高中数学典型例题分析与解答：互斥事件

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9.9 积分

互斥事件互斥事件典型例题一典型例题一例例 1 今有标号为 1、2、3、4、5 的五封信，另有同样标号的五个信封，现将五封信任意地装入五个 信封中，每个信封一封信，试求至少有两封信与信封标号一致的概率．分析：分析：至少有两封信与信封的标号配对，包含了下面两种类型：两封信与信封标号配对；3 封信与信 封标号配对；4 封信与信封标号配对，注意：4 封信配对与 5 封信配对是同一类型．现在我们把上述三种类型依次记为事件321AAA、、，可以看出321AAA、、两两互斥，记“至少有两封信与信封标号配对”为事件A，事件A发生相当于321AAA、、有一个发生，所以用公式)()()()(321APAPAPAP? ?? ?? ?可以计算)(AP.解：解：设至少有两封信配对为事件A，恰好有两封信配对为事件1A，恰有 3 封信配对为事件2A，恰有 4 封信(也就是 5 封信)配对为事件3A，则事件A等于事件321AAA? ?? ?，且321AAA、、事件为两两互斥事件，所以)()()()(321APAPAPAP? ?? ?? ?．5 封信放入 5 个不同信封的所有放法种数为5 5A，其中正好有 2 封信配对的不同结果总数为. 22 5? ?C正好有 3 封信配对的不同结果总数为.3 5C正好有 4 封信(5 封信)全配对的不同结果总数为 1，而且出现各种结果的可能性相同，.12031)()()()(,1201)(,121)(,61)2()( 32135 53 525 52 51??????????????ApAPAPAPAPACAPACAP说明：说明：至少有两封信与信封配对的反面是全不配对和恰好有 1 封信配对，但是配对越少，计算该结 果的所有方法总数越困难，即计算该事件的概率越不方便．现在把问题改为计算“至多两封信与信封标 号配对”的概率是多少？我们转化为求其对立事件的概率就简单得多，它的对立事件为“3 封信配对或 4封信(即 5 封)配对” ，得到其结果的概率为120109)1( 15 55 53 5? ?? ?? ?? ?AAC，在计算事件的概率时有时采用“正难则反”的逆向思维方法，直接计算事件的概率比较难，而计算其对立事件的概率比较容易时可采 用这种方法．典型例题二典型例题二例例 2 射手张强在一次射击中射中 10 环、9 环、8 环、7 环、7 环以下的概率分别为24. 0，28. 0， 19. 0，16. 0，13. 0．计算这个射手在一次射击中： (1)射中 10 环或 9 环的概率； (2)至少射中 7 环的概率； (3)射中环数不足 8 环的概率． 分析：分析：“射中 10 环” ， “射中 9 环” ，…“射中 7 环以下”是彼此互斥事件，可运用“事件的和”的 概率公式求解． 解：解：设“射中 10 环” 、 “射中 9 环” 、 “射中 8 环” 、 “射中 7 环” 、 “射中 7 环以下”的事件分别为A、 B、C、D、E，则(1)52. 028. 024. 0)()()(??????BPAPBAP，所以射中 10 环或 9 环的概率为52. 0．(2) )(DCBAP???)()()()(DPCPBPAP????87. 016. 019. 028. 024. 0?????，所以至少射中 7 环的概率为87. 0．(3) 29. 013. 016. 0)()()(??????EPDPEDP，所以射中环数不足 8 环的概率为29. 0．说明：说明：公式)()()(BPAPBAP???只有在A、B两事件互斥时才使用，如果A、B两事件不互斥，就不能应用这一公式，一定要注意)()()(BPAPBAP???这一公式应用的前提是A、B两个事件互斥．典型例题三典型例题三例例 3 有 4 个红球，3 个黄球，3 个白球装在袋中，小球的形状、大小相同，从中任取两个小球，求 取出两个同色球的概率是多少？分析：分析：与倒 2 中取球方式不同的是，从中取出两球是不放回的取出．处理上，例 2 是分步取球，先 取哪个后取哪个是有区别地对待，而本例中，只要搞清是取的什么球，直接用组合数列式．取出两个同 色球可以分成下面几个类型：两个红球；两个黄球；两个白球．解：解：从 10 个小球中取出两个小球的不同取法数为,2 10C“从中取出两个红球”的不同取法数为，其概率为,2 102 4CC ? ?“从中取出两个黄球”的不同取法数为，其概率为,2 102 3CC ? ?“从中取出两个白球”的不同取法数为，其概率为,2 102 3CC ? ?