求的带权图最小生成树的Prim算法和Kruskal算法

最小生成树的概念

最小生成树其实是最小权重生成树的简称。

一个连通图可能有多个生成树。当图中的边具有权值时，总会有一个生成树的边的权值之和小于或者等于其它生成树的边的权值之和。广义上而言，对于非连通无向图来说，它的每一连通分量同样有最小生成树，它们的并被称为最小生成森林。

以有线电视电缆的架设为例，若只能沿着街道布线，则以街道为边，而路口为顶点，其中必然有一最小生成树能使布线成本最低。

代码实现

LazyPrim

package MinimumSpanTrees;import java.util.Vector;/*** @ Description: LazyPrim算法求最小生成树* @ Date: Created in 08:38 2018/8/2* @ Author: Anthony_Duan*/
public class LazyPrimMST<Weight extends Number & Comparable> {private WeightedGraph<Weight> G;private MinHeap<Edge<Weight>> pq;private boolean[] marked;private Vector<Edge<Weight>> mst;private Number mstWeight;public LazyPrimMST(WeightedGraph<Weight> graph) {//初始化算法G = graph;//开辟一个空间为图的边数的最小堆pq = new MinHeap<Edge<Weight>>(G.E());//开辟一个数组用来标记是否已经访问过marked = new boolean[G.V()];//保存最小生成树的边mst = new Vector<Edge<Weight>>();//首先从0索引开始访问visit(0);//如果堆不为空 也就是堆中仍有边while (!pq.isEmpty()) {//使用最小堆找出已经访问的边中权值最小的边Edge<Weight> e = pq.extractMin();//如果这个边的两个端点都已经访问过了，则这个边不符合条件if (marked[e.v()] == marked[e.w()]) {continue;}//如果有一个端点没有访问就把该边添加到mst中mst.add(e);//继续访问这条边没有被访问的那个节点if (!marked[e.v()]) {visit(e.v());} else {visit(e.w());}}/*** 计算最小生成树的权值* 这里没有  这么写*      mstWeight = 0;*         for (int i = 0; i < mst.size(); i++) {*             mstWeight =mstWeight.doubleValue()+mst.elementAt(i).wt().doubleValue();*         }**  是因为我们的mstWeight这个变量不一定是整型（或者浮点型）。*  而是Weight类型。Weight有可能是用户自定义的类型。*  比如Weight是用户自己定义的大整数类型；高精度浮点数类性；*  或者复数类型；向量；等等。此时，直接赋值为0是不对的，*  需要调用用户自定义的无参数构造函数，得到这个自定义类型的“零”。*/mstWeight = mst.elementAt(0).wt();for (int i = 1; i <mst.size() ; i++) {mstWeight = mstWeight.doubleValue() + mst.elementAt(i).wt().doubleValue();}}/**** @param v*/private void visit(int v) {assert !marked[v];//将节点标记为访问过marked[v] = true;//将和节点v相连接的所有未访问的边放入最小堆中for (Edge<Weight> e :G.adj(v)) {if (!marked[e.other(v)]) {pq.insert(e);}}}Vector<Edge<Weight>> mstEdges() {return mst;}Number result() {return mstWeight;}// 测试 Lazy Primpublic static void main(String[] args) {String filename = "/Users/duanjiaxing/IdeaProjects/Algorithm/src/MinimumSpanTrees/testG1.txt";int V = 8;SparseWeightedGraph<Double> g = new SparseWeightedGraph<Double>(V, false);ReadWeightedGraph readGraph = new ReadWeightedGraph(g, filename);// Test Lazy Prim MSTSystem.out.println("Test Lazy Prim MST:");LazyPrimMST<Double> lazyPrimMST = new LazyPrimMST<Double>(g);Vector<Edge<Double>> mst = lazyPrimMST.mstEdges();for( int i = 0 ; i < mst.size() ; i ++ ) {System.out.println(mst.elementAt(i));}System.out.println("The MST weight is: " + lazyPrimMST.result());System.out.println();}
}

