递推关系简介

递推关系（递归关系）是高中数学递推数列部分的推广，属于离散数学的范畴，是用其自身来定义的一个公式。常见的有汉诺塔问题（Hn=2Hn−1+1H_n=2H_{n-1}+1Hn=2Hn−1+1）和Fibonacci兔子问题（Fn=Fn−1+Fn−2F_n=F_{n-1}+F_{n-2}Fn=Fn−1+Fn−2）。

常用性质及公式

递推关系解的线性组合还是其解。
二阶齐次递推关系，其特征方程对应的三种解的情况：
1. λ1,λ2,⋯\lambda_1,\lambda_2,\cdotsλ1,λ2,⋯为222个不同实根，an=A1λ1n+A2λ2n;a_n=A_1\lambda_1^n+A_2\lambda_2^n \ ;an=A1λ1n+A2λ2n ;
2. λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2λ1,λ2为222重根，即：λ1=λ2=λ\lambda_1=\lambda_2=\lambdaλ1=λ2=λ，有：an=(C1+C2n)λna_n=(C_1+C_2n)\lambda^nan=(C1+C2n)λn
3. λ1,λ2\lambda_1,\lambda_2λ1,λ2为一对共轭复根，即λ1,2=ρe±iθ\lambda_{1,2}=\rho\mathbb{e}^{\pm i\theta}λ1,2=ρe±iθ，有：an=(C1cosnθ+C2sinnθ)ρna_n=(C_1\mathrm{cos}n\theta+C_2\mathrm{sin}n\theta)\rho^nan=(C1cosnθ+C2sinnθ)ρn
定理： 非齐次递推关系(1)(1)(1)特解形式
an+c1an−1+c2an−2+⋯+cman−m=fn,n⩾m(1)an+c1an−1+c2an−2+⋯+cman−m=0,n⩾m(2)\begin{aligned} a_{n}+c_{1} a_{n-1}+c_{2} a_{n-2}+\cdots+c_{m} a_{n-m}&=f_{n}, \quad n \geqslant m \qquad (1) \\ a_{n}+c_{1} a_{n-1}+c_{2} a_{n-2}+\cdots+c_{m} a_{n-m}&=0, \quad n \geqslant m \qquad\hspace{.5em} (2) \end{aligned}an+c1an−1+c2an−2+⋯+cman−man+c1an−1+c2an−2+⋯+cman−m=fn,n⩾m(1)=0,n⩾m(2)
设非齐次递推关系右端项fn=λnp(n)f_n=\lambda^np(n)fn=λnp(n)， p(n)p(n)p(n)是nnn的多项式，则非齐次递推关系有形如an=nkλnq(n)a_n=n^k\lambda^nq(n)an=nkλnq(n)的特解，其中λ\lambdaλ是齐次递推关系特征方程的kkk重根；如果λ\lambdaλ不是特征方程的根，则取k=0k=0k=0；q(n)q(n)q(n)是与p(n)p(n)p(n)同次数的多项式。

