抽象代数 01.04 群的同态与同构

http://www.icourses.cn 南开大学《抽象代数》

§1.4 群的同态与同构\color{blue}\text{\S 1.4 群的同态与同构}§1.4 群的同态与同构

同态与同构是抽象代数研究代数体系的重要工具。一旦证明了一个代数体系与已知的某代数体系同构，我们就可以在抽象的意义下把它看成是已知的那个代数体系。抽象代数最基本最重要的课题，就是搞清楚各种代数体系在同构意义下的分类。群的同态与同构，则是研究群与群之间关系的重要工具和手段。

定义1.4.1设{G1;⋅}与{G2;∗}是两个群，f是G1到G2的一个映射，如果{\color{blue}定义1.4.1\quad}设 \lbrace G_1; \cdot \rbrace 与 \lbrace G_2; * \rbrace 是两个群，f是G_1到G_2的一个映射，如果定义1.4.1设{G1;⋅}与{G2;∗}是两个群，f是G1到G2的一个映射，如果
f(a⋅b)=f(a)∗f(b),∀a,b∈G1.\qquad f(a \cdot b) = f(a) * f(b), \forall a, b \in G_1.f(a⋅b)=f(a)∗f(b),∀a,b∈G1.
则称f是G1到G2的一个同态映射,简称同态.则称f是G_1到G_2的一个{\color{blue}同态映射},简称{\color{blue}同态}.则称f是G1到G2的一个同态映射,简称同态.
若G1与G2是同一个群，则称f是自同态.若同态f还是单射，则称f是单同态;若G_1与G_2是同一个群，则称f是{\color{blue}自同态}.若同态f还是单射，则称f是{\color{blue}单同态};若G1与G2是同一个群，则称f是自同态.若同态f还是单射，则称f是单同态;
若同态f还是满射,则称f是满同态.当f是满同态时,称G1与G2是同态的,记为若同态f还是满射,则称f是{\color{blue}满同态}.当f是满同态时,称G_1与G_2是同态的,记为若同态f还是满射,则称f是满同态.当f是满同态时,称G1与G2是同态的,记为
G1∼G2.若同态f还是双射(双射即可逆映射,也即是单射又是满射),则称f是G_1 \sim G_2.若同态f还是双射(双射即可逆映射,也即是单射又是满射),则称f是G1∼G2.若同态f还是双射(双射即可逆映射,也即是单射又是满射),则称f是
G1到G2的一个同构映射,简称同构,此时称群G1与G2是同构的,记为G1≃G2.G_1到G_2的一个{\color{blue}同构映射},简称{\color{blue}同构},此时称群G_1与G_2是同构的,记为G_1 \simeq G_2.G1到G2的一个同构映射,简称同构,此时称群G1与G2是同构的,记为G1≃G2.
例1设V是数域P上的n维线性空间,f是V的一般线性群GL(V)到P中非零元的{\color{blue}例1 \quad}设V是数域 \mathbb{P}上的n维线性空间,f是V的一般线性群GL(V)到 \mathbb{P}中非零元的例1设V是数域P上的n维线性空间,f是V的一般线性群GL(V)到P中非零元的
乘法群{P∗;⋅}的映射,乘法群 \lbrace \mathbb{P}^{*}; \cdot \rbrace的映射,乘法群{P∗;⋅}的映射,
f(A)=det⁡(A),∀A∈GL(V).\qquad f(\mathcal{A}) = \det (\mathcal{A}), \forall \mathcal{A} \in GL(V).f(A)=det(A),∀A∈GL(V).
