抽象代数 04.05 群的直积

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§4.5 群的直积{\color{blue}{\text{\S4.5 群的直积}}}§4.5 群的直积

例4.5.1回顾线性空间的定义，子空间，商空间，补子空间，不变子空间。{\color{blue}例4.5.1\quad} 回顾线性空间的定义，子空间，商空间，补子空间，不变子空间。例4.5.1回顾线性空间的定义，子空间，商空间，补子空间，不变子空间。

群G	正规子群N	A	商群G/N	B
数域P\mathbb{P}P上线性空间V	子空间W		商空间V/W
G={1,a,a2,a3}G=\lbrace 1, a, a^2, a^3\rbraceG={1,a,a2,a3}为四阶循环群	{1,a2}\lbrace 1, a^2\rbrace{1,a2}	Z2\mathbb{Z_2}Z2	{1ˉ,aˉ}\lbrace \bar 1, \bar a\rbrace{1ˉ,aˉ}	Z2\Z_2Z2
K4={1,a,b,c∣a2=b2=c2=1,ab=c}K_4=\lbrace 1, a, b, c \vert a^2 = b^2 =c^2 = 1, ab = c \rbraceK4={1,a,b,c∣a2=b2=c2=1,ab=c}	{1,a}\lbrace 1, a \rbrace{1,a}	Z2\Z_2Z2	{1ˉ,bˉ}\lbrace \bar 1, \bar b \rbrace{1ˉ,bˉ}	Z2\Z_2Z2
S3S_3S3	A3A_3A3	Z3\Z_3Z3	S3/A3S_3/A_3S3/A3	Z2\Z_2Z2
Z\ZZ	2Z2\Z2Z	Z\ZZ	Z/2Z\Z/2\ZZ/2Z	Z2\Z_2Z2
O(n)O(n)O(n)	SO(n)SO(n)SO(n)		O(n)/SO(n)O(n)/SO(n)O(n)/SO(n)	Z2\Z_2Z2

定义4.5.2.设A,B,G都是群，若存在N⊲G使得N≅A,G/N≅B,则称G是B过A的扩张，称N为扩张核。{\color{blue}定义4.5.2.}设A,B,G都是群，若存在N \lhd G使得N \cong A, G/N \cong B,则称G是B过A的{\color{blue}扩张}，称N为{\color{blue}扩张核}。定义4.5.2.设A,B,G都是群，若存在N⊲G使得N≅A,G/N≅B,则称G是B过A的扩张，称N为扩张核。
上述定义，存在群同态λ:A→(单)和μ:G→B(满),即有群和群同态的序列上述定义，存在群同态\lambda: A \to (单)和\mu:G \to B(满),即有群和群同态的序列上述定义，存在群同态λ:A→(单)和μ:G→B(满),即有群和群同态的序列
A⟶λ(单)G⟶μ(满)B,\qquad A \overset{\lambda(单)}{\longrightarrow} G \overset{\mu(满)}{\longrightarrow}B,A⟶λ(单)G⟶μ(满)B,
并且Im(λ)=λ(A)=N=Ker μ(称序列在G处正合).并且\mathrm{Im}(\lambda) = \lambda(A) = N = \mathrm{Ker} \; \mu (称序列在G处正合).并且Im(λ)=λ(A)=N=Kerμ(称序列在G处正合).
