积分简明笔记-第二类曲线积分的类型
第二类曲线积分的类型
一、第二类曲线积分的分类
01 平面第二类曲线积分
02 空间第二类曲线积分
二、第二类曲线积分的表现形式
00 分析的准备工作
ds⋅cosα=∣PT∣cosα=∣PQ∣=dxds\cdot\cos\alpha=|PT|\cos\alpha=|PQ|=dxds⋅cosα=∣PT∣cosα=∣PQ∣=dx，ds=tan2α+1⋅dxds=\sqrt{\tan^2\alpha+1}\cdot dxds=tan2α+1⋅dx
a⃗={x1,y1,z1}\vec{a}=\{x_1,y_1,z_1\}a={x1,y1,z1}，x1=a⃗⋅i⃗=∣a⃗∣cosαx_1=\vec{a}\cdot\vec{i}=|\vec{a}|\cos\alphax1=a⋅i=∣a∣cosα，
y1=a⃗⋅j⃗=∣a⃗∣cosβy_1=\vec{a}\cdot\vec{j}=|\vec{a}|\cos\betay1=a⋅j=∣a∣cosβ，z1=a⃗⋅k⃗=∣a⃗∣cosγz_1=\vec{a}\cdot\vec{k}=|\vec{a}|\cos\gammaz1=a⋅k=∣a∣cosγ
01 平面第二类曲线积分
一般形式：∫ΓAB(A⃗(P)⋅T0⃗(P))ds=∫ΓAB(A⃗⋅T0⃗)ds\int_{\Gamma_{AB}}(\vec{A}(P)\cdot\vec{T^0}(P))ds=\int_{\Gamma_{AB}}(\vec{A}\cdot\vec{T^0})ds∫ΓAB(A(P)⋅T0(P))ds=∫ΓAB(A⋅T0)ds
若 ΓAB⊂R2\Gamma_{AB}\subset\mathrm{R}^2ΓAB⊂R2，P(x,y)∈ΓABP(x,y)\in\Gamma_{AB}P(x,y)∈ΓAB，T⃗\vec{T}T 在平面曲线 Γ\GammaΓ 上点 (x,y)(x,y)(x,y) 处，切线的单位向量 T0⃗\vec{T^0}T0 与指定的方向一致。
T0⃗={cosα,cosβ}\vec{T^0}=\{\cos\alpha,\cos\beta\}T0={cosα,cosβ} ，T0→⋅ds=△ds⃗={cosα,cosβ}={dx,dy}\overrightarrow{T_0}\cdot ds\stackrel{\triangle}{=}d\vec{s}=\{\cos\alpha,\cos\beta\}=\{dx,dy\}T0⋅ds=△ds={cosα,cosβ}={dx,dy} ，A⃗(x,y)={P(x,y),Q(x,y)}\vec{A}(x,y)=\{P(x,y),Q(x,y)\}A(x,y)={P(x,y),Q(x,y)}
①∫ΓAB(A⃗⋅T0⃗)ds②=∫ΓABA⃗⋅ds⃗③=∫ΓAB(P(x,y)cosα+Q(x,y)cosβ)ds=∫ΓAB(Pcosα+Qcosβ)ds④=∫ΓABP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫ΓABPdx+Qdy(用得较多)⑤=∫ΓABP(x,y)dx+∫ΓABQ(x,y)dy\begin{aligned} ①& \ \ \int_{\Gamma_{AB}}(\vec{A}\cdot\vec{T^0})ds\\ ②& \ \ =\int_{\Gamma_{AB}}\vec{A}\cdot d\vec{s}\\ ③& \ \ =\int_{\Gamma_{AB}}(P(x,y)\cos\alpha+Q(x,y)\cos\beta)ds\\ & \ \ =\int_{\Gamma_{AB}}(P\cos\alpha+Q\cos\beta)ds\\ ④& \ \ =\int_{\Gamma_{AB}}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\\ & \ \ =\int_{\Gamma_{AB}}Pdx+Qdy\ \ \ (用得较多)\\ ⑤& \ \ =\int_{\Gamma_{AB}}P(x,y)dx+\int_{\Gamma_{AB}}Q(x,y)dy \end{aligned} ①②③④⑤ ∫ΓAB(A⋅T0)ds =∫ΓABA⋅ds =∫ΓAB(P(x,y)cosα+Q(x,y)cosβ)ds =∫ΓAB(Pcosα+Qcosβ)ds =∫ΓABP(x,y)dx+Q(x,y)dy =∫ΓABPdx+Qdy (用得较多) =∫ΓABP(x,y)dx+∫ΓABQ(x,y)dy
02 空间第二类曲线积分
一般形式：∫ΓAB(A⃗(P)⋅T0⃗(P))ds=∫ΓAB(A⃗⋅T0⃗)ds\int_{\Gamma_{AB}}(\vec{A}(P)\cdot\vec{T^0}(P))ds=\int_{\Gamma_{AB}}(\vec{A}\cdot\vec{T^0})ds∫ΓAB(A(P)⋅T0(P))ds=∫ΓAB(A⋅T0)ds