所以取出两个同色球的概率为：.1542 102 32 102 32 102 4? ?? ?? ?? ?? ?? ?CCCCCC说明：说明：本题求取出两个同色球的概率，对结果比较容易分类，如果换上“取出 3 个球，至少两个同 颜色” ，这样的问题分类相对就比较复杂，在此我们不一一列出，但考虑其反面，对立事件为“取出 3 个 球，颜色全不相同” ，对立事件的概率比较容易算出．取出 3 个球，颜色全不相同的所有不同取法数为36334? ?? ?? ?(种) ，对立事件的概率为4536362 10? ?? ?C，所以“取出 3 个球，至少两个同颜色”的概率为：. 2 . 045361? ?? ?典型例题四典型例题四例例 4 小明的袋中放有 3 个伍分硬币、3 个贰分硬币和 4 个壹分硬币，从中任取 3 个，求总数超过 8 分的概率． 分析分析 1：：视其为互斥事件，进而求概率． 解法解法 1：：(1)记“总数超过 8 分”为事件A，它包括下列四种情况：①“取到 3 个伍分硬币”记为事件1B；②“取到 2 个伍分硬币和 1 个贰分硬币”为事件2B；③“取到 2 个伍分硬币和 1 个壹分硬币”为事件3B；④“取到１个伍分硬币和 2 个贰分硬币”为事件4B．1201)(3 103 3 1??CCBP，1209)(3 101 32 3 2??CCCBP，12012)(3 101 42 3 3??CCCBP，1209)(3 102 31 3 4??CCCBP．根据题意，1B、2B、3B、4B彼此互斥，故所求概率)()(4321BBBBPAP????)()()()(4321BPBPBPBP????12031?．分析分析 2：：视其为等可能事件，进而求概率．解法解法 2：：从 10 个硬币中取 3 个，共有3 10C种不同方法． “总数超过 8 分”的共有以下四种情况：①取3 个伍分硬币，共有3 3C种方法；②取 2 个伍分硬币和 1 个贰分硬币，共有1 32 3CC种方法；③取 2 个伍分硬币和 1 个壹分硬币，共有1 42 3CC种方法；④取１个伍分硬币和 2 个贰分硬币，共有2 31 3CC种不同方法，所以“总数超过 8 分”共有312 31 31 42 31 32 33 3????CCCCCCC种方法．∴总数超过 8 分的概率为12031．说明：说明：复杂的等可能事件的概率可化为彼此互斥的简单事件来求，要注意分类的不重、不漏．典型例题五典型例题五例例 5 袋中装有红、黄、白 3 种颜色的球各 1 只，从中每次任取 1 只，有放回地抽取 3 次，求：(1) 3 只全是红球的概率， (2) 3 只颜色全相同的概率，(3) 3 只颜色不全相同的概率， (4) 3 只颜色全不相同的概率．分析：分析：有放回地抽 3 次的所有不同结果总数为33，3 只全是红球是其中的 1 种结果，同样 3 只颜色全相同是其中 3 种结果，全红、全黄、全白，用求等可能事件的概率方式可以求它们的概率． “3 种颜色 不全相同”包含的类型较多，而其对立事件为“三种颜色全相同”却比较简单，所以用对立事件的概率 方式求解．3 只颜色全不相同，由于是一只一只地按步取出，相当于三种颜色的一个全排列，其所有不同结果的总数为3 3A，用等可能事件的概率公式求解．解：解：有放回地抽取 3 次，所有不同的抽取结果总数为：3 只全是红球的概率为,2713 只颜色全相同的概率为.91 273? ?“3 只颜色不全相同”的对立事件为“三只颜色全相同” ．故“3 只颜色不全相同”的概率为,98 911? ?? ?“3 只颜色全不相同”的概率为.276333 3? ?? ?A说明：说明：如果 3 种小球的数目不是各 1 个，而是红球 3 个，黄球和白球各两个，其结果又分别如何？首先抽 3 次的所有不同结果总数为37，全是红球的结果总数为33，所以全是红球的概率为343277333? ?? ?，同样全是黄球的概率为3438，全是白球的概率也是3438，所以 3 只球颜色全相同的概率为上述三个事件的概率之和，24343 2438 2438 24327? ?? ?? ?， “三种颜色不全相同”为“三种颜色全相同”的对立事件，其概率为.243200 243431? ?? ? “3 只小球颜色全不相同”可以理解为三种颜色的小球各取一只，然后再将它们排成一列，得到抽取的一种结果，其所有不同结果总数为722233 3? ?? ?? ?A(种) ，所以“3 只小球颜色全不相同”的概率为.24372典型例题六典型例题六例例 6 判断下列各对事件是否是互斥事件，并说明道理． 某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学去参加演讲比赛，其中 (1)恰有 1 名男生和恰有 2 名男生； (2)至少有一名男生和至少有一名女生； (3)至少有一名男生和全是男生； (4)至少有 1 名男生和全是女生． 分析：分析：判断两个事物是否为互斥事件，就是考察它们能否同时发生，如果不能同时发生，则是五斥 事件，不然就不是互斥事件．