UA MATH524 复变函数6 Green定理与Green公式

Green定理
Green公式与Green恒等式
- 方向导数
- Green恒等式
- Green公式

Green定理

假设复变函数fff的定义域为Ω\OmegaΩ，定义域的边界为Γ\GammaΓ，其中Γ\GammaΓ可以写成不相交的封闭曲线的并集（如上图a），Γ=⨆j=1nγj\Gamma=\bigsqcup_{j=1}^n \gamma_jΓ=⨆j=1nγj，且Γ\GammaΓ的方向为正（如果沿着Γ\GammaΓ的定向走的时候，定义域永远在我们的左手边（如上图b），就称Γ\GammaΓ的方向为正），则
∫Γf(z)dz=i∬Ω(∂f∂x+i∂f∂y)dxdy\int_{\Gamma} f(z)dz =i \iint_{\Omega} \left( \frac{\partial f}{\partial x}+i \frac{\partial f}{\partial y} \right)dxdy∫Γf(z)dz=i∬Ω(∂x∂f+i∂y∂f)dxdy

这个公式可以理解为复变函数版本的Green公式，它也确实可以由实变函数积分的Green公式推导出来。

证明
假设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，z=x+iyz=x+iyz=x+iy，则
∫Γf(z)dz=∫Γ(udx−vdy)+i∫Γ(udy+vdx)\begin{aligned} \int_{\Gamma} f(z)dz = \int_{\Gamma } (udx - v dy) + i \int_{\Gamma} (udy+vdx)\end{aligned}∫Γf(z)dz=∫Γ(udx−vdy)+i∫Γ(udy+vdx)

根据实变函数积分的Green公式，
∫Γ(udx−vdy)=−∬Ω(∂v∂x+∂u∂y)dxdy∫Γ(udy+vdx)=∬Ω(∂u∂x+∂v∂y)dxdy\int_{\Gamma } (udx - v dy) =-\iint_{\Omega} \left( \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right) dxdy \\ \int_{\Gamma} (udy+vdx) = \iint_{\Omega}\left( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} \right) dxdy ∫Γ(udx−vdy)=−∬Ω(∂x∂v+∂y∂u)dxdy∫Γ(udy+vdx)=∬Ω(∂x∂u+∂y∂v)dxdy

所以
∫Γf(z)dz=−∬Ω(∂v∂x+∂u∂y)dxdy+i∬Ω(∂u∂x−∂v∂y)dxdy\int_{\Gamma} f(z)dz = -\iint_{\Omega} \left( \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right) dxdy +i\iint_{\Omega}\left( \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y} \right) dxdy ∫Γf(z)dz=−∬Ω(∂x∂v+∂y∂u)dxdy+i∬Ω(∂x∂u−∂y∂v)dxdy

所以，
i∬Ω(∂f∂x+i∂f∂y)dxdy=i∬Ω(∂u∂x+i∂v∂x+i∂u∂y−∂v∂y)dxdy=−∬Ω(∂v∂x+∂u∂y)dxdy+i∬Ω(∂u∂x−∂v∂y)dxdy=∫Γf(z)dz\begin{aligned} & i \iint_{\Omega} \left( \frac{\partial f}{\partial x}+i \frac{\partial f}{\partial y} \right)dxdy \\ = &i \iint_{\Omega} \left( \frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}+i \frac{\partial u}{\partial y} -\frac{\partial v}{\partial y}\right)dxdy \\ = &-\iint_{\Omega} \left( \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right) dxdy +i\iint_{\Omega}\left( \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y} \right) dxdy \\ = & \int_{\Gamma} f(z)dz\end{aligned}===i∬Ω(∂x∂f+i∂y∂f)dxdyi∬Ω(∂x∂u+i∂x∂v+i∂y∂u−∂y∂v)dxdy−∬Ω(∂x∂v+∂y∂u)dxdy+i∬Ω(∂x∂u−∂y∂v)dxdy∫Γf(z)dz

Green公式与Green恒等式

方向导数

假设Γ(t)={(x(t),y(t)):t∈[t0,tN]}\Gamma(t)=\{(x(t),y(t)):t \in [t_0,t_N]\}Γ(t)={(x(t),y(t)):t∈[t0,tN]}是分段可微的参数曲线，λ=cos⁡θ+isin⁡θ\lambda=\cos \theta+i \sin \thetaλ=cosθ+isinθ，它表示复平面上的单位向量，定义复变函数fff在z0z_0z0处沿着λ\lambdaλ的方向导数为
∂f∂λ=lim⁡h→0f(z0+hλ)−f(z0)h\frac{\partial f}{\partial \lambda}=\lim_{h \to 0} \frac{f(z_0+h\lambda)-f(z_0)}{h}∂λ∂f=h→0limhf(z0+hλ)−f(z0)

假设这个极限存在，可以验证它等于
∂f∂xcos⁡θ+∂f∂ysin⁡θ\frac{\partial f}{\partial x}\cos \theta+\frac{\partial f}{\partial y}\sin \theta∂x∂fcosθ+∂y∂fsinθ

