UA MATH524 复变函数13 奇点与留数

零点的阶
孤立奇点
留数

零点的阶

假设fff满足
f(k)(z0)=0,k=0,1,⋯,m−1f(m)(z0)≠0f^{(k)}(z_0)=0,k=0,1,\cdots,m-1 \\ f^{(m)}(z_0) \ne 0f(k)(z0)=0,k=0,1,⋯,m−1f(m)(z0)=0

称z0z_0z0是fff的mmm阶零点。

如果z0∈Dz_0 \in Dz0∈D，fff在DDD上为全纯函数，则在DDD上fff存在幂级数展开，
f(z)=∑k=0+∞ak(z−z0)kf(z)= \sum_{k=0}^{+\infty}a_k(z-z_0)^kf(z)=k=0∑+∞ak(z−z0)k

根据mmm阶零点的定义可得
ak=0,k=0,1,⋯,m−1am≠0a_k=0,k=0,1,\cdots,m-1 \\ a_m \ne 0ak=0,k=0,1,⋯,m−1am=0

定义
g(z)=f(z)(z−z0)mg(z)=\frac{f(z)}{(z-z_0)^m}g(z)=(z−z0)mf(z)

则g(z)=am+am+1(z−z0)+⋯g(z)=a_m+a_{m+1}(z-z_0)+\cdotsg(z)=am+am+1(z−z0)+⋯，显然g(z)g(z)g(z)在DDD上也是全纯函数，并且g(z0)≠0g(z_0) \ne 0g(z0)=0。

孤立奇点

先引入几个集合的定义，
open disk:B(z0,r)={z:∣z−z0∣<r}closed disk:Bˉ(z0,r)={z:∣z−z0∣≤r}punctured disk:B∘(z0,r)={z:0<∣z−z0∣<r}annulus:B(z0,R)∖Bˉ(z0,r)={z:r<∣z−z0∣<R}\text{open\ disk}:B(z_0,r)=\{z:|z-z_0|<r\} \\ \text{closed\ disk}:\bar B(z_0,r) = \{z:|z-z_0|\le r\} \\ \text{punctured\ disk}:\overset{\circ}{B}(z_0,r)=\{z:0<|z-z_0|<r\} \\ \text{annulus}: B(z_0,R)\setminus \bar B(z_0,r)=\{z:r<|z-z_0|<R\}open disk:B(z0,r)={z:∣z−z0∣<r}closed disk:Bˉ(z0,r)={z:∣z−z0∣≤r}punctured disk:B∘(z0,r)={z:0<∣z−z0∣<r}annulus:B(z0,R)∖Bˉ(z0,r)={z:r<∣z−z0∣<R}

假设fff为DDD上的全纯函数，称z0∈Dz_0 \in Dz0∈D是fff的一个孤立奇点，如果∃r>0\exists r>0∃r>0，fff在B∘(z0,r)\overset{\circ}{B}(z_0,r)B∘(z0,r)上解析。

评注孤立奇点（isolated singularity）的定义要与本性奇点（essential singularity）区分一下。称z0z_0z0为fff的本性奇点，如果fff在z0z_0z0处的极限不存在。这里用三个例子帮助大家理解孤立奇点与本性奇点的区别。

函数	z0z_0z0为本性奇点	z0z_0z0为孤立奇点
z2−z02z−z0\frac{z^2-z_0^2}{z-z_0}z−z0z2−z02	否	是
7(z−z0)−47(z-z_0)^{-4}7(z−z0)−4	是	是
exp⁡((z−z0)−1)\exp((z-z_0)^{-1})exp((z−z0)−1)	是	是

从孤立奇点的定义以及这三个例子，我们可以简单总结处函数在趋近于其孤立奇点时的行为：

lim⁡z→z0∣f(z)∣<∞\lim_{z \to z_0}|f(z)|<\inftylimz→z0∣f(z)∣<∞
lim⁡z→z0∣f(z)∣=∞\lim_{z \to z_0}|f(z)|=\inftylimz→z0∣f(z)∣=∞
lim⁡z→z0∣f(z)∣\lim_{z \to z_0}|f(z)|limz→z0∣f(z)∣不存在