若 ΓAB⊂R3\Gamma_{AB}\subset\mathrm{R}^3ΓAB⊂R3，P(x,y,z)∈ΓABP(x,y,z)\in\Gamma_{AB}P(x,y,z)∈ΓAB，T⃗\vec{T}T 在空间曲线 Γ\GammaΓ 上点 (x,y,z)(x,y,z)(x,y,z) 处，
切线的单位向量 T0⃗={cosα,cosβ,cosγ}\vec{T^0}=\{\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma\}T0={cosα,cosβ,cosγ} 与指定的方向一致。
T0⃗={cosα,cosβ,cosγ}\vec{T^0}=\{\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma\}T0={cosα,cosβ,cosγ} ，T0→⋅ds=△ds⃗={cosα,cosβ,cosγ}={dx,dy,dz}\overrightarrow{T_0}\cdot ds\stackrel{\triangle}{=}d\vec{s}=\{\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma\}=\{dx,dy,dz\}T0⋅ds=△ds={cosα,cosβ,cosγ}={dx,dy,dz}
A⃗(x,y)={P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}\vec{A}(x,y)=\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\}A(x,y)={P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}
①∫ΓAB(A⃗⋅T0⃗)ds②=∫ΓABA⃗⋅ds⃗③=∫ΓAB(P(x,y,z)cosα+Q(x,y,z)cosβ+R(x,y,z)cosγ)ds=∫ΓAB(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds④=∫ΓABP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=∫ΓABPdx+Qdy+Rdz(用得较多)⑤=∫ΓABP(x,y,z)dx+∫ΓABQ(x,y,z)dy+∫ΓABR(x,y,z)dz\begin{aligned} ①& \ \ \int_{\Gamma_{AB}}(\vec{A}\cdot\vec{T^0})ds\\ ②& \ \ =\int_{\Gamma_{AB}}\vec{A}\cdot d\vec{s}\\ ③& \ \ =\int_{\Gamma_{AB}}(P(x,y,z)\cos\alpha+Q(x,y,z)\cos\beta+R(x,y,z)\cos\gamma)ds\\ & \ \ =\int_{\Gamma_{AB}}(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)ds\\ ④& \ \ =\int_{\Gamma_{AB}}P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz\\ & \ \ =\int_{\Gamma_{AB}}Pdx+Qdy+Rdz\ \ \ (用得较多)\\ ⑤& \ \ =\int_{\Gamma_{AB}}P(x,y,z)dx+\int_{\Gamma_{AB}}Q(x,y,z)dy+\int_{\Gamma_{AB}}R(x,y,z)dz \end{aligned} ①②③④⑤ ∫ΓAB(A⋅T0)ds =∫ΓABA⋅ds =∫ΓAB(P(x,y,z)cosα+Q(x,y,z)cosβ+R(x,y,z)cosγ)ds =∫ΓAB(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds =∫ΓABP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz =∫ΓABPdx+Qdy+Rdz (用得较多) =∫ΓABP(x,y,z)dx+∫ΓABQ(x,y,z)dy+∫ΓABR(x,y,z)dz
三、第二类曲线积分的计算
01 平面第二类曲线积分
如果直接计算二曲线积分，要化成哪一种？
如果直接计算第二类曲线积分，不管给哪一种形式都要化成第④种，把曲线 ΓAB\Gamma_{AB}ΓAB 表示为参数方程：
ΓAB:{x=x(t)y=y(t)\Gamma_{AB}:\ \begin{cases}\ x=x(t) \\ \ y=y(t) \end{cases}ΓAB: { x=x(t) y=y(t) 找出起点 AAA 对应的参数 tAt_AtA，找出终点 BBB 对应的参数 tBt_BtB 。