解：解：(1)是互斥事件 道理是：在所选的 2 名同学中， “恰有 1 名男生”实质是选出的是“一名男生和一名女生” ，它与 “恰有两名男生” ，不可能同时发生，所以是一对互斥事件． (2)不可能是互斥事件 道理是：“至少有 1 名男生”包括“1 名男生、1 名女生”和“两名都是男生”两种结果． “至少有 1 名女生”包括“1 名女生、1 名男性”和“两名都是女生”两种结果，它们可同时发生． (3)不可能是互斥事件 道理是：“至少有一名男生”包括“一名男生、一名女生”和“两名都是男性” ，这与“全是男生” ， 可同时发生． (4)是互斥事件 道理是：“至少有 1 名男生”包括“1 名男生、1 名女生”和“两名都是男生”两种结果，它和“全 是女生”不可能同时发生． 小结：互斥事件是概率知识中重要概念，必须正确理解． (1)互斥事件是对两个事件而言的．若有A、B两个事件，当事件A发生时，事件B就不发生；当事 件B发生时，事件A就不发生(即事件A、B不可能同时发生) ，我们就把这种不可能同时发生的两个 事件叫做互斥事件．否则就不是互斥事件． (2)对互斥事件的理解，也可以从集合的角度去加以认识． 如果A、B是两个互斥事件，反映在集合上，是表示A、B这两个事件所含结果组成的集合彼此互 不相交．如果事件nAAA,,,21?中的任何两个都是互斥事件，那么称事件nAAA,,,21?彼此互斥，反映在集合上，表现为由各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交．典型例题七典型例题七例例 7 玻璃球盒中装有各色球 12 只，其中 5 红、4 黑、2 白、1 绿，求从中取 1 球：(1)红或黑的概率； (2)红或黑或白的概率． 分析分析 1：：视其为等可能事件，进而求概率． 解法解法 1：：(1)从 12 只球中任取 1 球得红球有 5 种取法，得黑球有 4 种取法，得红球或黑球共有 945??种不同取法，任取一球有12种取法，∴任取 1 球得红球或黑球的概率得43 1291??P．(2)从 12 只球中任取 1 球得红球有 5 种取法，得黑球有 4 种方法，得白球有 2 种取法，从而得红或黑或白球的概率为1211 122452????P．分析分析 2：：视其为互斥事件，进而求概率．解法解法 2：：记事件1A：从 12 只球中任取 1 球得红球；2A：从中任取 1 球得黑球；3A：从中任取 1 球得白球；4A：从中任取 1 球得绿球，则125)(1?AP，124)(2?AP，122)(3?AP，121)(4?AP．根据题意，1A、2A、3A、4A彼此互斥，由互斥事件概率得．(1)取出红球或黑球的概率为43 124 125)()()(2121??????APAPAAP；(2)取出红或黑或白球的概率为1211 122 124 125)()()()(321321?????????APAPAPAAAP．分析分析 3：：应用对立事件求概率．解法解法 3：：(1)由思路 2，取出红球或黑球的对立事件为取出白球或绿球，即21AA ?的对立事件为43AA ?，∴取出红球或黑球的概率为)()(1)(1)(434321APAPAAPAAP???????43 129 121 1221?????．(2)321AAA??的对立事件为4A．1211 1211)(1)(4321???????APAAAP即为所求．说明：说明：(1)“互斥”和“对立”事件容易搞混．互斥事件是指指事件不能同时发生，对立事件是指互 斥的两事件中必有一个发生． (2)求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求对立事 件的概率，进而再求所求事件的概率．典型例题八典型例题八例例 8 判断下列给出的每对事件，(1)是否为互斥事件，(2)是否为对立事件，并说明道理． 从扑克 40 张(红桃、黑桃、方块、梅花点数从 1—10 各 10 张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃” ； (2)“抽出红色牌”与 “抽出黑色色牌” ； (3)“抽出的牌点数为 5 的倍数”与“抽出的牌点数大于 9” ． 解：解：(1)是互斥事件，不是对立事件． 道理是：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张， “抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以 是互斥事件，同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花” ，因此，二 者不是对立事件． (2)既是互斥事件，又是对立事件． 