UA MATH524 复变函数8 Cauchy定理与原函数

Cauchy定理
- 定义域中的分段平滑封闭曲线
- 单连通定义域中的封闭曲线
原函数

Cauchy定理

定义域中的分段平滑封闭曲线

假设fff是定义域DDD上的全纯函数，并且f′f'f′为连续函数，γ\gammaγ是DDD中的分段平滑封闭曲线，它围成区域的内部为Ω\OmegaΩ，Ω⊂D\Omega \subset DΩ⊂D，则
∫γf(z)dz=0\int_{\gamma} f(z)dz=0∫γf(z)dz=0

证明记f(z)=u+ivf(z)=u+ivf(z)=u+iv，z=x+iyz=x+iyz=x+iy，根据Green定理，
∫γf(z)dz=i∬Ω(∂f∂x+i∂f∂y)dxdy\int_{\gamma} f(z)dz=i\iint_{\Omega} \left( \frac{\partial f}{\partial x}+i \frac{\partial f}{\partial y} \right) dxdy∫γf(z)dz=i∬Ω(∂x∂f+i∂y∂f)dxdy

先计算一下等式右边的被积函数，
∂f∂x+i∂f∂y=∂u∂x+i∂v∂x+i(∂u∂y+i∂v∂y)=∂u∂x−∂v∂y+i(∂u∂y+∂v∂x)\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}+i \frac{\partial f}{\partial y} & = \frac{\partial u}{\partial x}+i \frac{\partial v}{\partial x} + i\left( \frac{\partial u}{\partial y}+i \frac{\partial v}{\partial y}\right) \\ & =\frac{\partial u}{\partial x}- \frac{\partial v}{\partial y}+i \left( \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x} \right)\end{aligned}∂x∂f+i∂y∂f=∂x∂u+i∂x∂v+i(∂y∂u+i∂y∂v)=∂x∂u−∂y∂v+i(∂y∂u+∂x∂v)

因为fff是DDD上的全纯函数，根据Cauchy-Riemann方程，
∂u∂x=∂v∂y,∂u∂y=−∂v∂x\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} ∂x∂u=∂y∂v,∂y∂u=−∂x∂v

因此，
∬Ω(∂f∂x+i∂f∂y)dxdy=0\iint_{\Omega} \left( \frac{\partial f}{\partial x}+i \frac{\partial f}{\partial y} \right) dxdy=0∬Ω(∂x∂f+i∂y∂f)dxdy=0

单连通定义域中的封闭曲线

Cauchy定理的另一种形式需要借助连通性的概念。称DDD为单连通集，如果DDD中的封闭曲线γ\gammaγ围成的区域的内部是DDD的子集。

如果fff在单连通集DDD上为全纯函数，γ\gammaγ是DDD中有有限条平行或者垂直的线段组成的封闭曲线（学名为polygonal curve，多边形曲线，如下图例），则
∫γf(z)dz=0\int_{\gamma} f(z)dz=0∫γf(z)dz=0

这个结论的完整证明非常复杂，但是思路很简单，如下图例，我们可以发现这个封闭曲线围成的区域分为四个不同的区域，对这几个不同的区域分别用Cauchy定理，再用积分的可加性即可。

原函数

假设fff是单连通集DDD上的全纯函数，则存在DDD上的另一个全纯函数FFF，满足∀z∈D,F′(z)=f(z)\forall z \in D,F'(z)=f(z)∀z∈D,F′(z)=f(z)。

证明选取DDD上的点z0z_0z0，以其作为起点，以DDD上的任意点zzz作为终点，随便作两条polygonal curve γ,γ1\gamma,\gamma_1γ,γ1，则Γ=γ−γ1\Gamma=\gamma-\gamma_1Γ=γ−γ1（这个记号表示新的这条曲线沿着γ\gammaγ从z0z_0z0到zzz，然后沿着γ1\gamma_1γ1从zzz到z0z_0z0）是DDD中的一条封闭曲线，根据Cauchy定理，
0=∫Γf(w)dw=∫γf(w)dw−∫γ1f(w)dw0=\int_{\Gamma} f(w)dw=\int_{\gamma} f(w)dw-\int_{\gamma_1} f(w)dw0=∫Γf(w)dw=∫γf(w)dw−∫γ1f(w)dw

从这个等式可以发现fff从z0z_0z0到zzz的积分与路径无关，因此，
F(z)=∫γf(w)dwF(z)=\int_{\gamma} f(w)dwF(z)=∫γf(w)dw

作为zzz的函数是良定义（函数只能是1对1或者多对1的）。接下来证明F′=fF'=fF′=f即可。取z1∈Dz_1 \in Dz1∈D，∃r∈R\exists r \in \mathbb R∃r∈R，B(z1,r)⊂DB(z_1,r) \subset DB(z1,r)⊂D，令∣h∣<r|h|<r∣h∣<r，LLL为从z1z_1z1到z1+hz_1+hz1+h的曲线（只由一条横的线段和竖的线段组成的多边形曲线），现在假设γ1\gamma_1γ1是从z0z_0z0到z1+hz_1+hz1+h的多边形曲线，γ\gammaγ是从z0z_0z0到z1z_1z1的多边形曲线，记Γ=γ1−L−γ\Gamma=\gamma_1-L-\gammaΓ=γ1−L−γ，

