python机器学习案例系列教程——最小生成树（MST）的Prim算法和Kruskal算法

全栈工程师开发手册（作者：栾鹏）
python数据挖掘系列教程

最小生成树MST

一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。

也就是说，用原图中有的边，连接n个节点，保证每个节点都被连接，且使用的边的数目最少。

最小权重生成树

在一给定的无向图$G = (V, E) 中，中，中，(u, v) 代表连接顶点代表连接顶点代表连接顶点 u $与顶点 $v $的边（即），而 $w(u, v) $代表此边的权重，若存在 $T 为为为 E $的子集（即）且为无循环图，使得

w(t)=∑(u,v)∈tw(u,v)w(t)=\sum_{(u,v)\in t}w(u,v)w(t)=(u,v)∈t∑w(u,v)

的$ w(T) $最小，则此 TTT 为 GGG 的最小生成树。

最小生成树其实是最小权重生成树的简称。

应用：

例如：要在n个城市之间铺设光缆，主要目标是要使这 n 个城市的任意两个之间都可以通信，但铺设光缆的费用很高，且各个城市之间铺设光缆的费用不同，因此另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。这就需要找到带权的最小生成树

Prim算法

1)、输入：一个加权连通图，其中顶点集合为VVV，边集合为EEE；

2)、初始化：Vnew={x}V_{new}= \{x\}Vnew={x}，其中xxx为集合VVV中的任一节点（起始点），Enew={}E_{new}= \{\}Enew={},为空；

3)、重复下列操作，直到Vnew=VV_{new}= VVnew=V：

a.在集合EEE中选取权值最小的边<u,v><u, v><u,v>，其中uuu为集合VnewV_{new}Vnew中的元素，而vvv不在VnewV_{new}Vnew集合当中，并且v∈Vv∈Vv∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
b.将vvv加入集合VnewV_{new}Vnew中，将<u,v><u, v><u,v>边加入集合EnewE_{new}Enew中；

4)、输出：使用集合VnewV_{new}Vnew和EnewE_{new}Enew来描述所得到的最小生成树

Kruskal算法简述

假设 $W_N=(V,{E}) $是一个含有n 个顶点的连通网，则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程为：先构造一个只含 n 个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是一个含有 n 棵树的一个森林。之后，从网的边集 EEE 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，也就是说，将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树；反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直至森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1条边为止。

循环中可加入已加入MST的点的数量的判断，有可能提前结束循环，提高效率。

下面是hdu1233的源代码，一个用Prim算法，另一个用Kruskal，标准的MST问题。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;typedef int weight_t; #define SIZE 101int N;//图的邻接矩阵
weight_t Graph[SIZE][SIZE];//各顶点到中间结果的最短距离，始终维护
weight_t D[SIZE];//标志位
bool Flag[SIZE];//Prim算法，返回MST的长度
weight_t Prim(){//初始化数组fill(D,D+SIZE,INT_MAX);fill(Flag,Flag+SIZE,false);//初始化第一个计算的点D[1] = 0;weight_t ans = 0;for(int i=1;i<=N;++i){//找出距离中间结果最近的点int k = -1;for(int j=1;j<=N;++j)if ( !Flag[j] && ( -1 == k || D[j] < D[k] ) )k = j;//将k点加入中间结果Flag[k] = true;ans += D[k];//更新剩余点到中间结果的最短距离for(int j=1;j<=N;++j)if ( !Flag[j] && Graph[k][j] < D[j] )D[j] = Graph[k][j];}return ans;
}bool read(){scanf("%d",&N);if ( 0 == N ) return false;for(int i=0;i<N*(N-1)/2;++i){int a,b,w;scanf("%d%d%d",&a,&b,&w);Graph[a][b] = Graph[b][a] = w;}return true;
}int main(){while( read() ){printf("%d\n",Prim());}return 0;
}

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;typedef int weight_t; #define SIZE 101//并查集结构
int Father[SIZE];
void init(int n){for(int i=0;i<=n;Father[i]=i++);}
int find(int x){return Father[x]==x?x:Father[x]=find(Father[x]);}
void unite(int x,int y){Father[find(y)]=Father[find(x)];}int N;//边结构
struct edge_t{int s;int e;weight_t w;
}Edge[SIZE*SIZE/2];
int ECnt = 0;//重载，用于边排序
bool operator < (edge_t const&lhs,edge_t const&rhs){if ( lhs.w != rhs.w ) return lhs.w < rhs.w;if ( lhs.s != rhs.s ) return lhs.s < rhs.s;return lhs.e < rhs.e;
}//生成边
inline void mkEdge(int a,int b,weight_t w){if ( a > b ) swap(a,b);Edge[ECnt].s = a;Edge[ECnt].e = b;Edge[ECnt++].w = w;
}//Kruskal算法，vn是点的数量，en是边的数量，返回MST的长度
weight_t Kruskal(int vn,int en){init(vn);//并查集初始化sort(Edge,Edge+en);//边排序weight_t ans = 0;for(int i=0;i<en;++i){//该边已存在于MST中if ( find(Edge[i].s) == find(Edge[i].e) )continue;//将该边加入MSTans += Edge[i].w;unite(Edge[i].s,Edge[i].e);--vn;//MST已完全生成if ( 1 == vn ) break;}return ans;
}bool read(){scanf("%d",&N);if ( 0 == N ) return false;ECnt = 0;for(int i=0;i<N*(N-1)/2;++i){int a,b,w;scanf("%d%d%d",&a,&b,&w);mkEdge(a,b,w);}return true;
}int main(){while( read() ){printf("%d\n",Kruskal(N,ECnt));}return 0;
}