第一种奇点被称为可移除的奇点(removable singularity)，因为lim⁡z→z0∣f(z)∣<∞\lim_{z \to z_0}|f(z)|<\inftylimz→z0∣f(z)∣<∞，所以令g(z)=(z−z0)2f(z),∀z∈B∘(z0,r)g(z)=(z-z_0)^2f(z),\forall z \in \overset{\circ}{B}(z_0,r)g(z)=(z−z0)2f(z),∀z∈B∘(z0,r)，g(z0)=0g(z_0)=0g(z0)=0，则
g(z)−g(z0)z−z0=(z−z0)f(z)→0⋅f(z0)=0,as z→z0\frac{g(z)-g(z_0)}{z-z_0}=(z-z_0)f(z) \to 0 \cdot f(z_0) = 0,\text{as} \ z \to z_0z−z0g(z)−g(z0)=(z−z0)f(z)→0⋅f(z0)=0,as z→z0

考虑g(z)g(z)g(z)的幂级数展开：
g(z)=∑n=0+∞bn(z−z0)ng(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} b_n(z-z_0)^ng(z)=n=0∑+∞bn(z−z0)n

根据g(z)g(z)g(z)的构造，z0z_0z0是g(z)g(z)g(z)的零点，且至少是2阶零点，因此b0=b1=0b_0=b_1=0b0=b1=0，于是f(z)f(z)f(z)的幂级数展开为
f(z)=b2+b3(z−z0)+b4(z−z0)2+⋯f(z)=b_2+b_3(z-z_0)+b_4(z-z_0)^2+\cdotsf(z)=b2+b3(z−z0)+b4(z−z0)2+⋯

并且f(z0)=b2<∞f(z_0)=b_2<\inftyf(z0)=b2<∞。经过上述操作，可以发现这种奇点对函数的局部性质确实没有什么影响，因此被称为可移除的奇点。

第二种奇点被称为pole，假设fff在z0z_0z0处满足lim⁡z→z0∣f(z)∣=∞\lim_{z \to z_0}|f(z)|=\inftylimz→z0∣f(z)∣=∞，并且∣f(z)∣>1,∀z∈B∘(z0,r)|f(z)|>1,\forall z \in \overset{\circ}{B}(z_0,r)∣f(z)∣>1,∀z∈B∘(z0,r)，则g(z)=1f(z)g(z)=\frac{1}{f(z)}g(z)=f(z)1在B∘(z0,r)\overset{\circ}{B}(z_0,r)B∘(z0,r)上解析，且g(z)g(z)g(z)有界，∣g(z)∣≤1|g(z)| \le 1∣g(z)∣≤1，于是z0z_0z0对于g(z)g(z)g(z)而言就是一个可移除的奇点，假设z0z_0z0作为零点的阶为mmm，则
g(z)=(z−z0)mh(z)g(z)=(z-z_0)^mh(z)g(z)=(z−z0)mh(z)

hhh在B(z0,r)B(z_0,r)B(z0,r)上解析，且h(z0)≠0h(z_0) \ne 0h(z0)=0，令H(z)=1h(z)H(z)=\frac{1}{h(z)}H(z)=h(z)1，则H(z)H(z)H(z)在B(z0,r)B(z_0,r)B(z0,r)上解析，综上，
f(z)=1g(z)=H(z)(z−z0)mf(z)=\frac{1}{g(z)}=\frac{H(z)}{(z-z_0)^m}f(z)=g(z)1=(z−z0)mH(z)

也就是说有第二种奇点的函数在局部都可以写成全纯函数H(z)H(z)H(z)与1(z−z0)m\frac{1}{(z-z_0)^m}(z−z0)m1乘积的形式，称z0z_0z0为fff的mmm阶pole。

上述第三类孤立奇点就是本性奇点。这里简单介绍一个本性奇点的性质：假设fff在B∘(z0,r)\overset{\circ}{B}(z_0,r)B∘(z0,r)上为全纯函数，并且z0z_0z0为fff的本性奇点，www是一个任意复数，则
g(z)=1f(z)−wg(z)=\frac{1}{f(z)-w}g(z)=f(z)−w1

