python机器学习案例系列教程——CTR/CVR中的FM、FFM算法

全栈工程师开发手册（作者：栾鹏）
python教程全解

FM问题来源

CTR/CVR预测时，用户的性别、职业、教育水平、品类偏好，商品的品类等，经过One-Hot编码转换后都会导致样本数据的稀疏性。特别是商品品类这种类型的特征，如商品的末级品类约有550个，采用One-Hot编码生成550个数值特征，但每个样本的这550个特征，有且仅有一个是有效的（非零）。由此可见，数据稀疏性是实际问题中不可避免的挑战。

One-Hot编码的另一个特点就是导致特征空间大。例如，商品品类有550维特征，一个categorical特征转换为550维数值特征，特征空间剧增。

同时通过观察大量的样本数据可以发现，某些特征经过关联之后，与label之间的相关性就会提高。例如，“USA”与“Thanksgiving”、“China”与“Chinese New Year”这样的关联特征，对用户的点击有着正向的影响。换句话说，来自“China”的用户很可能会在“Chinese New Year”有大量的浏览、购买行为，而在“Thanksgiving”却不会有特别的消费行为。这种关联特征与label的正向相关性在实际问题中是普遍存在的，如“化妆品”类商品与“女”性，“球类运动配件”的商品与“男”性，“电影票”的商品与“电影”品类偏好等。因此，引入两个特征的组合是非常有意义的。

FM基本原理

多项式模型是包含特征组合的最直观的模型。在多项式模型中，特征 xix_ixi 和 xjx_jxj 的组合采用 xixjx_ix_jxixj表示，即 xix_ixi 和 xjx_jxj 都非零时，组合特征 xixjx_ix_jxixj 才有意义。从对比的角度，本文只讨论二阶多项式模型。模型的表达式如下

y(x)=w0+∑i=1nwixi+∑i=1n∑j=i+1nwijxixj(1)y(x) = w_0+ \sum_{i=1}^n w_i x_i + \sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n w_{ij} x_i x_j \tag{1}y(x)=w0+i=1∑nwixi+i=1∑nj=i+1∑nwijxixj(1)

其中，nnn 代表样本的特征数量，xix_ixi 是第 iii 个特征的值，w0w_0w0、wiw_iwi、wijw_{ij}wij是模型参数。

从公式(1)可以看出，组合特征的参数一共有 n(n−1)2\frac{n(n−1)}{2}2n(n−1)个，任意两个参数都是独立的。然而，在数据稀疏性普遍存在的实际应用场景中，二次项参数的训练是很困难的。其原因是，每个参数 wijw_{ij}wij的训练需要大量 xix_ixi 和 xjx_jxj 都非零的样本；由于样本数据本来就比较稀疏，满足“xix_ixi 和 xjx_jxj 都非零”的样本将会非常少。训练样本的不足，很容易导致参数 wijw_{ij}wij 不准确，最终将严重影响模型的性能。

系数矩阵分解

那么，如何解决二次项参数的训练问题呢？矩阵分解提供了一种解决思路。与在model-based的协同过滤中，一个rating矩阵可以分解为user矩阵和item矩阵。

对于对称矩阵W，
W=(ω11ω12...ω1nω21ω22...ω2n⋮⋮⋱⋮ωn1ωn2...ωnn)n×nW= \begin{pmatrix} \omega_{11} & \omega_{12}& ... &\omega_{1n} \\ \omega_{21} & \omega_{22}& ... &\omega_{2n} \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ \omega_{n1} & \omega_{n2}& ... &\omega_{nn} \\ \end{pmatrix}_{n\times n}W=⎝⎜⎜⎜⎛ω11ω21⋮ωn1ω12ω22⋮ωn2......⋱...ω1nω2n⋮ωnn⎠⎟⎟⎟⎞n×n