根据Cauchy定理，

0=∫Γf(w)dw=∫γ1f(w)dw−∫Lf(w)dw−∫γf(w)dw0=\int_{\Gamma} f(w)dw=\int_{\gamma_1} f(w)dw-\int_L f(w)dw-\int_{\gamma} f(w)dw0=∫Γf(w)dw=∫γ1f(w)dw−∫Lf(w)dw−∫γf(w)dw

其中
∫γ1f(w)dw=F(z1+h),∫γf(w)dw=F(z1)\int_{\gamma_1} f(w)dw=F(z_1+h),\int_{\gamma} f(w)dw=F(z_1)∫γ1f(w)dw=F(z1+h),∫γf(w)dw=F(z1)

所以
F(z1+h)−F(z1)=∫Lf(w)dwF(z1+h)−F(z1)h−f(z1)=∫Lf(w)−f(z1)hdw∣F(z1+h)−F(z1)h−f(z1)∣≤max⁡∣f(w)−f(z1)∣∣h∣⋅2∣h∣<2ϵF(z_1+h)-F(z_1)=\int_L f(w)dw \\ \frac{F(z_1+h)-F(z_1)}{h}-f(z_1) =\int_L \frac{f(w)-f(z_1)}{h}dw \\ \left| \frac{F(z_1+h)-F(z_1)}{h}-f(z_1)\right| \le \frac{\max |f(w)-f(z_1)|}{|h|} \cdot \sqrt 2 |h| < \sqrt 2 \epsilonF(z1+h)−F(z1)=∫Lf(w)dwhF(z1+h)−F(z1)−f(z1)=∫Lhf(w)−f(z1)dw∣∣∣∣hF(z1+h)−F(z1)−f(z1)∣∣∣∣≤∣h∣max∣f(w)−f(z1)∣⋅2∣h∣<2ϵ

因此F′=fF'=fF′=f；

评注

上面倒数第二个等式是因为∫Lf(z1)hdw=f(z1)h∫Ldw=f(z1)h[(z1+h)−z1]=f(z1)\int_L \frac{f(z_1)}{h}dw=\frac{f(z_1)}{h}\int_L dw = \frac{f(z_1)}{h}[(z_1+h)-z_1]=f(z_1)∫Lhf(z1)dw=hf(z1)∫Ldw=hf(z1)[(z1+h)−z1]=f(z1)
上面倒数第一个不等式是因为∣∫γf(z)dz∣≤(max⁡z∈γ∣f(z)∣)⋅length(γ)\left| \int_{\gamma} f(z)dz \right| \le (\max_{z \in \gamma} |f(z)|) \cdot \text{length}(\gamma)∣∣∣∣∫γf(z)dz∣∣∣∣≤(z∈γmax∣f(z)∣)⋅length(γ)在上述证明中，length(γ)=arg max⁡x2+y2=∣h∣2,x,y>0(x+y)=2∣h∣\text{length}(\gamma)=\argmax_{x^2+y^2=|h|^2,x,y>0}(x+y)=\sqrt 2 |h|length(γ)=x2+y2=∣h∣2,x,y>0argmax(x+y)=2∣h∣，并且因为fff为全纯函数，max⁡∣f(w)−f(z1)∣<ϵ\max |f(w)-f(z_1)|<\epsilonmax∣f(w)−f(z1)∣<ϵ；下面简单证明一下这个不等式，假设γ\gammaγ参数化为γ(t),t∈[a,b]\gamma(t), t \in [a,b]γ(t),t∈[a,b]，且γ(t)\gamma(t)γ(t)分段连续可微，则∣∫γf(z)dz∣=∣∫abf(γ(t))γ˙(t)dt∣≤∫ab∣f(γ(t))∣∣γ˙(t)∣dt≤max⁡t∈[a,b]∣f(γ(t))∣∫ab∣γ˙(t)∣dt\begin{aligned}\left| \int_{\gamma} f(z)dz\right| & =\left| \int_a^b f(\gamma(t))\dot \gamma(t)dt\right| \\ & \le \int_a^b |f(\gamma(t))||\dot \gamma(t)|dt \\ & \le \max_{t \in [a,b]} |f(\gamma(t))| \int_a^b |\dot \gamma(t)|dt\end{aligned}∣∣∣∣∫γf(z)dz∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∫abf(γ(t))γ˙(t)dt∣∣∣∣∣≤∫ab∣f(γ(t))∣∣γ˙(t)∣dt≤t∈[a,b]max∣f(γ(t))∣∫ab∣γ˙(t)∣dt其中length(γ)=∫abx˙2+y˙2dt=∫ab∣γ˙(t)∣dt\text{length}(\gamma)=\int_a^b \sqrt{\dot x^2+\dot y^2}dt= \int_a^b |\dot \gamma(t)|dtlength(γ)=∫abx˙2+y˙2dt=∫ab∣γ˙(t)∣dt
基于上述证明，我们可以得到与Newton-Leibniz公式类似的结果，假设fff在单连通集DDD上为全纯函数，γ\gammaγ为从z0z_0z0到z1z_1z1的分段平滑曲线（虽然上述证明只讨论了多边形曲线，但是任意分段平滑曲线可以由多边形曲线近似，由此建立分段平滑曲线的类似结论），则∫γf(z)dz=F(z1)−F(z0)\int_{\gamma}f(z)dz = F(z_1)-F(z_0) ∫γf(z)dz=F(z1)−F(z0)其中FFF为fff的原函数。