则f是满同态.这是因为两个线性变换乘积的行列式等于线性变换行列式的乘积。则f是满同态.这是因为两个线性变换乘积的行列式等于线性变换行列式的乘积。则f是满同态.这是因为两个线性变换乘积的行列式等于线性变换行列式的乘积。
例2设V是n维实线性空间,则GL(V)≃GLn(R){\color{blue}例2 \quad}设V是n维实线性空间,则GL(V) \simeq GL_n(\R)例2设V是n维实线性空间,则GL(V)≃GLn(R)
证:在V中取一组基{α1,⋯ ,αn},∀A∈GL(V),记A在这组基下的方阵为f(A),则根据线性代数中的结论知{\color{blue}证:}在V中取一组基\lbrace \alpha_1, \cdots,\alpha_n \rbrace, \forall \mathcal{A} \in GL(V),记 \mathcal{A} 在这组基下的方阵为f(\mathcal{A}),则根据线性代数中的结论知证:在V中取一组基{α1,⋯,αn},∀A∈GL(V),记A在这组基下的方阵为f(A),则根据线性代数中的结论知
f:GL(V)→GLn(R)\quad f:GL(V) \to GL_n(\R)f:GL(V)→GLn(R)
是双射，且是双射，且是双射，且
f(A⋅B)=f(A)⋅f(B),∀A,B∈GL(V).\quad f(\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}) = f(\mathcal{A}) \cdot f(\mathcal{B}), \forall \mathcal{A}, \mathcal{B} \in GL(V).f(A⋅B)=f(A)⋅f(B),∀A,B∈GL(V).
根据定义1.4.1,f是群GL(V)到GLn(R)的一个同构映射,故GL(V)≃GLn(R).根据定义1.4.1,f是群GL(V)到GL_n(\R)的一个同构映射,故GL(V) \simeq GL_n(\R).根据定义1.4.1,f是群GL(V)到GLn(R)的一个同构映射,故GL(V)≃GLn(R).
例3设G是一个群,H⊲G,记π是G到G/H的映射,{\color{blue}例3\quad}设G是一个群, H \lhd G, 记 \pi 是G到G/H的映射,例3设G是一个群,H⊲G,记π是G到G/H的映射,
π(g)=gH,∀g∈G.\quad \pi (g) = gH, \forall g \in G.π(g)=gH,∀g∈G.
则π是满同态,称π为群G到商群G/H的自然同态.则 \pi 是满同态,称 \pi 为群G到商群G/H的{\color{blue}自然同态}.则π是满同态,称π为群G到商群G/H的自然同态.
命题1.4.1若f是群G1到群G2的同态,g是群G2到群G3的同态,{\color{blue}命题1.4.1\quad}{\color{green}若f是群G_1到群G_2的同态,g是群G_2到群G_3的同态,}命题1.4.1若f是群G1到群G2的同态,g是群G2到群G3的同态,
则gf是G1到G3的同态.若f,g都是满(单)同态,则gf也是满(单)同态.{\color{green}则gf是G_1到G_3的同态.若f,g都是满(单)同态,则gf也是满(单)同态.}则gf是G1到G3的同态.若f,g都是满(单)同态,则gf也是满(单)同态.
若f,g都是同构,则gf也是同构,若f是同构,则f−1也是同构.{\color{green}若f,g都是同构,则gf也是同构,若f是同构,则f^{-1}也是同构.}若f,g都是同构,则gf也是同构,若f是同构,则f−1也是同构.
命题1.4.2设f是群G1到群G2的同态,e1,e2分别为G1,G2的幺元,{\color{blue}命题1.4.2\quad}{\color{green}设f是群G_1到群G_2的同态,e_1,e_2分别为G_1,G_2的幺元,}命题1.4.2设f是群G1到群G2的同态,e1,e2分别为G1,G2的幺元,
则有f(e1)=e2即∀a∈G1,f(a−1)=f(a)−1.{\color{green}则有f(e_1)=e_2即\forall a \in G_1,f(a^{-1})={f(a)}^{-1}.}则有f(e1)=e2即∀a∈G1,f(a−1)=f(a)−1.
证由f(e1)=f(e1e1)=f(e1)f(e1),两边左乘f(e1)−1,得f(e1)=e2.{\color{blue}证\quad}由f(e_1)=f(e_1e_1)=f(e_1)f(e_1),两边左乘{f(e_1)}^{-1},得f(e_1)=e_2.证由f(e1)=f(e1e1)=f(e1)f(e1),两边左乘f(e1)−1,得f(e1)=e2.