∫ΓABPdx+Qdy=∫tAtB[P(x(t),y(t))x′(t)+Q(x(t),y(t))y′(t)]dt\begin{aligned} & \int_{\Gamma_{AB}}Pdx+Qdy=\int_{t_A}^{t_B}[P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)]dt \end{aligned} ∫ΓABPdx+Qdy=∫tAtB[P(x(t),y(t))x′(t)+Q(x(t),y(t))y′(t)]dt
对于平面曲线 ΓAB\Gamma_{AB}ΓAB，在五种“平面第二类曲线积分“的基础上，曲线的方程又有以下几种情况。
(1) 一元函数型
形式：ΓAB:y=φ(x),x∈[a,b]\Gamma_{AB}:y=\varphi(x),x\in[a,b]ΓAB:y=φ(x),x∈[a,b]，( x=xx=xx=x ) 特殊的参数方程
(2) 常数函数型
形式：ΓAB:y=a(常数)\Gamma_{AB}:y=a\ (常数)ΓAB:y=a (常数)， ( x=xx=xx=x ) 特殊的参数方程
(3) 一元反函数型
形式：ΓAB:x=ψ(y),y∈[c,d],ψ’(x)\Gamma_{AB}:x=\psi(y)\ , \ y\in[c,d]\ , \ \psi’(x)ΓAB:x=ψ(y) , y∈[c,d] , ψ’(x) 连续 ( y=yy=yy=y ) 特殊的参数方程
(4) 反函数常数型
形式：ΓAB:x=a(常数),y∈[c,d],ψ’(x)\Gamma_{AB}:x=a\ (常数)\ , \ y\in[c,d]\ , \ \psi’(x)ΓAB:x=a (常数) , y∈[c,d] , ψ’(x) 连续 ( y=yy=yy=y ) 特殊的参数方程
(5) 极坐标型
形式：ΓAB:r=r(θ),θ∈[α,β],r′(θ)\Gamma_{AB}:r=r(\theta)\ , \ \theta\in[\alpha,\beta]\ , \ r'(\theta)ΓAB:r=r(θ) , θ∈[α,β] , r′(θ) 连续
⇒{x=r(θ)cosθy=r(θ)sinθθ∈[α,β]\Rightarrow\ \begin{cases}\ x=r(\theta)\cos\theta \\ \ y=r(\theta)\sin\theta\end{cases}\quad\theta\in[\alpha,\beta]⇒ { x=r(θ)cosθ y=r(θ)sinθθ∈[α,β] ，x′2(θ)+y′2(θ)=r2(θ)+r′2(θ)x'^2(\theta)+y'^2(\theta)=r^2(\theta)+r'^2(\theta)x′2(θ)+y′2(θ)=r2(θ)+r′2(θ)
(6) 反极坐标型
形式：ΓAB:θ=θ(r),r∈[a,b],θ′(r)\Gamma_{AB}:\theta=\theta(r)\ , \ r\in[a,b]\ , \ \theta'(r)ΓAB:θ=θ(r) , r∈[a,b] , θ′(r) 连续
⇒{x=rcosθ(r)y=rsinθ(r)r∈[a,b]\Rightarrow\ \begin{cases}\ x=r\cos\theta(r) \\ \ y=r\sin\theta(r)\end{cases}\quad r\in[a,b]⇒ { x=rcosθ(r) y=rsinθ(r)r∈[a,b]
02 空间第二类曲线积分
(1) 封闭曲线型
形式：∮LPdx+Qdy+Rdz\oint_{L}Pdx+Qdy+Rdz∮LPdx+Qdy+Rdz
① 直接计算
能直接计算就直接计算，L:{x=x(t)y=y(t)z=z(t)L:\ \begin{cases}\ x=x(t) \\ \ y=y(t) \\ \ z=z(t)\end{cases}L: ⎩⎨⎧ x=x(t) y=y(t) z=z(t) ，找出起点对应的参数 t0t_0t0，找出终点对应的参数 t1t_1t1 。化成参数的定积分。
② 斯托克斯公式
(2) 非封闭曲线型
形式：∫ΓABPdx+Qdy+Rdz\int_{\Gamma_{AB}}Pdx+Qdy+Rdz∫ΓABPdx+Qdy+Rdz
① 直接计算
能直接计算就直接计算，ΓAB:{x=x(t)y=y(t)z=z(t)\Gamma_{AB}:\ \begin{cases}\ x=x(t) \\ \ y=y(t) \\ \ z=z(t)\end{cases}ΓAB: ⎩⎨⎧ x=x(t) y=y(t) z=z(t) 找出起点 AAA 对应的参数 tAt_AtA，找出终点 BBB 对应的参数 tBt_BtB 。化成参数的定积分。
② 牛顿-莱布尼兹公式
若找到 u(x,y,z)u(x,y,z)u(x,y,z)，使 du=Pdx+Qdy+Rdzdu=Pdx+Qdy+Rdzdu=Pdx+Qdy+Rdz，
