UA MATH524 复变函数17 留数定理

留数定理 假设DDD是一个单连通开集，fff在DDD上除孤立奇点{z1,⋯,zN}\{z_1,\cdots,z_N\}{z1,⋯,zN}外的区域上解析，假设γ\gammaγ是正向分段平滑简单封闭曲线，则
∫γf(z)dz=2πi∑all zkinside γRes(f;zk)\int_{\gamma} f(z)dz = 2 \pi i \sum_{\text{all}\ z_k\ \text{inside}\ \gamma}Res(f;z_k)∫γf(z)dz=2πiall zk inside γ∑Res(f;zk)

也就是说解析函数沿简单封闭曲线的积分等于解析函数在曲线围成区域内的孤立奇点处的留数
Res(f;zk)=12πi∫∣w−zk∣=sf(w)dwRes(f;z_k)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{|w-z_k|=s}f(w)dwRes(f;zk)=2πi1∫∣w−zk∣=sf(w)dw

证明用γ1,⋯,γN\gamma_1,\cdots,\gamma_Nγ1,⋯,γN表示以z1,⋯,zNz_1,\cdots,z_Nz1,⋯,zN为中心的正向的圆，且它们互相无交，用Ω\OmegaΩ表示γ\gammaγ与−γ1,⋯,−γN-\gamma_1,\cdots,-\gamma_N−γ1,⋯,−γN围成的区域，不妨假设z1,⋯,zn∈Ωz_1,\cdots,z_n \in \Omegaz1,⋯,zn∈Ω，因为fff在Ω\OmegaΩ上解析，用Green定理，
∫γfdz−∑k=1n∫γkfdz=0\int_{\gamma}fdz-\sum_{k=1}^n \int_{\gamma_k}fdz=0∫γfdz−k=1∑n∫γkfdz=0

其中
∫γkfdz=2πiRes(f;zk)\int_{\gamma_k}fdz=2 \pi i Res(f;z_k)∫γkfdz=2πiRes(f;zk)

所以
∫γfdz=2πi∑all zkinside γRes(f;zk)\int_{\gamma}fdz=2 \pi i \sum_{\text{all}\ z_k\ \text{inside}\ \gamma}Res(f;z_k)∫γfdz=2πiall zk inside γ∑Res(f;zk)

有理函数在实数轴上的积分 假设P,QP,QP,Q是两个多项式函数，它们在实数轴上的值为实数，Q(x)≠0,∀x∈RQ(x) \ne 0,\forall x \in \mathbb RQ(x)=0,∀x∈R，deg(Q)≥deg(P)+2\text{deg}(Q) \ge \text{deg}(P)+2deg(Q)≥deg(P)+2，则
∫−∞+∞P(x)Q(x)dx=2πi∑zj∈URes(P/Q;zj)\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{P(x)}{Q(x)}dx=2 \pi i \sum_{z_j \in U} Res(P/Q;z_j)∫−∞+∞Q(x)P(x)dx=2πizj∈U∑Res(P/Q;zj)

其中U={z:Im[z]>0}U=\{z:Im[z]>0\}U={z:Im[z]>0}。

证明

记γR\gamma_RγR为上图所示的封闭曲线，它由实数轴上−R-R−R到RRR的线段与RRR到−R-R−R的上半圆弧组成，根据留数定理，
∫γRPQdz=∫−RRP(x)Q(x)dx+∫∣z∣=R,z∈UPQdz=2πi∑∣zj∣<R,zj∈URes(P/Q;zj)\int_{\gamma_R} \frac{P}{Q}dz = \int_{-R}^{R} \frac{P(x)}{Q(x)}dx+\int_{|z|=R,z \in U}\frac{P}{Q}dz=2 \pi i\sum_{|z_j|<R,z_j \in U}Res(P/Q;z_j)∫γRQPdz=∫−RRQ(x)P(x)dx+∫∣z∣=R,z∈UQPdz=2πi∣zj∣<R,zj∈U∑Res(P/Q;zj)

记n=deg(P)n=\text{deg}(P)n=deg(P)，m=deg(Q)m=\text{deg}(Q)m=deg(Q)，PPP和QQQ的首项系数记为ana_nan，bmb_mbm
∣P(z)Q(z)∣≤2∣an∣Rn12∣bm∣Rm≤4∣an∣∣bm∣R−2\left|\frac{P(z)}{Q(z)}\right| \le \frac{2|a_n|R^n}{\frac{1}{2}|b_m|R^m} \le \frac{4|a_n|}{|b_m|}R^{-2}∣∣∣∣Q(z)P(z)∣∣∣∣≤21∣bm∣Rm2∣an∣Rn≤∣bm∣4∣an∣R−2

因此
∣∫∣z∣=R,z∈UPQdz∣≤4∣an∣∣bm∣R−2⋅(πR)=4π∣an∣∣bm∣R\left| \int_{|z|=R,z \in U}\frac{P}{Q}dz \right| \le \frac{4|a_n|}{|b_m|}R^{-2} \cdot ( \pi R)=\frac{4 \pi |a_n|}{|b_m|R}∣∣∣∣∣∫∣z∣=R,z∈UQPdz∣∣∣∣∣≤∣bm∣4∣an∣R−2⋅(πR)=∣bm∣R4π∣an∣

现在让R→∞R \to \inftyR→∞，则∫∣z∣=R,z∈UPQdz\int_{|z|=R,z \in U}\frac{P}{Q}dz∫∣z∣=R,z∈UQPdz收敛到0，并且
∫−∞+∞P(x)Q(x)dx=2πi∑zj∈URes(P/Q;zj)\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{P(x)}{Q(x)}dx=2 \pi i \sum_{z_j \in U} Res(P/Q;z_j)∫−∞+∞Q(x)P(x)dx=2πizj∈U∑Res(P/Q;zj)

评注对于多项式函数PPP，假设n=deg(P)n=\text{deg}(P)n=deg(P)，首项系数为ana_nan，假设RRR是一个非常大的数，∀M>0\forall M>0∀M>0, R>MR >MR>M，则
12∣an∣Rn≤∣P(z)∣≤2∣an∣Rn\frac{1}{2}|a_n|R^n \le|P(z)| \le 2 |a_n|R^n21∣an∣Rn≤∣P(z)∣≤2∣an∣Rn

积分的绝对值的估计用的是
∣∫γf(z)dz∣≤(max⁡z∈γ∣f(z)∣)⋅length(γ)\left| \int_{\gamma} f(z)dz \right| \le (\max_{z \in \gamma} |f(z)|) \cdot \text{length}(\gamma)∣∣∣∣∫γf(z)dz∣∣∣∣≤(z∈γmax∣f(z)∣)⋅length(γ)

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