定义：内自同构
由 G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 的元素 aaa 所确定的自同构 ϕ(x)=axa−1" role="presentation" style="position: relative;">ϕ(x)=axa−1ϕ(x)=axa−1\phi(x)=axa^{-1} 称为 GGG 的内自同构。

定义：
设 (G,o)" role="presentation" style="position: relative;">(G,o)(G,o)(G, o) 是一个群，在 GGG 上定义二元关系 R" role="presentation" style="position: relative;">RRR 如下：对 ∀a,b∈G,aRb∀a,b∈G,aRb\forall a,b\in G, aRb 当且仅当有 GGG 的内自同构 ϕ" role="presentation" style="position: relative;">ϕϕ\phi，使得 b=ϕ(a)b=ϕ(a)b=\phi(a)。称二元关系 RRR 为 G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 的共轭关系，aaa 与 b" role="presentation" style="position: relative;">bbb 共轭。

\
定义：循环群
群 GGG 称为循环群，如果 G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 是由其中的某个元素 aaa 生成的，即 (a)=G" role="presentation" style="position: relative;">(a)=G(a)=G(a)=G

无穷循环群 G={...,a−2,a−1,e,a1,a2,...}G={...,a−2,a−1,e,a1,a2,...}G=\{...,a^{-2},a^{-1},e,a^1,a^2,...\} ( aaa 的阶为无穷大)
有限n阶循环群 G={e,a,a2,...,an−1}" role="presentation" style="position: relative;">G={e,a,a2,...,an−1}G={e,a,a2,...,an−1}G=\{e,a,a^2,...,a^{n-1}\} ( aaa 的阶为n)

无穷循环群同构于整数加法群 (Z,+)" role="presentation" style="position: relative;">(Z,+)(Z,+)(Z, +)
n阶有限循环群同构于模n剩余类加法群 (Zn,+)(Zn,+)(Z_n, +)

定理：
循环群 G=(a)G=(a)G=(a) 称为循环群由 aaa 生成，则：
1. 循环群的子群还是循环群。
2. 如果 G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 是无穷循环群，则 GGG 的子群是 H0={e}" role="presentation" style="position: relative;">H0={e}H0={e}H_0=\{ e\} ，或是某个具有最小正整数的元 mmm 生成的。
即：H0={e}, Hm=(am)∀m∈N+" role="presentation" style="position: relative;">H0={e}, Hm=(am)∀m∈N+H0={e}, Hm=(am)∀m∈N+H_0=\{e\},\ H_m=(a^m)\quad \forall m\in N^+ 是 GGG 的所有子群。
3. 无穷循环群中，除了 H0={e}" role="presentation" style="position: relative;">H0={e}H0={e}H_0=\{ e\} 外，都是无穷循环子群，从而都同构于 GGG 本身。
4. n阶循环群中，每个子群的阶整除n。对n的任一因子q，必有一个阶为q的子群。于是 G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 的全部子群为：
H0={e}, Hm=(am), m|nH0={e},Hm=(am),m|n\qquad \qquad H_0=\{e\},\ \ H_m=(a^m),\ \ m|n

定义：陪集
设 HHH 是群 G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 的一个子群，a为 GGG 的元素。
集合 aH" role="presentation" style="position: relative;">aHaHaH 称为子群 HHH 的一个左陪集，Ha" role="presentation" style="position: relative;">HaHaHa 称为子群 HHH 的一个右陪集。
性质：对于 ∀a,b∈G" role="presentation" style="position: relative;">∀a,b∈G∀a,b∈G\forall a,b\in G
1. a∈H <=> aH=Ha∈H<=>aH=Ha\in H\ \ aH=H
2. a−1b∈H <=> aH=bH <=> Ha−1=Hb−1a−1b∈H<=>aH=bH<=>Ha−1=Hb−1a^{-1}b\in H\ \ aH=bH\ \ Ha^{-1}=Hb^{-1}
3. 要么 aH=bHaH=bHaH=bH，要么 aH∩bH=ϕaH∩bH=ϕaH\cap bH=\phi \qquad (相交的陪集必重合)
4. |aH|=|bH|=|H||aH|=|bH|=|H||aH|=|bH|=|H| \qquad (陪集的基数均相等)
5. HHH 的所有左陪集的集族是 G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 的一个划分。
6. SlSlS_l 是 HHH 的所有左陪集构成的集族， Sr" role="presentation" style="position: relative;">SrSrS_r 是 HHH 的所有右陪集构成的集族，
则 |Sl|=|Sr|" role="presentation" style="position: relative;">|Sl|=|Sr||Sl|=|Sr||S_l|=|S_r|
proof: 构造映射 φ:Sl→Sr , φ(aH)=Ha−1φ:Sl→Sr,φ(aH)=Ha−1\varphi :S_l\to S_r\ ,\ \varphi(aH)=Ha^{-1}