用nnn表示Γ\GammaΓ的单位外法向量，即垂直于Γ\GammaΓ指向ΩC\Omega^CΩC的方向，因为Γ\GammaΓ的单位方向向量为
xx˙2+y˙2+iyx˙2+y˙2\frac{x}{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}} +i \frac{y}{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}}x˙2+y˙2x+ix˙2+y˙2y

由此可以得到
n=yx˙2+y˙2−ixx˙2+y˙2n=\frac{y}{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}} -i \frac{x}{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}}n=x˙2+y˙2y−ix˙2+y˙2x

于是复变函数fff沿Γ\GammaΓ外法向的导数为
∂f∂n=y˙∂f∂x−x˙∂f∂yx˙2+y˙2\frac{\partial f}{\partial n}=\frac{\dot y\frac{\partial f}{\partial x}-\dot x \frac{\partial f}{\partial y}}{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}}∂n∂f=x˙2+y˙2y˙∂x∂f−x˙∂y∂f

在第四讲中，我们类比二元实变函数的曲线积分定义了复变函数的积分，更具体一点，我们用的是实变函数的第二类曲线积分的思路，实际上我们也可以类比第一类曲线积分的思想，定义复变函数的弧长积分为
∫Γfds\int_{\Gamma} f ds∫Γfds

其中ds=x˙2+y˙2dtds = \sqrt{\dot x^2+\dot y^2}dtds=x˙2+y˙2dt。

Green恒等式

∬Ω(∂u∂x∂v∂x+∂u∂y∂v∂y)dxdy=∫Γv∂u∂nds−∬ΩvΔudxdy\iint_{\Omega} \left( \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y}\right) dxdy = \int_{\Gamma} v \frac{\partial u}{\partial n}ds -\iint_{\Omega}v \Delta udxdy∬Ω(∂x∂u∂x∂v+∂y∂u∂y∂v)dxdy=∫Γv∂n∂uds−∬ΩvΔudxdy

证明
回顾一下散度定理，
∬Ω(∇⋅f)dxdy=∫Γ(f⋅n)ds\iint_{\Omega}( \nabla \cdot f )dxdy=\int_{\Gamma} (f \cdot n)ds∬Ω(∇⋅f)dxdy=∫Γ(f⋅n)ds

现在令f=v∇uf=v\nabla uf=v∇u，
∇⋅f=∇⋅(v∇u)=∇u⋅∇v+vΔuf⋅n=v∇u⋅n=v∂u∂n\nabla \cdot f = \nabla \cdot (v\nabla u)=\nabla u \cdot \nabla v + v\Delta u \\ f \cdot n = v\nabla u \cdot n = v \frac{\partial u}{\partial n}∇⋅f=∇⋅(v∇u)=∇u⋅∇v+vΔuf⋅n=v∇u⋅n=v∂n∂u

代入散度定理中即可：
∬Ω(∇u⋅∇v+vΔu)dxdy=∫Γv∂u∂nds\iint_{\Omega}(\nabla u \cdot \nabla v + v\Delta u)dxdy = \int_{\Gamma} v \frac{\partial u}{\partial n}ds∬Ω(∇u⋅∇v+vΔu)dxdy=∫Γv∂n∂uds

Green公式

∫Γ(g∂f∂n−f∂g∂n)ds=∬Ω(gΔf−fΔg)dxdy\int_{\Gamma} \left( g \frac{\partial f}{\partial n} - f \frac{\partial g}{\partial n} \right)ds=\iint_{\Omega}(g \Delta f-f \Delta g)dxdy∫Γ(g∂n∂f−f∂n∂g)ds=∬Ω(gΔf−fΔg)dxdy

证明1：用实变函数积分的Green公式
令
u=−∂f∂yg+∂g∂yf,v=∂f∂xg−∂g∂xfu=-\frac{\partial f}{\partial y}g+\frac{\partial g}{\partial y}f,v=\frac{\partial f}{\partial x}g-\frac{\partial g}{\partial x}fu=−∂y∂fg+∂y∂gf,v=∂x∂fg−∂x∂gf

代入到实变函数的Green公式即可。

证明2：用Green恒等式

在Green恒等式中，u,vu,vu,v是轮换对称的，
∬Ω(∂u∂x∂v∂x+∂u∂y∂v∂y)dxdy=∫Γv∂u∂nds−∬ΩvΔudxdy∬Ω(∂v∂x∂u∂x+∂v∂y∂u∂y)dxdy=∫Γu∂v∂nds−∬ΩuΔvdxdy\iint_{\Omega} \left( \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y}\right) dxdy = \int_{\Gamma} v \frac{\partial u}{\partial n}ds -\iint_{\Omega}v \Delta udxdy \\ \iint_{\Omega} \left( \frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial y}\right) dxdy = \int_{\Gamma} u \frac{\partial v}{\partial n}ds -\iint_{\Omega}u \Delta vdxdy∬Ω(∂x∂u∂x∂v+∂y∂u∂y∂v)dxdy=∫Γv∂n∂uds−∬ΩvΔudxdy∬Ω(∂x∂v∂x∂u+∂y∂v∂y∂u)dxdy=∫Γu∂n∂vds−∬ΩuΔvdxdy

第一个公式减第二个、令v=g,u=fv=g,u=fv=g,u=f即可。