由于直接求解W不方便，因此我们引入隐变量V：
V=(v11v12...v1kv21v22...v2k⋮⋮⋱⋮vn1vn2...vnk)n×k=(V1TV2T⋯VnT)V= \begin{pmatrix} v_{11} & v_{12}& ... &v_{1k} \\ v_{21} & v_{22}& ... &v_{2k} \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ v_{n1} & v_{n2}& ... &v_{nk} \\ \end{pmatrix}_{n\times k}=\begin{pmatrix} V_1^T\\ V_2^T\\ \cdots \\ V_n^T\\ \end{pmatrix}V=⎝⎜⎜⎜⎛v11v21⋮vn1v12v22⋮vn2......⋱...v1kv2k⋮vnk⎠⎟⎟⎟⎞n×k=⎝⎜⎜⎛V1TV2T⋯VnT⎠⎟⎟⎞

满足
VVT=WVV^T = WVVT=W

VVV 的第$ j列列列v_j便是第便是第便是第 j $维特征的隐向量。换句话说，每个参数 wij=⟨vi,vj⟩w_{ij}=⟨v_i,v_j⟩wij=⟨vi,vj⟩，这就是FM模型的核心思想。因此，FM的模型方程为（本文不讨论FM的高阶形式）

y(x)=w0+∑i=1nwixi+∑i=1n∑j=i+1n<vi,vj>xixj(2)y(x) = w_0+ \sum_{i=1}^n w_i x_i + \sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n<v_i, v_j >x_i x_j \tag{2}y(x)=w0+i=1∑nwixi+i=1∑nj=i+1∑n<vi,vj>xixj(2)

参数个数

$ v_i $是第 $ i $ 维特征的隐向量，$ <·,·> $ 代表向量点积。隐向量的长度为 $ k （ k << n $），包含 $ k $ 个描述特征的因子。根据公式2，二次项的参数数量减少为 $ kn $个，远少于多项式模型的参数数量。另外，参数因子化使得 $ x_h x_i $ 的参数和 $ x_i x_j $ 的参数不再是相互独立的，因此我们可以在样本稀疏的情况下相对合理地估计FM的二次项参数。具体来说，$ x_h x_i $ 和 $ x_i x_j $ 的系数分别为 $ <v_h,v_i> $ 和 $ <v_i, v_j>$，它们之间有共同项 $ v_i 。也就是说，所有包含“。也就是说，所有包含“。也就是说，所有包含“ x_i $ 的非零组合特征”（存在某个 $ j\neq i $，使得 $ x_i x_j \neq 0 $）的样本都可以用来学习隐向量 $ v_i ，这很大程度上避免了数据稀疏性造成的影响。而在多项式模型中，，这很大程度上避免了数据稀疏性造成的影响。而在多项式模型中，，这很大程度上避免了数据稀疏性造成的影响。而在多项式模型中， w_{hi} $ 和 $ w_{ij} $ 是相互独立的。

预测时间复杂度

显而易见，公式(2)是一个通用的拟合方程，可以采用不同的损失函数用于解决回归、二元分类等问题，比如可以采用MSE（Mean Square Error）损失函数来求解回归问题，也可以采用Hinge/Cross-Entropy损失来求解分类问题。当然，在进行二元分类时，FM的输出需要经过sigmoid变换，这与Logistic回归是一样的。

当我们已经求出所有参数以后，对新输入对象进行预测时，FM的计算复杂度是 O(kn2)O(kn^2)O(kn2)。但是，通过公式(3)的等式，FM的二次项可以化简，其复杂度可以优化到 O(kn)O(kn)O(kn)。由此可见，FM可以在线性时间对新样本作出预测。

∑i=1n∑j=i+1n⟨vi,vj⟩xixj=12∑f=1k((∑i=1nvi,fxi)2−∑i=1nvi,f2xi2)(3)\sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n \langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j \rangle x_i x_j = \frac{1}{2} \sum_{f=1}^k \left(\left( \sum_{i=1}^n v_{i, f} x_i \right)^2 - \sum_{i=1}^n v_{i, f}^2 x_i^2 \right) \tag{3}i=1∑nj=i+1∑n⟨vi,vj⟩xixj=21f=1∑k⎝⎛(i=1∑nvi,fxi)2−i=1∑nvi,f2xi2⎠⎞(3)