∀a∈G1,f(a−1)f(a)=f(a−1a)=f(e1)=e2,故f(a−1)=f(a)−1.\forall a \in G_1,f(a^{-1})f(a)=f(a^{-1}a)=f(e_1)=e_2,故f(a^{-1})={f(a)}^{-1}.∀a∈G1,f(a−1)f(a)=f(a−1a)=f(e1)=e2,故f(a−1)=f(a)−1.
命题1.4.3设f是群G1到G2的同态,H<G1,则H的像集合f(H)也是G2的子群,{\color{blue}命题1.4.3\quad}{\color{green}设f是群G_1到G_2的同态,H < G_1,则H的像集合f(H)也是G_2的子群,}命题1.4.3设f是群G1到G2的同态,H<G1,则H的像集合f(H)也是G2的子群,
特别,f(G1)<G2.{\color{green}特别,f(G_1) < G_2.}特别,f(G1)<G2.
证:e2=f(e1)∈f(H),知f(H)非空.∀a2,b2∈f(H),有a1,b1∈H使f(a1)=a2,f(b1)=b2,于是a2b2−1=f(a1)f(b1)−1=f(a1)f(b1−1)=f(a1b1−1)∈f(H).据定理1.3.1,f(H)<G2.{\color{blue}证:}e_2=f(e_1) \in f(H),知f(H)非空.\forall a_2,b_2 \in f(H),有a_1,b_1 \in H使f(a_1) = a_2, f(b_1)=b_2,于是a_2b_2^{-1}=f(a_1){f(b_1)}^{-1}=f(a_1)f(b_1^{-1})=f(a_1b_1^{-1}) \in f(H).据定理1.3.1,f(H) < G_2.证:e2=f(e1)∈f(H),知f(H)非空.∀a2,b2∈f(H),有a1,b1∈H使f(a1)=a2,f(b1)=b2,于是a2b2−1=f(a1)f(b1)−1=f(a1)f(b1−1)=f(a1b1−1)∈f(H).据定理1.3.1,f(H)<G2.
定义1.4.2设f是群G1到群G2的同态,则G2的幺元e2的完全原像{a∈G1∣f(a)=e2}称为同态映射f的核,记为ker⁡f.{\color{blue}定义1.4.2\quad}设f是群G_1到群G_2的同态,则G_2的幺元e_2的完全原像\lbrace a \in G_1 | f(a) = e_2 \rbrace称为{\color{blue}同态映射f的核},记为\ker f.定义1.4.2设f是群G1到群G2的同态,则G2的幺元e2的完全原像{a∈G1∣f(a)=e2}称为同态映射f的核,记为kerf.
例4设G是群,H⊲G,π是G到G/H的自然同态,则ker⁡π=H.{\color{blue}例4\quad}设G是群,H \lhd G, \pi 是G到G/H的自然同态,则 \ker \pi = H.例4设G是群,H⊲G,π是G到G/H的自然同态,则kerπ=H.
命题1.4.4设f是群G1到群G2的同态,则ker⁡f⊲G1.{\color{blue}命题1.4.4\quad}{\color{green}设f是群G_1到群G_2的同态,则\ker f \lhd G_1.}命题1.4.4设f是群G1到群G2的同态,则kerf⊲G1.
证：记e1,e2分别为G1,G2的幺元,因e1∈ker⁡f,故ker⁡f非空.∀a,b∈ker⁡f,有{\color{blue}证：}记e_1,e_2分别为G_1,G_2的幺元,因e_1 \in \ker f,故 \ker f 非空.\forall a,b \in \ker f,有证：记e1,e2分别为G1,G2的幺元,因e1∈kerf,故kerf非空.∀a,b∈kerf,有
f(ab−1)=f(a)f(b−1)=f(a)f(b)−1=e2e2−1=e2.\quad f(ab^{-1}) = f(a)f(b^{-1}) = f(a){f(b)}^{-1}=e_2e_2^{-1}=e_2.f(ab−1)=f(a)f(b−1)=f(a)f(b)−1=e2e2−1=e2.