道理是：从 40 张扑克牌中，任意抽取 1 张． “抽出红色牌”与“抽出黑色色牌” ，两个事件不可能同 时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件． (3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件 道理是：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张． “抽出的牌点数为 5 的倍数”与“抽出的牌点数大于 9”这 两个事件可能同时发生，如抽得 10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件． 说明：说明：“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可同时发生的两个事件， 而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件．因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对 立事件，也就是说“互斥事件”是“对立事件”的必要但不充分的条件． “对立事件”是“互斥事件”的 充分不必要条件．典型例题九典型例题九例例 9 同时抛掷两枚骰子，求至少有一个 5 点或 6 点的概率． 分析分析 1：：视其为等可能事件，进而求概率． 解法解法 1：：同时投掷两枚骰子，可能结果如下表：共有 36 个不同的结果，其中至少有一个 5 点或 6 点的结果有所以至少有一个 5 点或 6 点的概率为95 3620??P．分析分析 2：：利用对立事件求概率． 解法解法 2：：至少有一个 5 点或 6 点的对立事件是没有 5 点或 6 点．如上表，没有 5 点或 6 点的结果共有16 个，没有 5 点或 6 点的概率为94 3616??P．至少有一个 5 点或 6 点的概率为95 941??．下面再给出一种解法(此解法可在下一节学完后，再学习)分析分析 3：：利用公式)()()()(BAPBPAPBAP?????．解法解法 3：：记事件A：含有点数为 5 的． 事件B：含有点数为 6 的．显然A、B不是互斥事件3611)(?AP，3611)(?BP，362)(??BAP∴至少有一个 5 点或 6 点的概率为)()()()(BAPBPAPBAP?????95 3620 362 3622 362 3611 3611???????．说明：说明：(1)本题常出现的错误有两类：一类是不符合题意的臆想，含 5 的有 6 个，含 6 的有 6 个，∴至少有一个 5 或 6 的有 12 个，从而所求概率为31 3612 3666???；另一类是没有搞清楚A、B是否为互斥事件，直接利用公式3622)()()(????BPAPBAP．(2)解题时，将所有基本事件全部列出是避免重复和遗漏的有效方法；对于用直接法难于解决的问题， 可求其对立事件的概率，进而求得概率，以降低难度．典型例题十典型例题十例例 10 一批产品共100件，其中5件是废品，任抽10件进行检查，求下列事件的概率． (1)10件产品中至多有一件废品； (2)10件产品中至少有一件废品．分析：分析：10件产品中恰有5,4,3,2,1,0件废品是互斥事件，可用概率加法公式．解：解：设iA为事件“10件产品中恰有i件废品” ，其中5,4,3,2,1,0?i，易知iA(5,,1,0??i)为彼此互斥事件．(1)设iA为事件“10件产品中至多有1件废品” ，则有10AAA??，又由于0A与1A互斥，所以)()()()(1010APAPAAPAP????923. 010 1009 951 5 10 10010 950 5?????CCC CCC(2)(法 1)设B为事件“10件产品中至少有1件废品” ，则有54321AAAAAB?????，而且521,,,AAA?彼此互斥，所以)()(54321AAAAAPBP?????)()()()()(54321APAPAPAPAP?????416. 010 1005 955 5 10 1006 954 5 10 1007 953 5 10 1008 952 5 10 1009 951 5???????????CCC CCC CCC CCC CCC(法 2)由于B的对立事件为“10件产品中无废品” ，即0AB ?，∴)(1)(1)(0APBPBP????416. 0110 10010 950 5????CCC．说明：说明：抽查产品问题与模球问题类似，是一类典型问题，应予以很好地理解和掌握．(1)“至多有一件废品”的意义是“可以有一件废品，也可以没有废品” ，即1?m(又Nm?