∫ΓABPdx+Qdy+Rdz=∫A(x0,y0,z0)B(x1,y1,z1)du=u(x,y,z)∣A(x0,y0,z0)B(x1,y1,z1)\displaystyle{ \int_{\Gamma_{AB}}Pdx+Qdy+Rdz=\int_{A(x_0,y_0,z_0)}^{B(x_1,y_1,z_1)}du=u(x,y,z)\Big|_{A(x_0,y_0,z_0)}^{B(x_1,y_1,z_1)} }∫ΓABPdx+Qdy+Rdz=∫A(x0,y0,z0)B(x1,y1,z1)du=u(x,y,z)∣∣A(x0,y0,z0)B(x1,y1,z1)
∫A(x0,y0,z0)B(x1,y1,z1)Pdx+Qdy+Rdz=∫x0x1P(x,y0,z0)dx+∫y0y1Q(x1,y,z0)dy+∫z0z1R(x1,y1,z)dz\displaystyle{ \int_{A(x_0,y_0,z_0)}^{B(x_1,y_1,z_1)}Pdx+Qdy+Rdz=\int_{x_0}^{x_1}P(x,y_0,z_0)dx+\int_{y_0}^{y_1}Q(x_1,y,z_0)dy+\int_{z_0}^{z_1}R(x_1,y_1,z)dz }%∫A(x0,y0,z0)B(x1,y1,z1)Pdx+Qdy+Rdz=∫x0x1P(x,y0,z0)dx+∫y0y1Q(x1,y,z0)dy+∫z0z1R(x1,y1,z)dz
③ 路径无关
找到线单连通 Ω\OmegaΩ 使 ΓAB⊂Ω\Gamma_{AB}\subset\OmegaΓAB⊂Ω，有 P,Q,RP\ , \ Q\ , \ RP , Q , R 偏导数连续，且 rotA⃗≡0\mathrm{rot}\vec{A}\equiv0rotA≡0，知与路径无关。
∫A(x0,y0,z0)B(x1,y1,z1)P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz\displaystyle{ \int_{A(x_0,y_0,z_0)}^{B(x_1,y_1,z_1)}P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz }%∫A(x0,y0,z0)B(x1,y1,z1)P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz
=∫x0x1P(x,y0,z0)dx+∫y0y1Q(x1,y,z0)dy+∫z0z1R(x1,y1,z)dz\displaystyle{ =\int_{x_0}^{x_1}P(x,y_0,z_0)dx+\int_{y_0}^{y_1}Q(x_1,y,z_0)dy+\int_{z_0}^{z_1}R(x_1,y_1,z)dz }%=∫x0x1P(x,y0,z0)dx+∫y0y1Q(x1,y,z0)dy+∫z0z1R(x1,y1,z)dz
将 x1x_1x1 换成 xxx，同理有：
u(x,y,z)=∫A(x0,y0,z0)B(x1,y1,z1)Pdx+Qdy+Rdz+C\displaystyle{ u(x,y,z)=\int_{A(x_0,y_0,z_0)}^{B(x_1,y_1,z_1)}Pdx+Qdy+Rdz+C }%u(x,y,z)=∫A(x0,y0,z0)B(x1,y1,z1)Pdx+Qdy+Rdz+C （与路径无关）
=∫x0xP(x,y0,z0)dx+∫y0yQ(x,y,z0)dy+∫z0zR(x,y,z)dz+C\displaystyle{ =\int_{x_0}^{x}P(x,y_0,z_0)dx+\int_{y_0}^{y}Q(x,y,z_0)dy+\int_{z_0}^{z}R(x,y,z)dz+C }%=∫x0xP(x,y0,z0)dx+∫y0yQ(x,y,z0)dy+∫z0zR(x,y,z)dz+C
四、平面第二类曲线积分的八种解题类型
利用格林公式与平面曲线积分与路径无关的四个等价条件，讨论下面类型。
01 封闭曲线型
形式：∮ΓP(x,y)dx+Q(x,y)dy\oint_{\Gamma}P(x,y)dx+Q(x,y)dy∮ΓP(x,y)dx+Q(x,y)dy， Γ\GammaΓ 为封闭曲线，沿正向。
首先需要求出 ∂Q∂x,∂P∂y\displaystyle{\frac{\partial Q}{\partial x} \ , \ \frac{\partial P}{\partial y} }%∂x∂Q , ∂y∂P ，然后有以下三种不同情况的讨论：
① 若 PPP，QQQ 在 Γ\GammaΓ 包围的区域 DDD 上连续且具有连续的一阶偏导数，则使用格林公式：
∮ΓP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy\displaystyle{\oint_{\Gamma}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint\limits_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y}∮ΓP(x,y)dx+Q(x,y)dy=D∬(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy ( 要求二重积分容易计算 )