Prim

package MinimumSpanTrees;import java.util.Vector;/*** @ Description:使用优化的Prim算法求图的最小生成树* @ Date: Created in 09:46 2018/8/2* @ Author: Anthony_Duan*/
public class PrimMST<Weight extends Number & Comparable> {//图的引用private WeightedGraph G;//最小索引堆，算法辅助数据结构private IndexMinHeap<Weight> ipq;//访问的点所对应的边，算法辅助数据结构private Edge<Weight>[] edgeTo;//标记数组，在算法运行过程中标记节点i是否被访问private boolean[] marked;//最小生成树所包含的所有边private Vector<Edge<Weight>> mst;//最小生成树的权值private Number mstWeight;//构造函数，使用Prim算法囚徒的最小生成树public PrimMST(WeightedGraph graph) {G = graph;assert (graph.E() >= 1);ipq = new IndexMinHeap<Weight>(graph.V());//算法初始化marked = new boolean[G.V()];edgeTo = new Edge[G.V()];for (int i = 0; i < G.V(); i++) {marked[i] = false;edgeTo[i] = null;}mst = new Vector<Edge<Weight>>();//Primvisit(0);while (!ipq.isEmpty()) {//使用最小索引堆找出已经访问的边中权值最小的边//最小索引堆中存储的是点的索引，通过点的索引找到相应的边int v = ipq.extractMinIndex();assert (edgeTo[v] != null);mst.add(edgeTo[v]);visit(v);}//计算最小生成树的权值mstWeight = mst.elementAt(0).wt();for (int i = 1; i < mst.size(); i++) {mstWeight = mstWeight.doubleValue()+mst.elementAt(i).wt().doubleValue();}}//访问节点vvoid visit(int v) {assert !marked[v];marked[v] = true;//将和节点v相连的未访问的另一端点，和与之相连接的边，放入最小堆中for (Object item : G.adj(v)) {Edge<Weight> e = (Edge<Weight>) item;int w = e.other(v);//如果边的另一端点未被访问if (!marked[w]) {//如果从没有考虑过这个端点，直接将这个端点和与之对应的边加入索引堆if (edgeTo[w] == null) {edgeTo[w] = e;ipq.insert(w, e.wt());}//如果曾经考虑过这个端点，但现在的边比之前考虑的边更短，则进行替换else if (e.wt().compareTo(edgeTo[w].wt()) < 0) {edgeTo[w] = e;ipq.change(w, e.wt());}}}}//返回最小生成树的所有边Vector<Edge<Weight>> mstEdges() {return mst;}//返回最小生成树的权值Number result() {return mstWeight;}// 测试 Primpublic static void main(String[] args) {String filename = "/Users/duanjiaxing/IdeaProjects/Algorithm/src/MinimumSpanTrees/testG1.txt";int V = 8;SparseWeightedGraph<Double> g = new SparseWeightedGraph<Double>(V, false);ReadWeightedGraph readGraph = new ReadWeightedGraph(g, filename);// Test Prim MSTSystem.out.println("Test Prim MST:");PrimMST<Double> primMST = new PrimMST<Double>(g);Vector<Edge<Double>> mst = primMST.mstEdges();for( int i = 0 ; i < mst.size() ; i ++ ) {System.out.println(mst.elementAt(i));}System.out.println("The MST weight is: " + primMST.result());System.out.println();}
}

KruskalMST

package MinimumSpanTrees;import java.util.Vector;/*** @ Description:Kruskal方法求最小生成树* @ Date: Created in 11:04 2018/8/2* @ Author: Anthony_Duan*/
public class KruskalMST <Weight extends Number & Comparable>{//最小生成树所包含的所有的边private Vector<Edge<Weight>> mst;//最小生成树的权值private Number mstWeight;//构造函数，使用Kruskal算法graph的最小生成树public KruskalMST(WeightedGraph graph) {mst = new Vector<Edge<Weight>>();//将图中的所有边存放到一个最小堆中MinHeap<Edge<Weight>> pq = new MinHeap<Edge<Weight>>(graph.E());for (int i = 0; i < graph.V(); i++) {for (Object item :graph.adj(i)) {Edge<Weight> e = (Edge<Weight>) item;if (e.v() <= e.w()) {pq.insert(e);}}}//创建一个并查集，来查看已经访问的节点的联通情况UnionFind uf = new UnionFind(graph.V());while (!pq.isEmpty() && mst.size() < graph.V() - 1) {//从最小堆中一次从小到大取出所有的边Edge<Weight> e = pq.extractMin();//如果该边的两个端点是连通的，说明加入该边将产生环，所以扔掉这条边if (uf.isConnected(e.v(), e.w())) {continue;}//否则，将这条边添加到最小生成树，同时标记边的两个端点连通mst.add(e);uf.unionElements(e.v(), e.w());}//计算最小生成树的权值mstWeight = mst.elementAt(0).wt();for (int i = 1; i <mst.size() ; i++) {mstWeight = mstWeight.doubleValue()+mst.elementAt(i).wt().doubleValue();}}// 返回最小生成树的所有边Vector<Edge<Weight>> mstEdges(){return mst;}// 返回最小生成树的权值Number result(){return mstWeight;}// 测试 Kruskalpublic static void main(String[] args) {String filename = "/Users/duanjiaxing/IdeaProjects/Algorithm/src/MinimumSpanTrees/testG1.txt";int V = 8;SparseWeightedGraph<Double> g = new SparseWeightedGraph<Double>(V, false);ReadWeightedGraph readGraph = new ReadWeightedGraph(g, filename);// Test KruskalSystem.out.println("Test Kruskal:");KruskalMST<Double> kruskalMST = new KruskalMST<Double>(g);Vector<Edge<Double>> mst = kruskalMST.mstEdges();for( int i = 0 ; i < mst.size() ; i ++ ) {System.out.println(mst.elementAt(i));}System.out.println("The MST weight is: " + kruskalMST.result());System.out.println();}
}

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最小生成树的概念

相关性质

存在个数

边的权值之和最低的子图

环定理

切分定理

最小权值边

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Prim算法

Kruskal算法

代码实现

LazyPrim

Prim

KruskalMST

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