梯度下降法

利用SGD（Stochastic Gradient Descent）训练模型。模型各个参数的梯度如下

∂∂θy(x)={1,ifθisw0xi,ifθiswixi∑j=1nvj,fxj−vi,fxi2,ifθisvi,f\frac{\partial}{\partial\theta} y (\mathbf{x}) = \left\{\begin{array}{ll} 1, & \text{if}\; \theta\; \text{is}\; w_0 \\ x_i, & \text{if}\; \theta\; \text{is}\; w_i \\ x_i \sum_{j=1}^n v_{j, f} x_j - v_{i, f} x_i^2, & \text{if}\; \theta\; \text{is}\; v_{i, f} \end{array}\right.∂θ∂y(x)=⎩⎨⎧1,xi,xi∑j=1nvj,fxj−vi,fxi2,ifθisw0ifθiswiifθisvi,f

其中，$ v_{j, f} $ 是隐向量 $ v_j $ 的第 $ f $ 个元素。由于 $ \sum_{j=1}^n v_{j, f} x_j $ 只与 $ f $ 有关，而与 $ i $ 无关，在每次迭代过程中，只需计算一次所有 $ f $ 的 $ \sum_{j=1}^n v_{j, f} x_j $，就能够方便地得到所有 $ v_{i, f} $ 的梯度。显然，计算所有 $ f $ 的 $ \sum_{j=1}^n v_{j, f} x_j $ 的复杂度是 $ O(kn) $；已知 $ \sum_{j=1}^n v_{j, f} x_j $ 时，计算每个参数梯度的复杂度是 $ O(1) $；得到梯度后，更新每个参数的复杂度是 $ O(1) $；模型参数一共有 $ nk + n + 1 $ 个。因此，FM参数训练的复杂度也是 $ O(kn) $。综上可知，FM可以在线性时间训练和预测，是一种非常高效的模型。

FFM原理

背景及基本原理

在FM模型中，每一个特征会对应一个隐变量，但在FFM模型中，认为应该将特征分为多个field，每个特征对应每个field分别有一个隐变量。

举个例子，我们的样本有3种类型的字段：publisher, advertiser, gender，分别可以代表媒体，广告主或者是具体的商品，性别。其中publisher有5种数据，advertiser有10种数据，gender有男女2种，经过one-hot编码以后，每个样本有17个特征，其中只有3个特征非空。简单来说，同一个categorical特征经过One-Hot编码生成的数值特征都可以放到同一个field。

如果使用FM模型，则17个特征，每个特征对应一个隐变量。
如果使用FFM模型，则17个特征，每个特征对应3个隐变量，即每个类型对应一个隐变量，具体而言，就是对应publisher, advertiser, gender三个field各有一个隐变量。

在FFM中，每一维特征 xix_ixi，针对其它特征的每一种field fjf_jfj（其中 fjf_jfj表示第j维特征所属的field），都会学习一个隐向量 vi,fjv_{i,f_j}vi,fj。因此，隐向量不仅与特征相关，也与field相关。也就是说，“Day=26/11/15”这个特征与“国家”特征和“广告类型"特征进行关联的时候使用不同的隐向量，这与“国家”和“广告类型”的内在差异相符。

假设样本的 nnn 个特征属于 fff 个field，那么FFM的二次项有 nfnfnf个隐向量。而在FM模型中，每一维特征的隐向量只有一个。FM可以看作FFM的特例，是把所有特征都归属到一个field时的FFM模型。根据FFM的field敏感特性，可以导出其模型方程。

y(x)=w0+∑i=1nwixi+∑i=1n∑j=i+1n<vi,fj,vj,fi>xixj(4)y(x) = w_0 + \sum_{i=1}^n w_i x_i + \sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n < v_{i, f_j}, v_{j, f_i} > x_i x_j \tag{4}y(x)=w0+i=1∑nwixi+i=1∑nj=i+1∑n<vi,fj,vj,fi>xixj(4)

其中，fjf_jfj 是第 jjj 个特征所属的field。如果隐向量的长度为 kkk，那么FFM的二次参数有 nfknfknfk 个，远多于FM模型的 nknknk 个。此外，由于隐向量与field相关，FFM二次项并不能够化简，其预测复杂度是 O(kn2)O(kn^2)O(kn2)。

