Dijkstra算法

———————————
最后更新时间：2011.9.25
———————————
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。

Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。

其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。

初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其它顶点之间的最短路径长度。

例如，对下图中的有向图，应用Dijkstra算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径的过程列在下表中。

Dijkstra算法的迭代过程：

主题好好理解上图！

以下是具体的实现(C/C++):

/***************************************
* About:    有向图的Dijkstra算法实现
* Author:   Tanky Woo
* Blog:     www.WuTianQi.com
***************************************/#include <iostream>
using namespace std;const int maxnum = 100;
const int maxint = 999999;// 各数组都从下标1开始
int dist[maxnum];     // 表示当前点到源点的最短路径长度
int prev[maxnum];     // 记录当前点的前一个结点
int c[maxnum][maxnum];   // 记录图的两点间路径长度
int n, line;             // 图的结点数和路径数// n -- n nodes
// v -- the source node
// dist[] -- the distance from the ith node to the source node
// prev[] -- the previous node of the ith node
// c[][] -- every two nodes' distance
void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])
{bool s[maxnum];    // 判断是否已存入该点到S集合中for(int i=1; i<=n; ++i){dist[i] = c[v][i];s[i] = 0;     // 初始都未用过该点if(dist[i] == maxint)prev[i] = 0;elseprev[i] = v;}dist[v] = 0;s[v] = 1;// 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中// 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度// 注意是从第二个节点开始，第一个为源点for(int i=2; i<=n; ++i){int tmp = maxint;int u = v;// 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值for(int j=1; j<=n; ++j)if((!s[j]) && dist[j]<tmp){u = j;              // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码tmp = dist[j];}s[u] = 1;    // 表示u点已存入S集合中// 更新distfor(int j=1; j<=n; ++j)if((!s[j]) && c[u][j]<maxint){int newdist = dist[u] + c[u][j];if(newdist < dist[j]){dist[j] = newdist;prev[j] = u;}}}
}// 查找从源点v到终点u的路径，并输出
void searchPath(int *prev,int v, int u)
{int que[maxnum];int tot = 1;que[tot] = u;tot++;int tmp = prev[u];while(tmp != v){que[tot] = tmp;tot++;tmp = prev[tmp];}que[tot] = v;for(int i=tot; i>=1; --i)if(i != 1)cout << que[i] << " -> ";elsecout << que[i] << endl;
}int main()
{freopen("input.txt", "r", stdin);// 各数组都从下标1开始// 输入结点数cin >> n;// 输入路径数cin >> line;int p, q, len;          // 输入p, q两点及其路径长度// 初始化c[][]为maxintfor(int i=1; i<=n; ++i)for(int j=1; j<=n; ++j)c[i][j] = maxint;for(int i=1; i<=line; ++i)  {cin >> p >> q >> len;if(len < c[p][q])       // 有重边{c[p][q] = len;      // p指向qc[q][p] = len;      // q指向p，这样表示无向图}}for(int i=1; i<=n; ++i)dist[i] = maxint;for(int i=1; i<=n; ++i){for(int j=1; j<=n; ++j)printf("%8d", c[i][j]);printf("\n");}Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);// 最短路径长度cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;// 路径cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";searchPath(prev, 1, n);
}

输入数据:
5
7
1 2 10
1 4 30
1 5 100
2 3 50
3 5 10
4 3 20
4 5 60
输出数据:
999999 10 999999 30 100
10 999999 50 999999 999999
999999 50 999999 20 10
30 999999 20 999999 60
100 999999 10 60 999999
源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5

最后给出两道题目练手，都是直接套用模版就OK的：
1.HDOJ 1874 畅通工程续
http://www.wutianqi.com/?p=1894

2.HDOJ 2544 最短路
http://www.wutianqi.com/?p=1892

Dijkstra算法（单源最短路径）

单源最短路径问题，即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。在弄清楚如何求算单源最短路径问题之前，必须弄清楚最短路径的最优子结构性质。

一.最短路径的最优子结构性质

该性质描述为：如果P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的一个中间顶点，那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。

假设P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径P'(k,s)，那么P'(i,j)=P(i,k)+P'(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。

二.Dijkstra算法

由上述性质可知，如果存在一条从i到j的最短路径(Vi.....Vk,Vj)，Vk是Vj前面的一顶点。那么(Vi...Vk)也必定是从i到k的最短路径。为了求出最短路径，Dijkstra就提出了以最短路径长度递增，逐次生成最短路径的算法。譬如对于源顶点V0，首先选择其直接相邻的顶点中长度最短的顶点Vi，那么当前已知可得从V0到达Vj顶点的最短距离dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]}。根据这种思路，