故ab−1∈ker⁡f.据定理1.3.1,ker⁡f<G1.又∀g∈G1,a∈ker⁡f,有故ab^{-1} \in \ker f.据定理1.3.1, \ker f < G_1.又\forall g \in G_1,a \in \ker f,有故ab−1∈kerf.据定理1.3.1,kerf<G1.又∀g∈G1,a∈kerf,有
f(gag−1)=f(g)f(a)f(g−1)=f(g)e2f(g)−1=e2.\quad f(gag^{-1})=f(g)f(a)f(g^{-1})=f(g)e_2{f(g)}^{-1}=e_2.f(gag−1)=f(g)f(a)f(g−1)=f(g)e2f(g)−1=e2.
故gag−1∈ker⁡f.据定义1.3.4,ker⁡f⊲G1.故gag^{-1} \in \ker f.据定义1.3.4,\ker f \lhd G_1.故gag−1∈kerf.据定义1.3.4,kerf⊲G1.
命题1.4.5设f是群G1到群G2的同态,则f是单同态 ⟺ ker⁡f={e1},{\color{blue}命题1.4.5\quad}{\color{green}设f是群G_1到群G_2的同态,则f是单同态 \iff \ker f = \lbrace e_1 \rbrace,}命题1.4.5设f是群G1到群G2的同态,则f是单同态⟺kerf={e1},
这里e1是G1的幺元.{\color{green}这里e_1是G_1的幺元.}这里e1是G1的幺元.
证:“⇒”：据命题1.4.2知,f(e1)=e2,故{e1}⊆ker⁡f,又∀a∈ker⁡f,f(a)=e2=f(e1),因f是单射,a=e1,故ker⁡f⊆{e1}.{\color{blue}证:}“\Rightarrow”：据命题1.4.2知,f(e_1)=e_2,故\lbrace e_1 \rbrace \subseteq \ker f,又\forall a \in \ker f,f(a) = e_2 = f(e_1),因f是单射,a=e_1,故\ker f \subseteq \lbrace e_1 \rbrace.证:“⇒”：据命题1.4.2知,f(e1)=e2,故{e1}⊆kerf,又∀a∈kerf,f(a)=e2=f(e1),因f是单射,a=e1,故kerf⊆{e1}.
“⇐”：若f(a)=f(b),a,b∈G1,则f(ab−1)=f(a)⋅f(b)−1=e2,故ab−1∈ker⁡f,现ker⁡f={e1},故ab−1=e1,即a=b,故f是单同态.“\Leftarrow”：若f(a)=f(b),a,b \in G_1,则f(ab^{-1})=f(a)\cdot {f(b)}^{-1} = e_2,故ab^{-1} \in \ker f,现\ker f = \lbrace e_1 \rbrace,故ab^{-1}=e_1,即a=b,故f是单同态.“⇐”：若f(a)=f(b),a,b∈G1,则f(ab−1)=f(a)⋅f(b)−1=e2,故ab−1∈kerf,现kerf={e1},故ab−1=e1,即a=b,故f是单同态.
定理1.4.6(群的同态基本定理)设f是群G1到群G2的满同态映射,则G1/ker⁡f≃G2.{\color{blue}定理1.4.6(群的同态基本定理)\quad}{\color{green}设f是群G_1到群G_2的满同态映射,则G_1/\ker f \simeq G_2.}定理1.4.6(群的同态基本定理)设f是群G1到群G2的满同态映射,则G1/kerf≃G2.