下面以一个例子简单说明FFM的特征组合方式[9]。输入记录如下

用户	电影	电影类型	价格
user1	三傻	喜剧, 戏剧	$9.99

这条记录可以编码成5个特征，其中“电影类型=喜剧”和“电影类型=戏剧”属于同一个field，“Price”是数值型，不用One-Hot编码转换。为了方便说明FFM的样本格式，我们将所有的特征和对应的field映射成整数编号。

field name	Field index	Feature name	Feature index
User	1	User=YuChin	1
Movie	2	Movie=3Idiots	2
Genre	3	Genre=Comedy	3
		Genre=Drama	4
Price	4	Price	5

那么，FFM的组合特征有10项，如下图所示。
KaTeX parse error: No such environment: align* at position 7: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲\begin{array}{r…

二次项的系数是通过与特征field相关的隐向量点积得到的，二次项共有 n(n−1)2\frac{n(n−1)}{2}2n(n−1) 个。

事实上，在大多数情况下，FFM模型只保留了二次项部分，省略常数项和一次项，即：

ϕ(V,x)=∑i=1n∑j=i+1n<vi,fj,vj,fi>xixj=∑i=1n∑j=i+1n(vi,fjTvj,fi)xixj\phi(V,x) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n < v_{i, f_j}, v_{j, f_i} > x_i x_j =\sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n (v^T_{i, f_j}v_{j, f_i} ) x_i x_j ϕ(V,x)=i=1∑nj=i+1∑n<vi,fj,vj,fi>xixj=i=1∑nj=i+1∑n(vi,fjTvj,fi)xixj

最优化问题

FFM模型采用logistic loss作为损失函数，和L2惩罚项，因此只能用于二元分类问题。根据逻辑回归的损失函数及分析，可以得出FFM的最优化问题为：

min⁡v∑i=1Llog⁡(1+exp⁡{−yiϕ(v,xi)})+λ2∥v∥2\min_{\mathbf{v}} \sum_{i=1}^L \log \big( 1 + \exp\{ -y_i \phi (\mathbf{v}, \mathbf{x}_i ) \} \big) + \frac{\lambda}{2} \| \mathbf{v} \|^2vmini=1∑Llog(1+exp{−yiϕ(v,xi)})+2λ∥v∥2

中，yi∈{−1,1}y_i∈\{−1,1\}yi∈{−1,1} 是第 iii 个样本的label，LLL 是训练样本数量，λλλ是惩罚项系数。模型采用SGD优化

FFM代码实现

符号约定：
nnn:特征的维数

mmm:域的个数

kkk:隐向量的维度

jjj:在特征中的下标

fff:在域中的下标

ddd:在隐向量中的下标

lll:样本的总数

粗体字母表示向量或矩阵

特征组合

最基本的线性加权

ϕLM(w,x)=∑i=1nwixi\phi_{LM}(\textbf{w},\textbf{x})=\sum_{i=1}^n{w_ix_i}ϕLM(w,x)=i=1∑nwixi

任意特征两两组合

ϕpoly2(w,x)=∑j1=1n∑j2=j1+1nwj1,j2xj1xj2\phi_{poly2}(\textbf{w},\textbf{x})=\sum_{j1=1}^n{\sum_{j2=j1+1}^n{w_{j1,j2}x_{j1}x_{j2}}}ϕpoly2(w,x)=j1=1∑nj2=j1+1∑nwj1,j2xj1xj2

www是一个对称方阵，即wj1,j2=wj2,j1w_{j1,j2}=w_{j2,j1}wj1,j2=wj2,j1，可以用矩阵分解法来拟合www。

wj1,j2=vj1⋅vj2=vj2⋅vj1=wj2,j1w_{j1,j2}=\textbf{v}_{j1}\cdot\textbf{v}_{j2}=\textbf{v}_{j2}\cdot\textbf{v}_{j1}=w_{j2,j1}wj1,j2=vj1⋅vj2=vj2⋅vj1=wj2,j1