定义：
设 HHH 是群 G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 的一个子群，若 HHH 的所有不同的左陪集的个数为有限数 j" role="presentation" style="position: relative;">jjj ，则称 jjj 为 H" role="presentation" style="position: relative;">HHH 在 GGG 中的指数，记为 j=[G:H]" role="presentation" style="position: relative;">j=[G:H]j=[G:H]j=[G:H]，否则说 HHH 在 G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 中的指数为无穷大。

拉格朗日定理：
设 GGG 是一个N阶有限群， H" role="presentation" style="position: relative;">HHH 是群 GGG 的一个n阶子群，则
N=n⋅[G:H]" role="presentation" style="position: relative;">N=n⋅[G:H]N=n⋅[G:H]\qquad \qquad N=n\cdot [G:H]
proof : N=|G|=|⋃a∈G aH|=∑|aH|=|H|⋅[G:H]=n⋅[G:H]N=|G|=|⋃a∈GaH|=∑|aH|=|H|⋅[G:H]=n⋅[G:H]N=|G|=|\bigcup_{a\in G}\ aH|=\sum|aH|=|H|\cdot [G:H]=n\cdot [G:H]

推论：
1. 有限群中每个元素的阶整除该有限群的阶。
δ(a)=|(a)|δ(a)=|(a)|\delta(a)=|(a)|，而 |(a)||(a)||(a)| 整除 |G||G||G|
2. 如果群 GGG 的阶 p" role="presentation" style="position: relative;">ppp 为素数，则 GGG 一定是循环群。
3. 设 G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 是N阶群，则对 ∀a∈G∀a∈G\forall a\in G，都有 aN=eaN=ea^N=e

\
定理：
1. 设 A,B,CA,B,CA, B,C 是群 GGG 的子群，
则 (AB)C=A(BC)" role="presentation" style="position: relative;">(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)
2. 设 HHH 是群 G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 的一个子群，
则 HH=H,H−1=H,HH=H,H−1=H,HH=H,H^{-1}=H,
3. 设 A,BA,BA, B 是群 GGG 的子群，则 AB" role="presentation" style="position: relative;">ABABAB 是群 GGG 的子群的充分必要条件是：
AB=BA" role="presentation" style="position: relative;">AB=BAAB=BA\qquad \qquad \qquad \qquad AB=BA

定义：正规子群
设 HHH 是群 G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 的一个子群，如果对 ∀a∈G,∀a∈G,\forall a\in G, 都有 aH=Ha,aH=Ha,aH=Ha,
则称 HHH 是 G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 的正规子群，记为 H⊲GH⊲GH\lhd G

定理：
设 HHH 是群 G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 的一个子群，则下列3个命题等价：
1. HHH 是 G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 的正规子群
2. 对 ∀a∈G,aHa−1=H∀a∈G,aHa−1=H\forall a\in G, aHa^{-1}=H
3. 对 ∀a∈G,aHa−1⊆H∀a∈G,aHa−1⊆H\forall a\in G, aHa^{-1}\subseteq H

定义：换位子群
对 ∀a,b∈G,aba−1b−1∀a,b∈G,aba−1b−1\forall a,b\in G, aba^{-1}b^{-1} 称为换位子，由所有换位子构成的子群称为换位子群。
性质：群 GGG 的换位子群是正规子群。

定理：
H" role="presentation" style="position: relative;">HHH 是 GGG 的正规子群当且仅当
对 G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 的任一内自同构 ϕϕ\phi ，都有 ϕ(H)=Hϕ(H)=H\phi(H)=H

定理：
设 HHH 是 G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 的正规子群，则 HHH 的所有左陪集构成的集族 Sl" role="presentation" style="position: relative;">SlSlS_l 对子群的乘法构成一个群。
proof:
(aH)(bH)=a(Hb)H=ab(HH)=(ab)H(aH)(bH)=a(Hb)H=ab(HH)=(ab)H(aH)(bH)=a(Hb)H=ab(HH)=(ab)H
幺元为 HHH ，元素 aH" role="presentation" style="position: relative;">aHaHaH 的逆元素为 a−1Ha−1Ha^{-1}H