证:记N=ker⁡f,据命题1.4.4知,N⊲G1.令{\color{blue}证:}记N = \ker f,据命题1.4.4知,N \lhd G_1.令证:记N=kerf,据命题1.4.4知,N⊲G1.令
ϕ:G1/N→G2\qquad \phi:G_1/N \to G_2ϕ:G1/N→G2
gN↦f(g)\qquad gN \mapsto f(g)gN↦f(g)
则ϕ是G1/N到G2的映射,因若g1N=g2N,g1,g2∈G1,据推论1.3.5知g1−1g2∈N,故f(g1−1g2)=e2,即f(g1)−1f(g2)=e2,故f(g1)=f(g2).这表明G1/N中任一元素在ϕ下有唯一的像,所以ϕ是映射.则\phi是G_1/N到G_2的映射,因若g_1N=g_2N,g_1,g_2 \in G_1,据推论1.3.5知g_1^{-1}g_2 \in N,故f(g_1^{-1}g_2)=e_2,即{f(g_1)}^{-1}f(g_2)=e_2,故f(g_1)=f(g_2).这表明G_1/N中任一元素在\phi下有唯一的像,所以\phi是映射.则ϕ是G1/N到G2的映射,因若g1N=g2N,g1,g2∈G1,据推论1.3.5知g1−1g2∈N,故f(g1−1g2)=e2,即f(g1)−1f(g2)=e2,故f(g1)=f(g2).这表明G1/N中任一元素在ϕ下有唯一的像,所以ϕ是映射.
其次,上边一段可以逆推回去:f(g1)=f(g2)⇒g1N=g2N,∀g1,g2∈G1,因此ϕ是单射.其次,上边一段可以逆推回去:f(g_1)=f(g_2) \Rightarrow g_1N=g_2N,\forall g_1,g_2 \in G_1,因此\phi是单射.其次,上边一段可以逆推回去:f(g1)=f(g2)⇒g1N=g2N,∀g1,g2∈G1,因此ϕ是单射.
再由f是满射,知ϕ也是满射,从而ϕ是双射.再由f是满射,知\phi也是满射,从而\phi是双射.再由f是满射,知ϕ也是满射,从而ϕ是双射.
∀aN,bN∈G/N,由f是同态,有\forall aN, bN \in G/N,由f是同态,有∀aN,bN∈G/N,由f是同态,有
ϕ(aN⋅bN)=ϕ(abN)=f(ab)\phi(aN \cdot bN) = \phi(abN) = f(ab)ϕ(aN⋅bN)=ϕ(abN)=f(ab)
=f(a)f(b)=ϕ(aN)⋅ϕ(bN),\qquad = f(a)f(b) = \phi(aN) \cdot \phi(bN),=f(a)f(b)=ϕ(aN)⋅ϕ(bN),
所以ϕ还是同态映射,于是ϕ是同构映射,故G1/N≃G2.所以\phi还是同态映射,于是\phi是同构映射,故G_1/N \simeq G_2.所以ϕ还是同态映射,于是ϕ是同构映射,故G1/N≃G2.
这个定理的结论，是两个群同构，而在抽象的意义下，两个同构的群，是相同的群。所以，这一定理是很重要的，称为群的同态基本定理。
推论1.4.7设G为一群,f是G到另一群的同态映射,则G的同态象f(G)必同构于{\color{blue}推论1.4.7\quad}{\color{green}设G为一群,f是G到另一群的同态映射,则G的}{\color{blue}同态象}{\color{green}f(G)必同构于}推论1.4.7设G为一群,f是G到另一群的同态映射,则G的同态象f(G)必同构于
G的商群G/ker⁡f;反之,G的任一商群都可看作G的同态象.{\color{green}G的商群G/\ker f;反之,G的任一商群都可看作G的同态象.}G的商群G/kerf;反之,G的任一商群都可看作G的同态象.
证:是f是G到G′的同态,则f也可看作G到f(G)的满同态,故据定理1.4.6,有G/ker⁡f≃f(G).{\color{blue}证:}是f是G到G^{\prime}的同态,则f也可看作G到f(G)的满同态,故据定理1.4.6,有G/\ker f \simeq f(G).证:是f是G到G′的同态,则f也可看作G到f(G)的满同态,故据定理1.4.6,有G/kerf≃f(G).