② 在 Γ\GammaΓ 包围的区域 DDD 内部有”洞“（所谓”洞“，主要指的是 PPP，QQQ 在该区域没有定义）
在”洞“的外部， PPP，QQQ 的偏导数均连续且有 ∂Q∂x≡∂P∂y\displaystyle{\frac{\partial Q}{\partial x}\equiv\frac{\partial P}{\partial y} }%∂x∂Q≡∂y∂P ，
则 ∮Γ+Pdx+Qdy=∮Γ1+Pdx+Qdy,Γ,Γ1\oint_{\Gamma^+}Pdx+Qdy=\oint_{\Gamma_1^+}Pdx+Qdy\ ,\ \Gamma,\Gamma_1∮Γ+Pdx+Qdy=∮Γ1+Pdx+Qdy , Γ,Γ1 包围同一些”洞“，同方向。
对结论进行证明：
证明:∮Γ++Γ1−Pdx+Qdy=∬D1(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=∬D10dxdy=0∮Γ+Pdx+Qdy+∮Γ1−Pdx+Qdy=0∮Γ+Pdx+Qdy−∮Γ1+Pdx+Qdy=0∮Γ+Pdx+Qdy=∮Γ1+Pdx+Qdy\begin{aligned} & 证明:\oint_{\Gamma^++\Gamma_1^-}Pdx+Qdy=\iint\limits_{D_1}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\iint\limits_{D_1}0dxdy=0\\ & \quad\quad\ \oint_{\Gamma^+}Pdx+Qdy+\oint_{\Gamma_1^-}Pdx+Qdy=0\\ & \quad\quad\ \oint_{\Gamma^+}Pdx+Qdy-\oint_{\Gamma_1^+}Pdx+Qdy=0\\ & \quad\quad\ \oint_{\Gamma^+}Pdx+Qdy=\oint_{\Gamma_1^+}Pdx+Qdy\\ \end{aligned} 证明:∮Γ++Γ1−Pdx+Qdy=D1∬(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy=D1∬0dxdy=0 ∮Γ+Pdx+Qdy+∮Γ1−Pdx+Qdy=0 ∮Γ+Pdx+Qdy−∮Γ1+Pdx+Qdy=0 ∮Γ+Pdx+Qdy=∮Γ1+Pdx+Qdy
常用场景：
P,Q分母为 ax2+by2(a>0,b>0,常数)如 Γ包围原点 O(0,0)，此时 0为洞。若不在O点时，P,Q偏导数连续且 ∂Q∂x≡∂P∂y选取Γ1：ax2+by2=R2(R>0，常数)经常R=1，Γ1与Γ同方向化成Γ1上的第二类曲线积分。此时分母ax2+by2=R2，化简后的P,Q表达式变得简单 (科学瘦身)此时，偏导数连续，可以用格林公式。\begin{aligned} & P\ ,\ Q\ 分母为\ ax^2+by^2 \ (a>0,b>0,常数)\\ & 如\ \Gamma 包围原点\ O(0,0)，此时\ 0 \ 为洞。\\ & 若不在O点时，\\ & P\ ,\ Q偏导数连续且\ \frac{\partial Q}{\partial x}\equiv\frac{\partial P}{\partial y}\\ & 选取\Gamma_1：ax^2+by^2=R^2\ (R>0，常数)\\ & 经常R=1，\Gamma_1与\Gamma同方向\\ & 化成\Gamma_1上的第二类曲线积分。\\ & 此时分母ax^2+by^2=R^2，化简后的P\ ,\ Q表达式变得简单\ (科学瘦身)\\ & 此时，偏导数连续，可以用格林公式。 \end{aligned} P , Q 分母为 ax2+by2 (a>0,b>0,常数)如 Γ包围原点 O(0,0)，此时 0 为洞。若不在O点时，P , Q偏导数连续且 ∂x∂Q≡∂y∂P选取Γ1：ax2+by2=R2 (R>0，常数)经常R=1，Γ1与Γ同方向化成Γ1上的第二类曲线积分。此时分母ax2+by2=R2，化简后的P , Q表达式变得简单 (科学瘦身)此时，偏导数连续，可以用格林公式。
③ 如果 Γ\GammaΓ 表示成参数方程简单化成一元函数的定积分容易积分，也可以直接计算。
02 非封闭曲线型
形式：∫ΓABP(x,y)dx+Q(x,y)dy\int_{\Gamma_{AB}}P(x,y)dx+Q(x,y)dy∫ΓABP(x,y)dx+Q(x,y)dy， ΓAB\Gamma_{AB}ΓAB 为平面上非封闭曲线。
首先需要求出 ∂Q∂x,∂P∂y\displaystyle{\frac{\partial Q}{\partial x} \ , \ \frac{\partial P}{\partial y} }%∂x∂Q , ∂y∂P ，然后有以下三种不同情况的讨论：