定义：商群
群 GGG 的正规子群 H" role="presentation" style="position: relative;">HHH 的所有左陪集构成的集族对群子集的乘法构成的群称为 GGG 对 H" role="presentation" style="position: relative;">HHH 的商群，记为 G/HG/HG/H

定义：同态
设 (G,o)(G,o)(G, o) 和 (G¯¯¯¯,∗)(G¯,∗)(\overline{G}, *) 是两个群，如果存在一个从 GGG 到 G¯" role="presentation" style="position: relative;">G¯¯¯¯G¯\overline{G} 的映射 ϕϕ\phi ，使得对 ∀a,b∈G,∀a,b∈G,\forall a,b\in G, 都有 ϕ(a o b)=ϕ(a) ∗ ϕ(b),ϕ(aob)=ϕ(a)∗ϕ(b),\phi(a\ o\ b)=\phi(a)\ *\ \phi(b), 则称 GGG 与 G¯" role="presentation" style="position: relative;">G¯¯¯¯G¯\overline{G} 同态，记为 G∼G¯¯¯¯。ϕG∼G¯。ϕG\sim \overline{G}。\phi 为一个从 GGG 到 G¯" role="presentation" style="position: relative;">G¯¯¯¯G¯\overline{G} 的同态映射，简称同态。(单，满，同构)

定理：
设 (G,o)(G,o)(G, o) 和 (G¯¯¯¯,∗)(G¯,∗)(\overline{G}, *) 是两个群， ϕϕ\phi 是一个从 GGG 到 G¯" role="presentation" style="position: relative;">G¯¯¯¯G¯\overline{G} 的同态，则对 ∀a∈G,∀a∈G,\forall a\in G, 都有 ϕ(a−1)=(ϕ(a))−1, ϕ(e)=e¯¯¯ϕ(a−1)=(ϕ(a))−1,ϕ(e)=e¯\phi(a^{-1})=(\phi(a))^{-1},\ \phi(e)=\overline{e}

定理：
设 ϕϕ\phi 是从 (G,o)(G,o)(G, o) 到 (G¯¯¯¯,∗)(G¯,∗)(\overline{G}, *) 的满同态，则 e¯¯¯e¯\overline{e} 的原像 ϕ−1(e¯¯¯)ϕ−1(e¯)\phi^{-1}(\overline{e}) 是群 GGG 的正规子群。
proof: 封闭，可逆=>子群， aHa−1⊆H" role="presentation" style="position: relative;">aHa−1⊆HaHa−1⊆HaHa^{-1}\subseteq H

定义：同态核
设 ϕϕ\phi 是从 (G,o)(G,o)(G, o) 到 (G¯¯¯¯,∗)(G¯,∗)(\overline{G}, *) 的满同态，则 GGG 的正规子像 ϕ−1(e¯)" role="presentation" style="position: relative;">ϕ−1(e¯¯¯)ϕ−1(e¯)\phi^{-1}(\overline{e}) 称为 ϕϕ\phi 的同态核，记为 Ker(ϕ)Ker(ϕ)Ker(\phi)

定理：
设 ϕϕ\phi 是从 (G,o)(G,o)(G, o) 到 (G¯¯¯¯,∗)(G¯,∗)(\overline{G}, *) 的满同态，则
1. 如果 H⊆G,H⊆G,H\subseteq G, 那么 ϕ(H)⊆G¯¯¯¯ϕ(H)⊆G¯\phi(H)\subseteq \overline{G}
2. 如果 H⊲G,H⊲G,H\lhd G, 那么 ϕ(H)⊲G¯¯¯¯ϕ(H)⊲G¯\phi(H)\lhd \overline{G}
3. 如果 H¯¯¯¯¯⊆G¯¯¯¯,H¯⊆G¯,\overline{H}\subseteq \overline{G}, 那么 ϕ−1(H¯¯¯¯¯)⊆Gϕ−1(H¯)⊆G\phi^{-1}(\overline{H})\subseteq G
4. 如果 H¯¯¯¯¯⊲G¯¯¯¯,H¯⊲G¯,\overline{H}\lhd \overline{G}, 那么 ϕ−1(H¯¯¯¯¯)⊲Gϕ−1(H¯)⊲G\phi^{-1}(\overline{H})\lhd G

定理：
如果 NNN 是 G" role="presentation" style="position: relative;">GGG 的正规子群，则 G∼G/NG∼G/NG\sim G/N

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