反之,设G/N是G的任一商群,即有N⊲G,则G到G/N的自然同态π是满同态,故G/N可看作G的同态象π(G).反之,设G/N是G的任一商群,即有N \lhd G,则G到G/N的自然同态\pi是满同态,故G/N可看作G的同态象\pi(G).反之,设G/N是G的任一商群,即有N⊲G,则G到G/N的自然同态π是满同态,故G/N可看作G的同态象π(G).
两个群间的任一满同态映射,都可看作一个群到某一个商群上的自然同态;要找出一个群G的所有同态象,就相当于找出G的所有的商群,也就相当于找出G的所有正规子群.
定理1.4.8设f是群G1到群G2的满同态,N=ker⁡f,则{\color{blue}定理1.4.8\quad}{\color{green}设f是群G_1到群G_2的满同态,N= \ker f,则}定理1.4.8设f是群G1到群G2的满同态,N=kerf,则
①f建立了G1中包含N的子群与G2中子群间的双射;{\color{green}①f建立了G_1中包含N的子群与G_2中子群间的双射;}①f建立了G1中包含N的子群与G2中子群间的双射;
②上述双射把正规子群对应到正规子群;{\color{green}②上述双射把正规子群对应到正规子群;}②上述双射把正规子群对应到正规子群;
③若H⊲G1,N⊆H,则G1/H≃G2/f(H).{\color{green}③若H \lhd G_1,N \subseteq H,则G_1/H \simeq G_2/f(H).}③若H⊲G1,N⊆H,则G1/H≃G2/f(H).
推论1.4.9设G是群,N⊲G,π是G到G/N的自然同态,则π建立了G中包含N{\color{blue}推论1.4.9\quad}{\color{green}设G是群,N \lhd G,\pi 是G到G/N的自然同态,则\pi建立了G中包含N}推论1.4.9设G是群,N⊲G,π是G到G/N的自然同态,则π建立了G中包含N
的子群与G/N的子群间的双射,而且把正规子群对应到正规子群.又若H⊲G,{\color{green}的子群与G/N的子群间的双射,而且把正规子群对应到正规子群.又若H \lhd G,}的子群与G/N的子群间的双射,而且把正规子群对应到正规子群.又若H⊲G,
N⊆H,则G/H≃(G/N)/(H/N).{\color{green}N \subseteq H,则G/H \simeq (G/N)/(H/N).}N⊆H,则G/H≃(G/N)/(H/N).
从推论1.4.7知，一个群的同态象总与该群的某一商群同构，故在讨论满同态时，我们可以只考虑群到它的商群上的自然同态，而不失一般性。
下面定理中谈到的群G的子群H，不再有“包含同态核N”的限制。
定理1.4.10设G是群,N⊲G,π是G到G/N的自然同态,H<G,则{\color{blue}定理1.4.10\quad}{\color{green}设G是群,N \lhd G, \pi 是G到G/N的自然同态,H<G,则}定理1.4.10设G是群,N⊲G,π是G到G/N的自然同态,H<G,则
①HN是G中包含N的子群,且HN=π−1(π(H)).{\color{green}①HN是G中包含N的子群,且HN = \pi^{-1}(\pi(H)).}①HN是G中包含N的子群,且HN=π−1(π(H)).
即HN是H在π映射下的象集合π(H)的完全原象π−1(π(H)).{\color{green}即HN是H在\pi映射下的象集合\pi(H)的完全原象\pi^{-1}(\pi(H)).}即HN是H在π映射下的象集合π(H)的完全原象π−1(π(H)).
②(H∩N)⊲H,且ker⁡(π∣H)=H∩N.{\color{green}②(H \cap N) \lhd H, 且 \ker (\pi |_{H}) = H \cap N.}②(H∩N)⊲H,且ker(π∣H)=H∩N.
③HN/N≃H/(H∩N).{\color{green}③HN/N \simeq H/(H \cap N).}③HN/N≃H/(H∩N).