① 如果 (x,y)∈ΓAB(x,y)\in\Gamma_{AB}(x,y)∈ΓAB，∂Q∂x=∂P∂y\displaystyle{\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} }%∂x∂Q=∂y∂P 连续，则在如图所示的区域 DDD 上，∂Q∂x=∂P∂y\displaystyle{\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} }%∂x∂Q=∂y∂P 连续，
AC→:y=y0(x=x)特殊的参数方程{A:x0C:x1\overrightarrow{AC}:\ y=y_0\ (x=x)\ 特殊的参数方程 \begin{cases}\ A:x_0 \\ \ C:x_1 \end{cases}AC: y=y0 (x=x) 特殊的参数方程{ A:x0 C:x1 ，
CB→:x=x1(y=y)特殊的参数方程{C:y0B:y1\overrightarrow{CB}:\ x=x_1\ (y=y)\ 特殊的参数方程 \begin{cases}\ C:y_0 \\ \ B:y_1 \end{cases}CB: x=x1 (y=y) 特殊的参数方程{ C:y0 B:y1 。
∫ΓABP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫A(x0,y0)B(x1,y1)Pdx+Qdy=∫AC→P(x,y)dx+Q(x,y)dy+∫CB→P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫x0x1P(x,y0)dx+∫y0y1Q(x1,y)dy\begin{aligned} & \int_{\Gamma_{AB}}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_{A(x_0,y_0)}^{B(x_1,y_1)}Pdx+Qdy \\ & =\int_{\overrightarrow{AC}}P(x,y)dx+Q(x,y)dy+ \int_{\overrightarrow{CB}}P(x,y)dx+Q(x,y)dy\\ & =\int_{x_0}^{x_1}P(x,y_0)dx+\int_{y_0}^{y_1}Q(x_1,y)dy \end{aligned} ∫ΓABP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫A(x0,y0)B(x1,y1)Pdx+Qdy=∫ACP(x,y)dx+Q(x,y)dy+∫CBP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫x0x1P(x,y0)dx+∫y0y1Q(x1,y)dy
② 若 (x,y)∈ΓAB(x,y)\in\Gamma_{AB}(x,y)∈ΓAB，∂Q∂x≢∂P∂y\displaystyle{\frac{\partial Q}{\partial x}\not\equiv\frac{\partial P}{\partial y} }%∂x∂Q≡∂y∂P ，
∫ΓABPdx+Qdy=∫ΓAB+lPdx+Qdy−∫lPdx+Qdy\displaystyle{ \int_{\Gamma_{AB}}Pdx+Qdy=\int_{\Gamma_{AB}+l}Pdx+Qdy-\int_{l}Pdx+Qdy }%∫ΓABPdx+Qdy=∫ΓAB+lPdx+Qdy−∫lPdx+Qdy
其中 lll 要求为简单曲线，经常是有向直线段，前者用格林公式，后者直接计算。
③ 如果 ΓAB\Gamma_{AB}ΓAB 可以表示成参数方程，化成参数的一元函数定积分，容易计算，也可以直接计算。
03 求原函数
形式：求 P(x,y)dx+Q(x,y)dyP(x,y)dx+Q(x,y)dyP(x,y)dx+Q(x,y)dy 的原函数
回忆一元的原函数：若 F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)F′(x)=f(x)，称 F(x)F(x)F(x) 是 f(x)f(x)f(x) 在区间 III 上的一个原函数。
谈到二元的原函数：一定是一对函数的原函数，满足 u=u(x,y),∂u∂x=P(x,y),∂u∂y=Q(x,y)\displaystyle{u=u(x,y)\ , \ \frac{\partial u}{\partial x}=P(x,y)\ , \ \frac{\partial u}{\partial y}=Q(x,y) }%u=u(x,y) , ∂x∂u=P(x,y) , ∂y∂u=Q(x,y) ，
即满足 dF(x)=f(x)dx⇒du=Pdx+QdydF(x)=f(x)dx\ \Rightarrow\ du=Pdx+QdydF(x)=f(x)dx ⇒ du=Pdx+Qdy 。