定义4.5.3.(等价定义).称群及群同态构成的序列{\color{blue}定义4.5.3.}(等价定义).称群及群同态构成的序列定义4.5.3.(等价定义).称群及群同态构成的序列
1⟶iA⟶λG⟶μB⟶01(5.1)\qquad 1 \overset{i}{\longrightarrow} A \overset{\lambda}{\longrightarrow} G \overset{\mu}{\longrightarrow} B \overset{0}{\longrightarrow} 1 \qquad(5.1)1⟶iA⟶λG⟶μB⟶01(5.1)
为短正合序列，为{\color{blue}短正合序列}，为短正合序列，
如果前一个群同态恰为后一个群同态的核，即该序列在A,G,B处正合。如果前一个群同态恰为后一个群同态的核，即该序列在A,G,B处正合。如果前一个群同态恰为后一个群同态的核，即该序列在A,G,B处正合。
引理4.5.4.设A,B,G为群,则G是B过A的扩张当且仅当存在短正合序列(5.1)。{\color{blue}引理4.5.4.}设A,B,G为群,则G是B过A的扩张当且仅当存在短正合序列(5.1)。引理4.5.4.设A,B,G为群,则G是B过A的扩张当且仅当存在短正合序列(5.1)。
注记4.5.5.类似于群作用与群同态的关系。扩张和短正合序列也是同一个事物的{\color{blue}注记4.5.5.}类似于群作用与群同态的关系。扩张和短正合序列也是同一个事物的注记4.5.5.类似于群作用与群同态的关系。扩张和短正合序列也是同一个事物的
不同描述。类似于群作用的研究，我们需要研究不同的扩张或短正合序列的关系。不同描述。类似于群作用的研究，我们需要研究不同的扩张或短正合序列的关系。不同描述。类似于群作用的研究，我们需要研究不同的扩张或短正合序列的关系。
定理4.5.6.设A,B,G,G′是群。{\color{blue}定理4.5.6.}设A,B,G,G^{\prime}是群。定理4.5.6.设A,B,G,G′是群。
1)若G是B过A的扩张，G≅G′,则G′也是B过A的扩张。1)若G是B过A的扩张，G\cong G^{\prime},则G^{\prime}也是B过A的扩张。1)若G是B过A的扩张，G≅G′,则G′也是B过A的扩张。
2)若G,G′都是B过A的扩张，有群同态f:G→G′使得下图为交换图，则f是群同构。称G与G′是B过A的等价扩张。2)若G,G^{\prime}都是B过A的扩张，有群同态f:G\to G^{\prime}使得下图为交换图，则f是群同构。称G与G^{\prime}是B过A的{\color{blue}等价扩张}。2)若G,G′都是B过A的扩张，有群同态f:G→G′使得下图为交换图，则f是群同构。称G与G′是B过A的等价扩张。
证:2)需要证明f是单射也是满射。证:2)需要证明f是单射也是满射。证:2)需要证明f是单射也是满射。
注记4.5.7.B过A的扩张得到的群的同构类的全体与B过A的扩张(或短正合序列(5.1)){\color{blue}注记4.5.7.}B过A的扩张得到的群的同构类的全体与B过A的扩张(或短正合序列(5.1))注记4.5.7.B过A的扩张得到的群的同构类的全体与B过A的扩张(或短正合序列(5.1))
的等价类的全体一一对应。的等价类的全体一一对应。的等价类的全体一一对应。
类似于研究商空间是寻求补子空间，我们有如下命题:类似于研究商空间是寻求补子空间，我们有如下命题:类似于研究商空间是寻求补子空间，我们有如下命题:
定理4.5.8.设G是B过A的扩张，N为扩张核，对应的短正合序列为(5.1)。{\color{blue}定理4.5.8.}设G是B过A的扩张，N为扩张核，对应的短正合序列为(5.1)。定理4.5.8.设G是B过A的扩张，N为扩张核，对应的短正合序列为(5.1)。
1)若有H<G满足G=HN,H∩N={1},则μ∣H是H到B上的同构，此时v=(μ∣H)−1是B到G的同态且μv=idB.1)若有H<G满足G=HN,H \cap N = \lbrace 1 \rbrace,则\mu \vert _H是H到B上的同构，此时v=(\mu \vert _H)^{-1}是B到G的同态且\mu v = \mathrm{id}_B.1)若有H<G满足G=HN,H∩N={1},则μ∣H是H到B上的同构，此时v=(μ∣H)−1是B到G的同态且μv=idB.