证:①:∀h1,h2∈H,∀n1,n2∈N,即∀h1n1,h2n2∈HN,{\color{blue}证:}①: \forall h_1,h_2 \in H, \forall n_1,n_2 \in N, 即 \forall h_1n_1, h_2n_2 \in HN,证:①:∀h1,h2∈H,∀n1,n2∈N,即∀h1n1,h2n2∈HN,
h1n1(h2n2)−1=h1n1n2−1h2−1=h1h2−1h2n1n2−1h2−1.h_1n_1(h_2n_2)^{-1} = h_1n_1n_2^{-1}h_2^{-1} = h_1h_2^{-1}h_2n_1n_2^{-1}h_2^{-1}.h1n1(h2n2)−1=h1n1n2−1h2−1=h1h2−1h2n1n2−1h2−1.
因N⊲G,h2n1n2−1h2−1∈N,因H<G,h1h2−1∈H,因N \lhd G,h_2n_1n_2^{-1}h_2^{-1} \in N,因H < G,h_1h_2^{-1} \in H,因N⊲G,h2n1n2−1h2−1∈N,因H<G,h1h2−1∈H,
于是h1n1(h2n2)−1∈HN,据定理1.3.1知HN<G,且N⊆HN,又于是h_1n_1(h_2n_2)^{-1} \in HN, 据定理1.3.1知HN < G,且N \subseteq HN,又于是h1n1(h2n2)−1∈HN,据定理1.3.1知HN<G,且N⊆HN,又
π(HN)={hnN∣h∈H,n∈N}\quad \pi(HN) = \lbrace hnN | h \in H, n \in N \rbraceπ(HN)={hnN∣h∈H,n∈N}
={hN∣h∈H}=π(H).\qquad \qquad = \lbrace hN | h \in H \rbrace = \pi(H).={hN∣h∈H}=π(H).
即G中包含同态核N的子群HN在π映射下的象集是G/N中的子群π(H).即G中包含同态核N的子群HN在\pi映射下的象集是G/N中的子群\pi(H).即G中包含同态核N的子群HN在π映射下的象集是G/N中的子群π(H).
据定理1.4.8①,π建立的双射就把HN对应到π(H),从而HN=π−1(π(H)).据定理1.4.8 ①,\pi建立的双射就把HN对应到\pi(H),从而HN = \pi^{-1}(\pi(H)).据定理1.4.8①,π建立的双射就把HN对应到π(H),从而HN=π−1(π(H)).
②:因两个子群的交仍是子群,知(H∩N)<G,又(H∩N)⊆H,故(H∩N)<H.再由N⊲G,用定义1.3.4可验证(H∩N)⊲H.再注意到∀h∈H,π∣H(h)=π(h),便可证明ker⁡(π∣H)=H∩N.②:因两个子群的交仍是子群,知(H \cap N) < G,又(H \cap N) \subseteq H,故(H \cap N) < H.再由N \lhd G,用定义1.3.4可验证(H \cap N) \lhd H.再注意到 \forall h \in H,\pi | _{H}(h) = \pi (h),便可证明 \ker (\pi | _{H}) = H \cap N.②:因两个子群的交仍是子群,知(H∩N)<G,又(H∩N)⊆H,故(H∩N)<H.再由N⊲G,用定义1.3.4可验证(H∩N)⊲H.再注意到∀h∈H,π∣H(h)=π(h),便可证明ker(π∣H)=H∩N.
③:由①知π(H)=π(HN)=HN/N,所以π是H到HN/N的满同态映射,故据同态基本定理有③:由①知\pi(H) = \pi(HN) = HN/N,所以\pi是H到HN/N的满同态映射,故据同态基本定理有③:由①知π(H)=π(HN)=HN/N,所以π是H到HN/N的满同态映射,故据同态基本定理有
H/(ker⁡(π∣H)≃HN/N.\qquad H/(\ker (\pi | _{H}) \simeq HN/N.H/(ker(π∣H)≃HN/N.
而由②ker⁡(π∣H)=H∩N,故上式就是我们要证的结果.而由②\ker (\pi | _{H}) = H \cap N,故上式就是我们要证的结果.而由②ker(π∣H)=H∩N,故上式就是我们要证的结果.

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