，∴1,0?m) ，其反面是“有2件以上废品” ，即2?m(故5,4,3,2?m) ． “至少有一件废品”的意义是“可以一件废品、可以有两件废品，…，可以有五件废品” ，即1?m， (故5,4,3,2,1?m) ，其反面是“没有废品” ，即0?m(故0?m) ．要正确理解“至多” 、 “至少”的含义，有时直接解简单，而有时用其反而去解简 单．(2)注意求概率的直接法和间接法两种思路．典型例题十一典型例题十一例例 11 学校文娱队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有5人，会跳舞的有7人，现从中选3人，且至少有一位既会唱歌又会跳舞的概率是216，问该文娱队有多少人？分析：分析：可选设既会唱歌又会跳舞的人数为x，则该队的队员人数为)75(x??人．如图所示．解：解：设该队既会唱歌又会跳舞的人有x名，则该队队员的人数为)212(x?名，只会唱歌的人有x?5人，只会跳舞的人有x?7人，从中选出3人，记A为事件“至少有一位既会唱歌又会跳舞的人” ，则A的对立事件A为“3人都只会唱歌或只会跳舞” ．∵3 123 212)(xx CCAP???，∴21161)(1)(3 123 212???????xx CCAPAP．∴215 )10)(11)(12()210)(211)(212(??????? xxxxxx．解得：3?x． ∴912?? x． ∴该文娱队共有9人．说明：说明：(1)注意集合元素个数的计算方法：card(BA?)=cardA+cardB-card(BA?) ．(2)本题中出现了“至少”一词，可考虑从反而做，因为人数不知，所以从正面做较繁．典型例题十二典型例题十二例例 12 某战士射击一次，设中靶的概率为95. 0．令事件A为“射击一次、中靶” ，求：(1)A的概率是多少？(2)若事件B(中靶环数大于5)的概率是75. 0，那么事件C(中靶环数小于6)的概率是多少？事 件D(中靶环数大于0且小于6)的概率是多少？ 分析：分析：(1)易做．(2)搞清三个事件B、C、D之间的包含或对立关系．解：解：(1) 05. 095. 01)(1)(?????APAP．(2)由题意，事件B即为“中靶环数为10,9,8,7,6环” ，而事件C为“中靶环数为5,4,3,2,1,0环” ，事件D为“中靶环数为5,4,3,2,1环” ．可见B与C是对立事件，而ADC??．∴25. 075. 01)(1)()(??????BPBPCP．又)()()(APDPCP??，∴20. 005. 025. 0)()()(?????APCPDP．说明：说明：离散型随机变量在某一范围内取值的概率，往往利用其在不同范围内发生的互斥性，再根据概率的加法处理．例如教材中例题：某地区年降水量在]150,100[(mm)内的概率是12. 0，在]200,150[(mm)内的概率是25. 0，则该地区年降水量在]200,100[(mm)内的概率即为37. 025. 012. 0??，因为这两个事件是互斥的．典型例题十三典型例题十三例例 13 在 9 个国家乒乓球队中有 3 个亚洲国家队，抽签分成三组进行比赛预赛．求：(1)三个组各有一支亚洲队的概率；(2)至少有两个亚洲国家队在同～组的概率．分析：分析：9 个队平均分成三组的所有不同的分法总数为3 33 63 63 9)(ACCC? ?，其中每个队有一支亚洲国家队的分法数为2 22 42 6CCC，用等可能事件的概率公式可求其概率．至少有两支亚洲国家队在同一小组可分成两类：恰好有两支亚洲国家队在同一组；三支亚洲国家队在同一组．分别计算它们的概率然后相加．此 外，我们也可以先计算其对立事件的概率，而其对立事件为“3 支亚洲国家队不在同一组” ，实际上两小 题的事件互为对立事件． 解：解：(1)所有的分组结果是等可能的，9 支队平均分成 3 组的不同分法数为：280)(3 33 33 63 9? ?? ? ACCC(种) ．其中三个组各有一支亚洲队，可以看成其它 6 支队中任取 2 支队与第 1 个亚洲队合为一组，剩下 4 支队任取 2 支与第 2 个亚洲队一组，最后 2 支队与第 2、3 支亚洲队一组，所有不同的分法数为902 42 6? ?CC(种) 。所以“三个组各有一支亚洲队的概率为.28928090? ?? ?(2)方法 1：“至少有两支亚洲队在同一组”分为两类：“恰好两支亚洲国家队在一组” ，概率为;2818280)(2 51 62 3? ?? ?CCC“三支亚洲国家队在同一组”的概率为.2819 281 2818? ?? ?方法 2：“至少有两支亚洲在同一组”的对立事件为“三个组各有一支亚洲队” 。由(1)可得， “至少有两支亚洲队在同一组”的概率为：.2819 2891? ?? ? 关 键 词： 高中数学 典型 例题 分析 解答 事件

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