什么条件下 P,QP\ , \ QP , Q 有原函数？
找到一个单连通区域 DDD，P,QP\ , \ QP , Q 在 DDD 上偏导数连续，且 ∂Q∂x=∂P∂y,(x,y)∈D\displaystyle{\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}\ , \ (x,y)\in D }%∂x∂Q=∂y∂P , (x,y)∈D 。
由路径无关行，知第③条成立，存在 DDD 上的一个二元函数，使得：
u(x,y)=∫A(x0,y0)B(x1,y1)P(x,y)dx+Q(x,y)dy+C=∫x0xP(x,y0)dx+∫y0yQ(x,y)dy+C使得，du=Pdx+Qdy，即 ∂u∂x=P,∂u∂y=Q\begin{aligned} & u(x,y)=\int_{A(x_0,y_0)}^{B(x_1,y_1)}P(x,y)dx+Q(x,y)dy+C \\ & =\int_{x_0}^{x}P(x,y_0)dx+\int_{y_0}^{y}Q(x,y)dy+C\\ & 使得，du=Pdx+Qdy，即\ \frac{\partial u}{\partial x}=P\ , \ \frac{\partial u}{\partial y}=Q\\ \end{aligned} u(x,y)=∫A(x0,y0)B(x1,y1)P(x,y)dx+Q(x,y)dy+C=∫x0xP(x,y0)dx+∫y0yQ(x,y)dy+C使得，du=Pdx+Qdy，即 ∂x∂u=P , ∂y∂u=Q
称 u(x,y)u(x,y)u(x,y) 是 P(x,y)dx+Q(x,y)dyP(x,y)dx+Q(x,y)dyP(x,y)dx+Q(x,y)dy 的 (全体) 原函数。
04 解全微分方程
形如 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0，如果存在一个单连通区域 DDD，使 ∂Q∂x≡∂P∂y\displaystyle{\frac{\partial Q}{\partial x}\equiv\frac{\partial P}{\partial y} }%∂x∂Q≡∂y∂P 连续，此时这个方程称为全微分方程。
由 (3) 知，u(x,y)=∫x0xP(x,y0)dx+∫y0yQ(x,y)dyu(x,y)=\int_{x_0}^{x}P(x,y_0)dx+\int_{y_0}^{y}Q(x,y)dyu(x,y)=∫x0xP(x,y0)dx+∫y0yQ(x,y)dy，
由 Pdx+Qdy=0Pdx+Qdy=0Pdx+Qdy=0，⇔du(x,y)=0\Leftrightarrow\ du(x,y)=0⇔ du(x,y)=0 ⇔u(x,y)=C(C常，C∈R)\Leftrightarrow\ u(x,y)=C\ (C常，C\in R)⇔ u(x,y)=C (C常，C∈R)
⇔∫x0xP(x,y0)dx+∫y0yQ(x,y)dy=C\Leftrightarrow\ \int_{x_0}^{x}P(x,y_0)dx+\int_{y_0}^{y}Q(x,y)dy=C⇔ ∫x0xP(x,y0)dx+∫y0yQ(x,y)dy=C 是方程的通解。
全微分求积（全微分方程）
设函数 P(x,y),Q(x,y)P(x, y), Q(x, y)P(x,y),Q(x,y) 上在单连通区域 DDD 有连续导数，且
∂Q∂x=∂P∂y\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} ∂x∂Q=∂y∂P
则 Pdx+QdyP d x+Q d yPdx+Qdy 是某个函数 uuu 的全微分：
u(x,y)=∫(x0,y0)(x,y)Pdx+Qdy←(u的求法)u(x, y)=\int_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}^{(x, y)} P d x+Q d y\quad\leftarrow(u的求法) u(x,y)=∫(x0,y0)(x,y)Pdx+Qdy←(u的求法)
若 P(x,y)dx+Q(x,y)dyP(x, y) d x+Q(x, y) d yP(x,y)dx+Q(x,y)dy 是某二元函数的的全微分，称方程 Pdx+Qdy=0P d x+Q d y=0Pdx+Qdy=0 为全微分方程。
求出原函数 uuu，则解为 u=Cu=Cu=C 。
若 P(x,y)dx+Q(x,y)dyP(x, y) \mathrm{dx}+Q(x, y) \mathrm{d} \mathrm{y}P(x,y)dx+Q(x,y)dy 不是某二元函数的的全微分，方程 Pdx+Qdy=0P d x+Q d y=0Pdx+Qdy=0 的解法：
求出积分因子 μ\muμ，使得方程化为 μP(x,y)dx+μQ(x,y)dy=0\mu P(x, y) d x+\mu Q(x, y) d y=0μP(x,y)dx+μQ(x,y)dy=0 成为全微分方程。
