UA MATH524 复变函数9 柯西公式与幂级数展开

柯西公式及其证明
幂级数展开

柯西公式及其证明

假设fff是DDD上的全纯函数，γ\gammaγ是DDD中的分段平滑正向封闭曲线，且γ\gammaγ围成区域的内部Ω\OmegaΩ是DDD的子集，则
f(z)=12πi∫γf(w)w−zdw,∀z∈Ωf(z)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma} \frac{f(w)}{w-z}dw,\forall z \in \Omegaf(z)=2πi1∫γw−zf(w)dw,∀z∈Ω

证明因为z∈Ωz \in \Omegaz∈Ω，∃δ0>0\exists \delta_0>0∃δ0>0，B(z,δ0)⊂ΩB(z,\delta_0) \subset \OmegaB(z,δ0)⊂Ω，取δ<δ0\delta<\delta_0δ<δ0，记Bˉ(z,δ)={w:∣w−z∣≤δ}\bar B(z,\delta)=\{w:|w-z| \le \delta\}Bˉ(z,δ)={w:∣w−z∣≤δ}表示closed neighbor of zzz，Ωδ=Ω∖Bˉ(z,δ)\Omega_{\delta}=\Omega \setminus \bar B(z,\delta)Ωδ=Ω∖Bˉ(z,δ)（用closed neighbor是保证Ωδ\Omega_{\delta}Ωδ为开集，去掉zzz的一个闭邻域是因为f(w)w−z\frac{f(w)}{w-z}w−zf(w)的奇点为zzz），在Ωδ\Omega_{\delta}Ωδ上对g(w)=f(w)w−zg(w)=\frac{f(w)}{w-z}g(w)=w−zf(w)应用Green定理与Cauchy定理，
0=i∬Ωδ(∂g∂x+i∂g∂y)dxdy=∫∂Ωδg(z)dz0=i\iint_{\Omega_{\delta}} \left( \frac{\partial g}{\partial x}+i \frac{\partial g}{\partial y} \right) dxdy=\int_{\partial \Omega_{\delta}} g(z)dz0=i∬Ωδ(∂x∂g+i∂y∂g)dxdy=∫∂Ωδg(z)dz

因为∂Ωδ=∂Ω⊔{w:∣w−z∣=δ}\partial \Omega_{\delta}=\partial \Omega \sqcup \{w:|w-z|=\delta\}∂Ωδ=∂Ω⊔{w:∣w−z∣=δ}（后者的定向为负），根据积分的可加性，
∫∂Ωδg(z)dz=∫∂Ωg(z)dz−∫{w:∣w−z∣=δ}g(z)dz=0\int_{\partial \Omega_{\delta}} g(z)dz=\int_{\partial \Omega} g(z)dz-\int_{\{w:|w-z|=\delta\}} g(z)dz=0∫∂Ωδg(z)dz=∫∂Ωg(z)dz−∫{w:∣w−z∣=δ}g(z)dz=0

其中∂Ω=γ\partial \Omega=\gamma∂Ω=γ，所以当δ→0\delta \to 0δ→0时，
∫γg(z)dz=∫{w:∣w−z∣=δ}g(z)dz→2πif(z)\int_{\gamma} g(z)dz = \int_{\{w:|w-z|=\delta\}} g(z)dz \to 2 \pi i f(z)∫γg(z)dz=∫{w:∣w−z∣=δ}g(z)dz→2πif(z)

这样就完成了证明。但需要注意最后一个等式，它可以用下面的引理直接得出：

引理假设fff在B(z0,r)B(z_0,r)B(z0,r)上连续，γϵ={z:∣z−z0∣=ϵ}\gamma_{\epsilon}=\{z:|z-z_0|=\epsilon\}γϵ={z:∣z−z0∣=ϵ}，则
lim⁡ϵ→012πi∫γϵf(z)z−z0dz=f(z0)\lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma_{\epsilon}} \frac{f(z)}{z-z_0}dz=f(z_0)ϵ→0lim2πi1∫γϵz−z0f(z)dz=f(z0)

简单证明一下这个引理。先将γϵ\gamma_{\epsilon}γϵ参数化：γϵ(t)=z0+ϵeit,t∈[0,2π]\gamma_{\epsilon}(t)=z_0+\epsilon e^{it},t \in [0,2 \pi]γϵ(t)=z0+ϵeit,t∈[0,2π]，代入到积分中，
12πi∫γϵf(z)z−z0dz=12πi∫02πf(z0+ϵeit)ϵeitd(z0+ϵeit)=12π∫02πf(z0+ϵeit)dt\begin{aligned}\frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma_{\epsilon}} \frac{f(z)}{z-z_0}dz & = \frac{1}{2 \pi i} \int_{0}^{2\pi} \frac{f(z_0+\epsilon e^{it})}{\epsilon e^{it}}d(z_0+\epsilon e^{it}) \\ & = \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2\pi} f(z_0+\epsilon e^{it}) dt \end{aligned}2πi1∫γϵz−z0f(z)dz=2πi1∫02πϵeitf(z0+ϵeit)d(z0+ϵeit)=2π1∫02πf(z0+ϵeit)dt