矩阵www的规模是n×nn×nn×n，矩阵vvv的规模是n×kn×kn×k，k≪nk≪nk≪n。实际上我们已经推导出了因子分解法。

因子分解法FM
ϕFM(w,x)=∑j1=1n∑j2=j1+1nwj1⋅wj2xj1xj2\phi_{FM}(\textbf{w},\textbf{x})=\sum_{j1=1}^n{\sum_{j2=j1+1}^n{\textbf{w}_{j1}\cdot \textbf{w}_{j2}x_{j1}x_{j2}}}ϕFM(w,x)=j1=1∑nj2=j1+1∑nwj1⋅wj2xj1xj2

这里的wjw_jwj相当于上面的vjv_jvj。

域感知的因子分解法FFM

ϕFFM(w,x)=∑j1=1n∑j2=j1+1nwj1,f2⋅wj2,f1xj1xj2\phi_{FFM}(\textbf{w},\textbf{x})=\sum_{j1=1}^n{\sum_{j2=j1+1}^n{\textbf{w}_{j1,f2}\cdot \textbf{w}_{j2,f1}x_{j1}x_{j2}}}ϕFFM(w,x)=j1=1∑nj2=j1+1∑nwj1,f2⋅wj2,f1xj1xj2

在FM中w是规模为n×kFMn×k_{FM}n×kFM的二维矩阵，而在FFM中www是规模为n×m×kFFMn×m×k_{FFM}n×m×kFFM的三维矩阵，kFFM≪kFMk_{FFM}≪k_{FM}kFFM≪kFM。

逻辑回归二分类

决策函数

y^=11+exp(−ϕFFM(w,x))\hat{y}=\frac{1}{1+exp(-\phi_{FFM}(\textbf{w},\textbf{x}))}y^=1+exp(−ϕFFM(w,x))1

带L2正则的目标函数

min⁡wλ2∥w∥22+∑i=1llog(1+exp(−yiϕFFM(w,xi)))\min_{\textbf{w}}\;\;\frac{\lambda}{2}\parallel w\parallel_2^2+\sum_{i=1}^llog(1+exp(-y_i\phi_{FFM}(\textbf{w},\textbf{x}_i)))wmin2λ∥w∥22+i=1∑llog(1+exp(−yiϕFFM(w,xi)))

其中yi∈{−1,1}y_i∈\{−1,1\}yi∈{−1,1}，注意，虽然在预测结果出来的是0-1之间数，但是训练时的y值取-1或1，所以当训练结束后，及测试集上测试，评估模型时，要将测试集的y值转换为0-1。

在SGD中每次只需要考虑一个样本的损失，此时目标函数为

min⁡wλ2∥w∥22+log(1+exp(−yϕFFM(w,x)))\min_{\textbf{w}}\;\;\frac{\lambda}{2}\parallel w\parallel_2^2+log(1+exp(-y\phi_{FFM}(\textbf{w},\textbf{x})))wmin2λ∥w∥22+log(1+exp(−yϕFFM(w,x)))

梯度

gj1,f2=λ⋅wj1,f2+κ⋅wj2,f1xj1xj2\textbf{g}_{j1,f2}=\lambda\cdot\textbf{w}_{j1,f2}+\kappa\cdot\textbf{w}_{j2,f1}x_{j1}x_{j2}gj1,f2=λ⋅wj1,f2+κ⋅wj2,f1xj1xj2

gj2,f1=λ⋅wj2,f1+κ⋅wj1,f2xj1xj2\textbf{g}_{j2,f1}=\lambda\cdot\textbf{w}_{j2,f1}+\kappa\cdot\textbf{w}_{j1,f2}x_{j1}x_{j2}gj2,f1=λ⋅wj2,f1+κ⋅wj1,f2xj1xj2

