（组合数学习题）递推关系一道经典题分析与解答

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题目
分析与解答
求解
程序实现(C++)

题目

来看下面一道题，主要用到的是组合数学中的递推关系部分的内容。

某长度为nnn的二进制序列，要求其中至少有连续的333个000出现，问：能产生多少种符合条件的序列?

分析与解答

先来一个直观的表示：
{n=4:1000,0001,00003种情况n=5:11000,10000,01000,00010,00011,00001,10001,000008种情况⋮\begin{cases} {n=4: 1000, 0001, 0000 \quad 3种情况}\\ {n=5: 11000, 10000, 01000, 00010, 00011, 00001, 10001, 00000 \quad 8种情况}\\ \vdots \end{cases} ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧n=4:1000,0001,00003种情况n=5:11000,10000,01000,00010,00011,00001,10001,000008种情况⋮

看到这种题目自然想到要用递推关系来解，在之前的文章（《（组合数学笔记）递推关系小结及典型题分析》）中已经有提到一些简单的概念与定理，大概就是通过分析题目条件，列出递推关系式，并进行求解即可。

在本题中，这个序列要求至少有连续的三个0\color{red}{至少有连续的三个0}至少有连续的三个0，先设长度为nnn的二进制序列中满足条件的有ana_nan个，则可以分为以下两种情况：

考虑长度为n−1n-1n−1的序列，an−1a_{n-1}an−1为已经满足条件序列的个数，则对于下一个数（第nnn个数），只有000和111两种选择，所以满足条件的序列有2×an−12\times a_{n-1}2×an−1个。但是仅这样考虑会有一部分没有被考虑到，因为“000000000”这个模式可以仅在最后一位规定好后才出现，换言之，在前面n−1n-1n−1个数组成的序列中可以完全不出现“000000000”这个模式，这就需要进行第二步的讨论；
考虑前面n−1n-1n−1个数组成的序列，若其中没有出现“000000000”，那么为使该序列满足题目条件，则必须在最后一位添加上之后出现“000000000”，而只能是下面这一种情况：
(…,第n−4位,第n−3位,第n−2位,第n−1位,第n位)(…,第n−4位,1,0,0,⏟共n−1位0)( \dots,第n-4位,第n-3位,第n-2位,第n-1位,第n位) \\ ( \underbrace{\dots,第n-4位,\qquad\quad1\ ,\qquad\quad0\ ,\qquad\quad0\ ,\qquad}_{共n-1位} \ \ 0 ) (…,第n−4位,第n−3位,第n−2位,第n−1位,第n位)(共n−1位…,第n−4位,1 ,0 ,0 , 0)
那么对于这种情况（末4位为“100010001000”），我们只需考虑前面的n−4n-4n−4位组成的序列即可，这个序列不考虑限制条件的话有2n−42^{n-4}2n−4种排列方法，但是这样会出现前面含有“000000000”的模式，于是在后面还要减去里面含有“000000000”模式的个数，而这是我们前面已经的规定好的记号，即an−4a_{n-4}an−4。

综上所述，整个递推关系式就是：
{an=2an−1+2n−4−an−4,n⩾4,a0=0,a1=0,a2=0,a3=1,\begin{cases} a_n=2a_{n-1}+2^{n-4}-a_{n-4},n\geqslant4, \\ a_0=0,\ a_1=0,\ a_2=0,\ a_3=1, \end{cases} {an=2an−1+2n−4−an−4,n⩾4,a0=0, a1=0, a2=0, a3=1,
结果中的a0,a1,a2a_0,\,a_1,\,a_2a0,a1,a2均规定为111。

求解

利用特征方程进行求解发现其根比较复杂，于是我从著名的整数数列线上大全之中寻找答案，

a(n) is the number of n-tosses having a run of 3 or more heads for a fair coin (i.e., probability is a(n)/2^n).

译文：

a(n)是具有3个或更多正面的公平投掷的n掷次数，即概率为a(n)/2^n。

该序列的主页：A050231，有兴趣的朋友可以继续研究，里面还提到了Tribonacci Number，是Fibonacci Number的扩展版本。在这里能找到这个序列的前三百位。

程序实现(C++)

这个题最初是出现在算法实验题库的’问题 C: 简单的密码’，不过从组合的观点来看这也是一道很有意思的题。下面用C++输出了这个序列的前30位。

#include <iostream>
using namespace std;
const int N=30;
int main()
{int f[N] = {0, 0, 0, 1};for(int n=4; n <= N; n++){// 使用左移位计算2的n-4次幂f[n] = 2 * f[n - 1] + (1 << (n - 4)) - f[n - 4];cout<<"Length: "<<n<<", number: "<<f[n]<<"\t"<<endl;}return 0;
}

结果：

Length: 4, number: 3
Length: 5, number: 8
Length: 6, number: 20
Length: 7, number: 47
Length: 8, number: 107
Length: 9, number: 238
Length: 10, number: 520
Length: 11, number: 1121
Length: 12, number: 2391
Length: 13, number: 5056
Length: 14, number: 10616
Length: 15, number: 22159
Length: 16, number: 46023
Length: 17, number: 95182
Length: 18, number: 196132
Length: 19, number: 402873
Length: 20, number: 825259
Length: 21, number: 1686408
Length: 22, number: 3438828
Length: 23, number: 6999071
Length: 24, number: 14221459
Length: 25, number: 28853662
Length: 26, number: 58462800
Length: 27, number: 118315137
Length: 28, number: 239186031
Length: 29, number: 483072832
Length: 30, number: 974791728