利用投影法计算第一类曲面积分

  1. 设函数为定义在曲面上的连续函数.曲面的方程为.具有对和的连续偏导数,即此曲面是光滑的,且其在平面上的投影为可求面积的.则
  1. 如果曲面由方程给出,在坐标面上的投影区域为,函数在上有连续的一阶偏导数,函数在曲面上连续,则
  1. 如果曲面由方程给出,在坐标面上的投影区域为,函数在上有连续的一阶偏导数,函数在曲面上连续,则

典型例题

1.设则

「解析」先求面积微元,函数对分别求导得

所以

将要求的积分化为重积分(投影到面上):

其中投影区域为环形区域,考虑使用极坐标:

2.求圆柱面位于球面内的面积.

「解析」

法一 曲线积分法

圆柱面在面上的投影曲线为

则其弧微分为

所求面积为面上方部分的2倍:

法二 曲面积分

由消去得对应曲面块(圆柱面)在平面的投影区域为

曲面块的方程为 则面积元为

所以要求的面积为

利用投影法计算第二类曲面积分

根据有向曲面的方程,可以分为如下三种情况:

  • 如果有向曲面由方程给出, 在坐标面 上投影区域为 ,函数 在上具有一阶连续偏导数,函数 在上连续,则

当有向曲面所取定的一侧是前侧时上式右端取正号,是后侧时上式右端取负号.如果曲面由方程 给出,则

  • 如果有向曲面由方程 给出, 在坐标面 上投影区域为 ,函数 在上具有一阶连续偏导数,函数 在上连续,则

当有向曲面所取定的一侧是右侧时上式右端取正号,是左侧时上式右端取负号.如果曲面由方程 给出,则

  • 如果有向曲面由方程 给出, 在坐标面 上投影区域为 ,函数 在上具有一阶连续偏导数,函数 在上连续,则

当有向曲面所取定的一侧是上侧时上式右端取正号,是下侧时上式右端取负号.如果曲面由方程 给出,则

上述方法称为「投影法」,过程称为“一投二代三定号”.按照这种方法,为了计算对坐标的曲面积分,需先将积分曲面表示成为或的形式,然后将曲面分别代入到被积函数中化为曲面在坐标面的投影区域上的二重积分.如果积分曲面不能表示成为或的形式,则需将分为有限个子块,使得每个子块可表示成为或的形式.这时在上的积分等于在各个子块上的积分之和,而各个子块上的积分都可以化为其在坐标面的投影区域上的二重积分.关于对坐标的曲面积分和对坐标的曲面积分也需要采取类似的方法使用上述相应的公式化为二重积分.

往期回顾

  1. 在家学|2019-2020第二学期高等数学期末考试练习题

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  3. 在家学|曲面切平面存在的条件, 曲线的切线

  4. 在家学|多元函数的极值,最值和条件极值

  5. 在家学|隐函数、多元复合函数求导法则

  6. 在家学|累次积分与重积分的计算

  7. 在家学|第一类曲线积分与第二类曲线积分的计算

- END -

资料来源：北洋数学研究社·学研部

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