假设存在G=<V,E>，源顶点为V0，U={V0},dist[i]记录V0到i的最短距离，path[i]记录从V0到i路径上的i前面的一个顶点。

1.从V-U中选择使dist[i]值最小的顶点i，将i加入到U中；

2.更新与i直接相邻顶点的dist值。(dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]})

3.知道U=V，停止。

代码实现:

/*Dijkstra求单源最短路径 2010.8.26*/#include <iostream>
#include<stack>
#define M 100
#define N 100
using namespace std;typedef struct node
{int matrix[N][M];      //邻接矩阵 int n;                 //顶点数 int e;                 //边数
}MGraph; void DijkstraPath(MGraph g,int *dist,int *path,int v0)   //v0表示源顶点
{int i,j,k;bool *visited=(bool *)malloc(sizeof(bool)*g.n);for(i=0;i<g.n;i++)     //初始化
    {if(g.matrix[v0][i]>0&&i!=v0){dist[i]=g.matrix[v0][i];path[i]=v0;     //path记录最短路径上从v0到i的前一个顶点
        }else{dist[i]=INT_MAX;    //若i不与v0直接相邻，则权值置为无穷大 path[i]=-1;}visited[i]=false;path[v0]=v0;dist[v0]=0;}visited[v0]=true;for(i=1;i<g.n;i++)     //循环扩展n-1次
    {int min=INT_MAX;int u;for(j=0;j<g.n;j++)    //寻找未被扩展的权值最小的顶点
        {if(visited[j]==false&&dist[j]<min){min=dist[j];u=j;        }} visited[u]=true;for(k=0;k<g.n;k++)   //更新dist数组的值和路径的值
        {if(visited[k]==false&&g.matrix[u][k]>0&&min+g.matrix[u][k]<dist[k]){dist[k]=min+g.matrix[u][k];path[k]=u; }}        }
}void showPath(int *path,int v,int v0)   //打印最短路径上的各个顶点
{stack<int> s;int u=v;while(v!=v0){s.push(v);v=path[v];}s.push(v);while(!s.empty()){cout<<s.top()<<" ";s.pop();}
} int main(int argc, char *argv[])
{int n,e;     //表示输入的顶点数和边数 while(cin>>n>>e&&e!=0){int i,j;int s,t,w;      //表示存在一条边s->t,权值为w
        MGraph g;int v0;int *dist=(int *)malloc(sizeof(int)*n);int *path=(int *)malloc(sizeof(int)*n);for(i=0;i<N;i++)for(j=0;j<M;j++)g.matrix[i][j]=0;g.n=n;g.e=e;for(i=0;i<e;i++){cin>>s>>t>>w;g.matrix[s][t]=w;}cin>>v0;        //输入源顶点
        DijkstraPath(g,dist,path,v0);for(i=0;i<n;i++){if(i!=v0){showPath(path,i,v0);cout<<dist[i]<<endl;}}}return 0;
}

　　测试数据：

　　运行结果：

const int  MAXINT = 32767;
const int MAXNUM = 10;
int dist[MAXNUM];
int prev[MAXNUM];int A[MAXUNM][MAXNUM];void Dijkstra(int v0)
{bool S[MAXNUM];                                  // 判断是否已存入该点到S集合中int n=MAXNUM;for(int i=1; i<=n; ++i){dist[i] = A[v0][i];S[i] = false;                                // 初始都未用过该点if(dist[i] == MAXINT)    prev[i] = -1;else prev[i] = v0;}dist[v0] = 0;S[v0] = true; 　　for(int i=2; i<=n; i++){int mindist = MAXINT;int u = v0; 　　                            // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值for(int j=1; j<=n; ++j)if((!S[j]) && dist[j]<mindist){u = j;                             // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码 mindist = dist[j];}S[u] = true; for(int j=1; j<=n; j++)if((!S[j]) && A[u][j]<MAXINT){if(dist[u] + A[u][j] < dist[j])     //在通过新加入的u点路径找到离v0点更短的路径
           　    　{dist[j] = dist[u] + A[u][j];    //更新dist prev[j] = u;                    //记录前驱顶点
            　　    }}}
}

typedef struct
{        char vertex[VertexNum];                                //顶点表         int edges[VertexNum][VertexNum];                       //邻接矩阵,可看做边表         int n,e;                                               //图中当前的顶点数和边数
}MGraph; void Floyd(MGraph g)
{int A[MAXV][MAXV];int path[MAXV][MAXV];int i,j,k,n=g.n;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){ 　　A[i][j]=g.edges[i][j];path[i][j]=-1;}for(k=0;k<n;k++){ for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)if(A[i][j]>(A[i][k]+A[k][j])){A[i][j]=A[i][k]+A[k][j];path[i][j]=k;} }
}