2)若存在B到G的同态v使得μv=idB,则H=v(B)<G且G=HN,H∩N={1}.2)若存在B到G的同态v使得\mu v = \mathrm{id}_B,则H=v(B)<G且G=HN,H\cap N = \lbrace 1 \rbrace.2)若存在B到G的同态v使得μv=idB,则H=v(B)<G且G=HN,H∩N={1}.
定义4.5.9.设G是B过A的扩张，N为扩张核，对应的短正合序列为(5.1)。{\color{blue}定义4.5.9.}设G是B过A的扩张，N为扩张核，对应的短正合序列为(5.1)。定义4.5.9.设G是B过A的扩张，N为扩张核，对应的短正合序列为(5.1)。
若有H<G满足G=HN,H∩N={1},则称此扩张为非本质扩张(子空间的补子空间),并称G是N与H的半直积,若有H<G满足G=HN,H\cap N = \lbrace 1 \rbrace,则称此扩张为{\color{blue}非本质扩张}(子空间的补子空间),并称G是N与H的{\color{blue}半直积},若有H<G满足G=HN,H∩N={1},则称此扩张为非本质扩张(子空间的补子空间),并称G是N与H的半直积,
进一步，如果H⊲G,则称此扩张为平凡扩张。G是N和H的(内)直积(记为G=H⊗N)(不变子空间的不变补子空间)。也称G是A和B的(外)直积(记为G=A×B)。进一步，如果H\lhd G,则称此扩张为{\color{blue}平凡扩张}。G是N和H的{\color{blue}(内)直积}(记为G=H\otimes N)(不变子空间的不变补子空间)。也称G是A和B的{\color{blue}(外)直积}(记为G=A \times B)。进一步，如果H⊲G,则称此扩张为平凡扩张。G是N和H的(内)直积(记为G=H⊗N)(不变子空间的不变补子空间)。也称G是A和B的(外)直积(记为G=A×B)。
如果N⊂C(G),则称此扩张为中心扩张。如果N \sub C(G),则称此扩张为{\color{blue}中心扩张}。如果N⊂C(G),则称此扩张为中心扩张。
例4.5.10.1)Z是Z过Z2的扩张，但不是非本质扩张。{\color{blue}例4.5.10.}1)\Z是\Z过\Z_2的扩张，但不是非本质扩张。例4.5.10.1)Z是Z过Z2的扩张，但不是非本质扩张。
2)n≥3时，Sn是Z2过An的非本质扩张。2)n \geq 3时，S_n是\Z_2过A_n的非本质扩张。2)n≥3时，Sn是Z2过An的非本质扩张。
3)O(n)是Z2过SO(n)的非本质扩张。3)O(n)是\Z_2过SO(n)的非本质扩张。3)O(n)是Z2过SO(n)的非本质扩张。
4)15阶群是Z3过Z5的平凡扩张。4)15阶群是\Z_3过\Z_5的平凡扩张。4)15阶群是Z3过Z5的平凡扩张。
问题4.5.11.上述非本质扩张是否为平凡扩张。{\color{blue}问题4.5.11.}上述非本质扩张是否为平凡扩张。问题4.5.11.上述非本质扩张是否为平凡扩张。
引理4.5.12.设A，B是G的子群。G=AB。则下列命题等价。{\color{blue}引理4.5.12.}设A，B是G的子群。G=AB。则下列命题等价。引理4.5.12.设A，B是G的子群。G=AB。则下列命题等价。
1)A∩B={1}.1)A \cap B=\lbrace 1 \rbrace.1)A∩B={1}.
2)任意g∈G,g的分解g=ab(a∈A,b∈B)唯一。2)任意g \in G,g的分解g=ab(a \in A, b \in B)唯一。2)任意g∈G,g的分解g=ab(a∈A,b∈B)唯一。
3)幺元的分解唯一。3)幺元的分解唯一。3)幺元的分解唯一。
定理4.5.13.设A，B是G的子群，G=AB，A∩B={1}.则A，B都是G的正规子群当且仅当对任意a∈A,b∈B,ab=ba.{\color{blue}定理4.5.13.}设A，B是G的子群，G=AB，A\cap B = \lbrace 1 \rbrace.则A，B都是G的正规子群当且仅当对任意a \in A,b \in B,ab = ba.定理4.5.13.设A，B是G的子群，G=AB，A∩B={1}.则A，B都是G的正规子群当且仅当对任意a∈A,b∈B,ab=ba.