因为fff的连续性，
∣12π∫02πf(z0+ϵeit)dt−f(z0)∣=∣12π∫02πf(z0+ϵeit)−f(z0)dt∣≤max⁡t∈[0,2π]∣f(z0+ϵeit)−f(z0)∣<ϵ\begin{aligned} \left| \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2\pi} f(z_0+\epsilon e^{it}) dt - f(z_0) \right| & = \left| \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2\pi} f(z_0+\epsilon e^{it}) -f(z_0) dt \right| \\ & \le \max_{t \in [0,2 \pi]} |f(z_0+\epsilon e^{it}) -f(z_0)|<\epsilon\end{aligned}∣∣∣∣2π1∫02πf(z0+ϵeit)dt−f(z0)∣∣∣∣=∣∣∣∣2π1∫02πf(z0+ϵeit)−f(z0)dt∣∣∣∣≤t∈[0,2π]max∣f(z0+ϵeit)−f(z0)∣<ϵ

这样就说明了引理为真。

幂级数展开

下面介绍一个Cauchy公式的应用。假设fff是DDD上的全纯函数，z0∈Dz_0 \in Dz0∈D，且B(z0,R)⊂DB(z_0,R) \subset DB(z0,R)⊂D，则fff在B(z0,R)B(z_0,R)B(z0,R)中存在幂级数展开，
f(z)=∑k=0+∞ak(z−z0)kf(z)= \sum_{k=0}^{+\infty}a_k(z-z_0)^kf(z)=k=0∑+∞ak(z−z0)k

并且
ak=12πi∫γf(w)(w−z0)k+1dwa_k=\frac{1}{2 \pi i}\int_{\gamma} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{k+1}}dwak=2πi1∫γ(w−z0)k+1f(w)dw

其中γ={w:∣w−z0∣=r}\gamma=\{w:|w-z_0|=r\}γ={w:∣w−z0∣=r}方向为正，r<Rr<Rr<R。这里给了幂级数展开的一个一般性公式，事实上，如果fff是平滑函数，那么aka_kak可以用Taylor级数的系数表达式ak=f(k)(z0)k!a_k=\frac{f^{(k)}(z_0)}{k!}ak=k!f(k)(z0)

且这个结果与ak=12πi∫γf(w)(w−z0)k+1dwa_k=\frac{1}{2 \pi i}\int_{\gamma} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{k+1}}dwak=2πi1∫γ(w−z0)k+1f(w)dw相同；但如果fff不是平滑函数，就只能用ak=12πi∫γf(w)(w−z0)k+1dwa_k=\frac{1}{2 \pi i}\int_{\gamma} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{k+1}}dwak=2πi1∫γ(w−z0)k+1f(w)dw这个公式计算幂级数展开的系数了。

下面给出复变函数幂级数的不严谨推导（只是提供一个大致的思路，完整证明可以参考Stephen Fisher的复变函数第二版的123-125页）：取r<Rr<Rr<R，在B(z0,r)B(z_0,r)B(z0,r)上，根据Cauchy公式，
f(z)=12πi∫γf(w)w−zdwf(z)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma} \frac{f(w)}{w-z}dwf(z)=2πi1∫γw−zf(w)dw

其中γ\gammaγ为正向的圆{w:∣w−z0∣=r}\{w:|w-z_0|=r\}{w:∣w−z0∣=r}，因为www在圆上，zzz在圆内，所以∣z−z0∣<r|z-z_0|<r∣z−z0∣<r，并且∣z−z0∣∣w−z0∣<1\frac{|z-z_0|}{|w-z_0|}<1∣w−z0∣∣z−z0∣<1，由此用幂级数展开
1w−z=1(w−z0)−(z−z0)=1w−z011−z−z0w−w0=1w−z0∑n=0+∞(z−z0w−z0)n\frac{1}{w-z}=\frac{1}{(w-z_0)-(z-z_0)}=\frac{1}{w-z_0} \frac{1}{1-\frac{z-z_0}{w-w_0}}=\frac{1}{w-z_0} \sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{z-z_0}{w-z_0} \right)^nw−z1=(w−z0)−(z−z0)1=w−z011−w−w0z−z01=w−z01n=0∑+∞(w−z0z−z0)n

代入到Cauchy公式中，
f(z)=12πi∫γf(w)w−z0∑n=0+∞(z−z0w−z0)ndw=∑n=0+∞(z−z0)n(12πi∫γf(w)(w−z0)n+1dw)⏟an\begin{aligned}f(z)&=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma} \frac{f(w)}{w-z_0}\sum_{n=0}^{+\infty} \left( \frac{z-z_0}{w-z_0} \right)^ndw \\ & = \sum_{n=0}^{+\infty} (z-z_0)^n \underbrace{\left( \frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}} dw\right)}_{a_n} \end{aligned}f(z)=2πi1∫γw−z0f(w)n=0∑+∞(w−z0z−z0)ndw=n=0∑+∞(z−z0)nan(2πi1∫γ(w−z0)n+1f(w)dw)