常用积分因子:1x2,1y2,1xy,1x2y2,1x2+y2组合拼凑法:例如，求解方程① (x−x2+y2)dx=−ydy(分组结合凑成全微分，在过程中观察需要乘何因子)(xdx+ydy)−x2+y2dx=0⇒d(x2+y2)−x2+y2dx=0乘什么使得后一项成全微分,前一项还是全微分?若将x2+y2看作u,应乘以φ(u)事实上只要各组都凑成全微分，方程就解出来了求解方程② y(1+xy)dx+x(1−xy)dy=0\begin{aligned} & 常用积分因子:\ \frac{1}{x^{2}}, \frac{1}{y^{2}}, \frac{1}{x y}, \frac{1}{x^{2} y^{2}}, \frac{1}{x^{2}+y^{2}}\\ & 组合拼凑法:\ \\ & 例如，求解方程①\ \left(x-\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) d x=-y d y\ \ (分组结合凑成全微分，在过程中观察需要乘何因子)\\ &\quad\quad\quad\quad\quad(x d x+y d y)-\sqrt{x^{2}+y^{2}} d x=0 \Rightarrow d\left(x^{2}+y^{2}\right)-\sqrt{x^{2}+y^{2}} d x=0 \\ & \quad\quad\quad\quad\quad乘什么使得后一项成全微分,前一项还是全微分?\ 若将 x^{2}+y^{2} 看作 u, 应乘以 \varphi(u)\\ & \quad\quad\quad\quad\quad事实上只要各组都凑成全微分，方程就解出来了\\ & 求解方程②\ \ y(1+x y) d x+x(1-x y) d y=0 \end{aligned} 常用积分因子: x21,y21,xy1,x2y21,x2+y21组合拼凑法: 例如，求解方程① (x−x2+y2)dx=−ydy (分组结合凑成全微分，在过程中观察需要乘何因子)(xdx+ydy)−x2+y2dx=0⇒d(x2+y2)−x2+y2dx=0乘什么使得后一项成全微分,前一项还是全微分? 若将x2+y2看作u,应乘以φ(u)事实上只要各组都凑成全微分，方程就解出来了求解方程② y(1+xy)dx+x(1−xy)dy=0
05 积分含参问题
形式：P(x,y)dx+Q(x,y)dyP(x,y)dx+Q(x,y)dyP(x,y)dx+Q(x,y)dy 中，求 P,QP\ , \ QP , Q 中的字母常数。
P(x,y)dx+Q(x,y)dyP(x,y)dx+Q(x,y)dyP(x,y)dx+Q(x,y)dy 中，P,QP\ , \ QP , Q 表达式里含有待求的字母常数，求这个字母常数。
找到一个单连通区域 DDD，P,QP\ , \ QP , Q 在 DDD 上偏导数连续，根据题目条件，验证 ①∼\sim∼③条中有一条成立，
从而第④条成立，即有 ∂Q∂x≡∂P∂y\displaystyle{\frac{\partial Q}{\partial x}\equiv\frac{\partial P}{\partial y} }%∂x∂Q≡∂y∂P ，从中求出字母常数的值。
06 牛顿-莱布尼兹公式
若 P,QP\ ,\ QP , Q 在单连通区域 DDD 上连续，ΓAB⊂D\Gamma_{AB}\subset DΓAB⊂D，且存在 DDD 上的二元函数 u(x,y)u(x,y)u(x,y)，使 du=Pdx+Qdydu=Pdx+Qdydu=Pdx+Qdy，
∫ΓABPdx+Qdy=∫ABdu=u(x,y)∣A(x0,y0)B(x1,y1)=u(x1,y1)−u(x0,y0)\int_{\Gamma_{AB}}Pdx+Qdy=\int_{AB}du=u(x,y)\Big|_{A(x_0,y_0)} ^{B(x_1,y_1)}=u(x_1,y_1)-u(x_0,y_0) ∫ΓABPdx+Qdy=∫ABdu=u(x,y)∣∣A(x0,y0)B(x1,y1)=u(x1,y1)−u(x0,y0)
07 求面积
设有界闭区域 DDD 的边界为 Γ\GammaΓ 沿正向，DDD 的面积为 SSS，则 S=∫D1dσ=12∮Γ+−ydx+xdyS=\int_D1d\sigma=\frac12\oint_{\Gamma^+}-ydx+xdyS=∫D1dσ=21∮Γ+−ydx+xdy 对右边直接计算。
08 物理应用
求一个质点 MMM 在变力 F⃗\vec{F}F 作用沿曲线 ΓAB\Gamma_{AB}ΓAB 由 AAA 移动到 BBB 所作的功 WWW，W=∫ΓAB(F⃗⋅T0⃗)dsW=\int_{\Gamma_{AB}}(\vec{F}\cdot\vec{T^0})dsW=∫ΓAB(F⋅T0)ds 。
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