在∀0<ϵ<r,B∘(z0,ϵ)\forall 0<\epsilon<r,\overset{\circ}{B}(z_0,\epsilon)∀0<ϵ<r,B∘(z0,ϵ)上无界。

留数

假设fff在B∘(z0,r)\overset{\circ}{B}(z_0,r)B∘(z0,r)上解析，则
12πi∫∣w−z0∣=sf(w)dw,0<s<r\frac{1}{2 \pi i} \int_{|w-z_0|=s}f(w)dw,0<s<r2πi1∫∣w−z0∣=sf(w)dw,0<s<r

这个积分与sss无关。这个结论非常容易验证，以下图示意，考虑0<s1<s2<r0<s_1<s_2<r0<s1<s2<r，则沿着∣w−z0∣=s1|w-z_0|=s_1∣w−z0∣=s1与∣w−z0∣=s2|w-z_0|=s_2∣w−z0∣=s2的积分之差等于下图中加了箭头的几段线段的积分之和，根据对称性，这几段积分之和为0，因此上述积分与sss无关。

除了sss外，上述积分只与z0z_0z0有关，因此我们将其定义为fff在z0z_0z0处的留数（residue），
Res(f;z0)=12πi∫∣w−z0∣=sf(w)dwRes(f;z_0)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{|w-z_0|=s}f(w)dwRes(f;z0)=2πi1∫∣w−z0∣=sf(w)dw

这个公式的形式与Cauchy公式很像，但Cauchy公式要求fff在∣w−z0∣=s|w-z_0|=s∣w−z0∣=s围成区域内（包含z0z_0z0）解析，而留数并不要求fff在z0z_0z0处解析，所以留数的含义更具有一般性。

当fff在z0z_0z0处解析或者fff在z0z_0z0处满足lim⁡z→z0∣f(z)∣<∞\lim_{z \to z_0}|f(z)|<\inftylimz→z0∣f(z)∣<∞时，根据Cauchy公式，
Res(f;z0)=f(z0)Res(f;z_0)=f(z_0)Res(f;z0)=f(z0)

当z0z_0z0是fff的mmm阶pole时，则存在B(z0,r)B(z_0,r)B(z0,r)上的全纯函数H(z)H(z)H(z)，幂级数为∑n=0+∞cn(z−z0)n\sum_{n=0}^{+\infty} c_n(z-z_0)^n∑n=0+∞cn(z−z0)n，满足
f(z)=H(z)(z−z0)m=∑n=−m+∞cn+m(z−z0)nf(z)=\frac{H(z)}{(z-z_0)^m}=\sum_{n=-m}^{+\infty} c_{n+m}(z-z_0)^nf(z)=(z−z0)mH(z)=n=−m∑+∞cn+m(z−z0)n

用Cauchy公式计算
12πi∫∣w−z0∣=s(w−z0)ndw=0,n≠−112πi∫∣w−z0∣=s1w−z0dw=1\frac{1}{2 \pi i} \int_{|w-z_0|=s}(w-z_0)^ndw=0,n \ne -1 \\ \frac{1}{2 \pi i} \int_{|w-z_0|=s}\frac{1}{w-z_0}dw=12πi1∫∣w−z0∣=s(w−z0)ndw=0,n=−12πi1∫∣w−z0∣=sw−z01dw=1

所以
Res(f;z0)=12πi∫∣w−z0∣=s∑n=−m+∞cn+m(z−z0)ndw=cm−1=H(m−1)(z0)(m−1)!Res(f;z_0)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{|w-z_0|=s}\sum_{n=-m}^{+\infty} c_{n+m}(z-z_0)^ndw=c_{m-1}=\frac{H^{(m-1)}(z_0)}{(m-1)!}Res(f;z0)=2πi1∫∣w−z0∣=sn=−m∑+∞cn+m(z−z0)ndw=cm−1=(m−1)!H(m−1)(z0)