最小生成树之Prim算法和Kruskal算法

一个连通图可能有多棵生成树，而最小生成树是一副连通加权无向图中一颗权值最小的生成树，它可以根据Prim算法和Kruskal算法得出，这两个算法分别从点和边的角度来解决。

Prim算法

输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
初始化：Vn = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {}；
重复下列操作，直到Vn = V：（在集合E中选取权值最小的边（u, v），其中u为集合Vn中的元素，而v则是V中没有加入Vn的顶点（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
将v加入集合Vn中，将（u, v）加入集合En中；）
输出：使用集合Vn和En来描述所得到的最小生成树。

以下面这张图作为例子，表格中的Vertex、Kown、Cost、Path分别表示顶点信息、是否访问过，权值，到达路径；

我们随机的选择顶点0作为起点，其执行步骤为：

步骤	选中结点
顶点0作为起始点	0
根据(6, 7, 8)的方案选中6	1
根据顶点1能够到达的权值(7, 4, 3)和顶点0能够到达的权值(7, 8)中选择3	5
根据顶点5能够到达的权值(8)和根据顶点1能够到达的权值(7, 4)和顶点0能够到达的权值(7, 8)中选择4	6
根据顶点6能够到达的权值(6, 7)和顶点0能够到达的权值(7)中选择6	2
根据顶点0能够到达的权值(7)和顶点6能够到达的权值(7)中选择7	4
根据顶点6能够到达的权值(7)选择7	7
根据顶点7能够到达的权值(2)选择2	3
全部结点都访问过，退出

最终得到下面的结果，其中Path中的-1表示其作为起始点；

Prim算法实现

根据前面的那幅图来实现，如下：

class MST(object):def __init__(self, graph):self.graph = graphself.N = len(self.graph)passdef prim(self, start):index = startcost, path = [0] * self.N, [0] * self.N# 初始化起点known = [x for x in map(lambda x: True if x == start else False, [x for x in range(self.N)])]path[start] = -1for i in range(self.N):cost[i] = self.graph[start][i]# 遍历其余各个结点for i in range(1, self.N):mi = 1e9# 找出相对最小权重的结点for j in range(self.N):if not known[j] and mi > cost[j]:mi, index = cost[j], j# 计算路径值for j in range(self.N):if self.graph[j][index] == mi:path[index] = jknown[index] = True# 更新index连通其它结点的权重for j in range(self.N):if not known[j] and cost[j] > self.graph[index][j]:cost[j] = self.graph[index][j]print(path)
# 图用临接矩阵表示
MST([[1e9, 6, 8, 1e9, 7, 1e9, 1e9, 1e9],[6, 1e9, 7, 1e9, 1e9, 3, 4, 1e9],[8, 7, 1e9, 1e9, 1e9, 1e9, 6, 1e9],[1e9, 1e9, 1e9, 1e9, 1e9, 1e9, 1e9, 2],[7, 1e9, 1e9, 1e9, 1e9, 1e9, 1e9, 1e9],[1e9, 3, 1e9, 1e9, 1e9, 1e9, 1e9, 9],[1e9, 4, 6, 1e9, 1e9, 1e9, 1e9, 7],[1e9, 1e9, 1e9, 2, 1e9, 9, 7, 1e9],
]).prim(0)

path结果为：[-1, 0, 6, 7, 0, 1, 1, 6]

Kruskal算法

构造一个只含n个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树的根节点，则它是一个含有n棵树的森林。之后，从图的边集中选取一条权值最小的边，若该边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，也就是这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树；反之，若该边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直至森林只有一棵树。kruskal算法能够在并查集的基础很快的实现。

以下面这张图作为例子，其中左边的表格是一个并查集，表示可以连通的结点。我们首先要根据权值对每条边进行排序，接着开始处理每一条边的情况。

最终得到下面的结果图：

Kruskal算法实现

因为我们要处理边，所以需要建立边的数据结构，并且要从给定的图中获取每一条边的数据。

class Edge(object):def __init__(self, start, end, weight):self.start = startself.end = endself.weight = weightdef getEdges(self):edges = []for i in range(self.vertex):for j in range(i+1, self.vertex):if self.graph[i][j] != 1e9:edge = Edge(i, j, self.graph[i][j])edges.append(edge)return edges

接下来就是kruskal函数：

def kruskal(self):union = dict.fromkeys([i for i in range(self.vertex)], -1)  # 辅助数组，判断两个结点是否连通self.edges = self.getEdges()self.edges.sort(key=lambda x: x.weight)res = []def getend(start):while union[start] >= 0:start = union[start]return startfor edge in self.edges:# 找到连通线路的最后一个结点n1 = getend(edge.start)n2 = getend(edge.end)# 如果为共同的终点则不处理if n1 != n2:print('{}----->{}'.format(n1, n2))(n1, n2) = (n2, n1) if union[n1] < union[n2] else (n1, n2)union[n2] += union[n1]union[n1] = n2res.append(edge)print(union.values())

其中union打印出来的结果和图中是一致的，为[3, 3, 5, 6, 6, 6, -8, 3]。