典型例题及应用

特殊行列式求值问题（找0元最少的行或列展开）
∣1100⋯01110⋯00111⋯0⋮⋮⋱⋱⋱⋮000⋯11∣n×n\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\ 1 & 1 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots& \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 1 \end{array}\right| _{n \times n} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣110⋮0111⋮0011⋱0001⋱⋯⋯⋯⋯⋱1000⋮1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣n×n
解：设行列式值为dnd_ndn。将该行列式按首行展开，再将第二项按首列展开，可得{dn=dn−1−dn−2,d1=1,d2=0,\left\{ \begin{aligned}d_n&=d_{n-1}-d_{n-2}, \\ d_1&=1, \quad d_2=0, \end{aligned} \right.{dnd1=dn−1−dn−2,=1,d2=0,
于是推得d0=1d_0=1d0=1。特征方程为x2−x+1=0x^2-x+1=0x2−x+1=0， ⇒\Rightarrow⇒ x=1±3i2=e±π3i.x=\frac{1\pm \sqrt{3}\mathrm{i}}{2}=\mathrm{e}^{\pm \frac\pi3\mathrm{i}}.x=21±3i=e±3πi.
∴dn=C1cosnπ3+C2sinnπ3,\therefore d_n = C_1\mathrm{cos}\frac{n\pi}{3}+C_2\mathrm{sin}\frac{n\pi}{3},∴dn=C1cos3nπ+C2sin3nπ,
代入初值得：{C1=1,C2=33,\left\{ \begin{aligned}C_1&=1, \\ C_2&=\frac{\sqrt{3}}3, \end{aligned} \right.⎩⎪⎨⎪⎧C1C2=1,=33,
∴dn=cosnπ3+33sinnπ3.\therefore d_n=\mathrm{cos}\frac{n\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}\mathrm{sin}\frac{n\pi}{3}.∴dn=cos3nπ+33sin3nπ.
设ana_nan表示从格点(0,0)(0, 0)(0,0)开始的长度为nnn步的路径数，每步只允许下列三种走法之一：
{L:(x,y)↦(x−1,y),R:(x,y)↦(x+1,y),U:(x,y)↦(x,y+1),\left\{ \begin{aligned} L:& \ (x,y)\mapsto(x-1,y), \\ R:& \ (x,y)\mapsto(x+1,y), \\ U:& \ (x,y)\mapsto(x,y+1), \end{aligned} \right.⎩⎪⎨⎪⎧L:R:U: (x,y)↦(x−1,y), (x,y)↦(x+1,y), (x,y)↦(x,y+1),
且不允许出现 LRLRLR 和 RLRLRL 这两种走法。试求序列 {an}n⩾0\{a_n\}_{n\geqslant0}{an}n⩾0 的表达式 ana_nan。
解：
分析题目，若第一步走UUU，则后面可选择的走法无限制，即有an−1a_{n-1}an−1种走法；若第一步走L(R)L(R)L(R)，则后面只能选择走L(R)L(R)L(R)或者UUU，走UUU时，无限制，为2an−22a_{n-2}2an−2，而走L(R)L(R)L(R)时，后面仍可选择走L(R)L(R)L(R)或者UUU，…直到走完第nnn步(为方便理解，可参看下图(1)。以此类推，可得ana_nan的递推关系式为{an=an−1+2∑k=2nan−ka1=3,a2=7\left\{ \begin{aligned}a_n&=a_{n-1}+2\sum_{k=2}^{n}a_{n-k} \\ a_1&=3, \ a_2=7 \end{aligned} \right.⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ana1=an−1+2k=2∑nan−k=3, a2=7
但是这个递推式不易求解，为此可先变换形式为：an=an−1+2∑k=0n−2ak=∑k=0n−1ak+∑k=0n−2ak(1)a_n=a_{n-1}+2\sum_{k=0}^{n-2}a_{k}=\sum_{k=0}^{n-1}a_{k}+\sum_{k=0}^{n-2}a_{k}\tag{1}an=an−1+2k=0∑n−2ak=k=0∑n−1ak+k=0∑n−2ak(1)
由此得：
an−1=∑k=0n−2ak+∑k=0n−3ak(2)a_{n-1}=\sum_{k=0}^{n-2}a_{k}+\sum_{k=0}^{n-3}a_{k}\tag{2}an−1=k=0∑n−2ak+k=0∑n−3ak(2)
(1)−(2)(1)-(2)(1)−(2)得：an=2an−1+an−2a_n=2a_{n-1}+a_{n-2}an=2an−1+an−2求解特征方程x2−2x−1=0x^2-2x-1=0x2−2x−1=0，得x=1±2x=1\pm \sqrt2x=1±2，由a1=3,a2=7a_1=3,a_2=7a1=3,a2=7可得a0=1a_0=1a0=1，∴an=(1+2)n+1+(1−2)n+12\therefore a_n=\frac{(1+\sqrt2)^{n+1}+{(1-\sqrt2)}^{n+1}}{2}∴an=2(1+2)n+1+(1−2)n+1.

图1

小结

递推关系常见题型的难点在于找到递推的特点然后构造递推关系，解法方面可直接求解特征方程，并根据解的特点带公式出答案。

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（组合数学笔记）递推关系小结及典型题分析

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