定理4.5.14.(直积的存在唯一性).设A，B为群，{\color{blue}定理4.5.14.}(直积的存在唯一性).设A，B为群，定理4.5.14.(直积的存在唯一性).设A，B为群，
则在同构意义下存在唯一B过A的平凡扩张G。则在同构意义下存在唯一B过A的平凡扩张G。则在同构意义下存在唯一B过A的平凡扩张G。
注记4.5.15.类似于分块矩阵。{\color{blue}注记4.5.15.}类似于分块矩阵。注记4.5.15.类似于分块矩阵。
证：存在性。在G=A×B={(a,b)∣a∈A,b∈B}中定义乘法并验证G是群。证：存在性。在G=A \times B = \lbrace (a,b)|a \in A, b \in B \rbrace中定义乘法并验证G是群。证：存在性。在G=A×B={(a,b)∣a∈A,b∈B}中定义乘法并验证G是群。
则A1={(a,1B)∣a∈A},B1={(1A,b)∣b∈B}都是G的正规子群且G=A1⊗B1.则A_1 = \lbrace (a, 1_B) | a \in A \rbrace, B_1 = \lbrace (1_A,b) | b \in B \rbrace 都是G的正规子群且G = A_1 \otimes B_1.则A1={(a,1B)∣a∈A},B1={(1A,b)∣b∈B}都是G的正规子群且G=A1⊗B1.
唯一性。G′=A′⊗B′,且A≅λA′,B≅μB′,则f:G→G′,f(a,b)=λ(a)μ(b),为群同构。唯一性。G^{\prime} = A^{\prime} \otimes B^{\prime},且A \overset{\lambda}{\cong} A^{\prime}, B \overset{\mu}{\cong} B^{\prime},则f: G \to G^{\prime}, f(a, b) = \lambda(a)\mu(b),为群同构。唯一性。G′=A′⊗B′,且A≅λA′,B≅μB′,则f:G→G′,f(a,b)=λ(a)μ(b),为群同构。
4.5.16(对称群Sn).{\color{blue}4.5.16(对称群S_n).}4.5.16(对称群Sn).
1.Sn的共轭类于n的划分、幂零矩阵的共轭类、Young图的一一对应。1.S_n的共轭类于n的划分、幂零矩阵的共轭类、Young图的一一对应。1.Sn的共轭类于n的划分、幂零矩阵的共轭类、Young图的一一对应。
2.Sn的正规子群和商群2.S_n的正规子群和商群2.Sn的正规子群和商群
n=1,2,\qquad n = 1, 2,n=1,2,
n=3,A3\qquad n = 3, A_3n=3,A3
n=4,K4,A4.S4/K4≅S3.\qquad n = 4, K_4, A_4. S_4/K_4 \cong S_3.n=4,K4,A4.S4/K4≅S3.
n≥5,A5(5次以上方程不可根式解).\qquad n \geq 5, A_5(5次以上方程不可根式解).n≥5,A5(5次以上方程不可根式解).
3.Aut(Sn)=Sn,C(Sn)={1},n≠2,6.S5的Sylow5−子群共6个，S5→S6.3.{\mathrm{Aut}(S_n)} = S_n, C(S_n) = \lbrace 1 \rbrace, n =\not 2, 6. S_5的Sylow 5-子群共6个，S_5 \to S_6.3.Aut(Sn)=Sn,C(Sn)={1},n≠2,6.S5的Sylow5−子群共6个，S5→S6.
4.Sn做为多面体的对称群:4.S_n做为多面体的对称群:4.Sn做为多面体的对称群:
S3正三角形。\qquad S_3正三角形。S3正三角形。
S4正四面体、立方体。\qquad S_4正四面体、立方体。S4正四面体、立方体。

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