梯度之所会这么简单，依赖一个很重要的前提：同一个域下的各个特征只有一个是非0值。

其中

κ=∂log(1+exp(−yϕFFM(w,x)))∂ϕFFM(w,x)=−y1+exp(yϕFFM(w,x))\kappa=\frac{\partial log(1+exp(-y\phi_{FFM}(\textbf{w},\textbf{x})))}{\partial\phi_{FFM}(\textbf{w},\textbf{x})}=\frac{-y}{1+exp(y\phi_{FFM}(\textbf{w},\textbf{x}))}κ=∂ϕFFM(w,x)∂log(1+exp(−yϕFFM(w,x)))=1+exp(yϕFFM(w,x))−y

AdaGrad更新w

(Gj1,f2)d←(Gj1,f2)d+(gj1,f2)d2(G_{j1,f2})_d\gets(G_{j1,f2})_d+(g_{j1,f2})_d^2(Gj1,f2)d←(Gj1,f2)d+(gj1,f2)d2
(Gj2,f1)d←(Gj2,f1)d+(gj2,f1)d2(G_{j2,f1})_d\gets(G_{j2,f1})_d+(g_{j2,f1})_d^2(Gj2,f1)d←(Gj2,f1)d+(gj2,f1)d2
(wj1,f2)d←(wj1,f2)d−η(Gj1,f2)d(gj1,f2)d(w_{j1,f2})_d\gets(w_{j1,f2})_d-\frac{\eta}{\sqrt{(G_{j1,f2})_d}}(g_{j1,f2})_d(wj1,f2)d←(wj1,f2)d−(Gj1,f2)dη(gj1,f2)d
(wj2,f1)d←(wj2,f1)d−η(Gj2,f1)d(gj2,f1)d(w_{j2,f1})_d\gets(w_{j2,f1})_d-\frac{\eta}{\sqrt{(G_{j2,f1})_d}}(g_{j2,f1})_d(wj2,f1)d←(wj2,f1)d−(Gj2,f1)dη(gj2,f1)d

初始化Gd=1G_d=1Gd=1，这样在计算ηGd\frac{\eta}{\sqrt{G_d}}Gdη时既可以防止分母为0，又可以避免该项太大或太小。

ηηη是学习率，通常可取0.01。

初始的www可以从均匀分布中抽样w∼U(0,1k)\textbf{w}\sim U(0,\frac{1}{\sqrt{k}})w∼U(0,k1)
实现发现将每个xxx归一化，即模长为1，在测试集得到的准确率会稍微好一点且对参数不太敏感。

FM代码示例

这里我们使用pyfm库。

FM和FFM的优势在于处理标称属性数据集再one-hot编码特征时形成的稀疏特征矩阵。所以pyfm库处理的矩阵，必须为稀疏矩阵。

import numpy as np
from sklearn.feature_extraction import DictVectorizer
from sklearn.model_selection import train_test_split
import pylibfm
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.datasets import make_classification
import  scipy.sparse
from sklearn.metrics import log_lossX, y = make_classification(n_samples=1000,n_features=100, n_clusters_per_class=1)  # 1000个样本，100个特征，默认2分类# 直接转化为稀疏矩阵，对有标称属性的数据集不能处理。
# X = scipy.sparse.csr_matrix(X)
# X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.1, random_state=42)# 由于大部分情况下，数据特征都是标称属性，所以需要先转化为字典，再转化稀疏矩阵。（转化为系数矩阵的过程中标称数据自动one-hot编码，数值属性保留）
data = [ {v: k for k, v in dict(zip(i, range(len(i)))).items()}  for i in X]  # 对每个样本转化为一个字典，key为特征索引（0-99），value为特征取值
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(data, y, test_size=0.1, random_state=42)v = DictVectorizer()
X_train = v.fit_transform(X_train)  # 转化为稀疏矩阵的形式，fm算法只能是被这种格式
X_test = v.transform(X_test)  # 转化为稀疏矩阵的形式，fm算法只能是被这种格式
# print(X_train.toarray())   # 打印二维矩阵形式# 建模、训练、预测、评估
fm = pylibfm.FM(num_factors=50, num_iter=10, verbose=True, task="classification", initial_learning_rate=0.0001, learning_rate_schedule="optimal")
fm.fit(X_train,y_train)
y_pred_pro = fm.predict(X_test)  # 预测正样本概率
print("fm算法 验证集log损失: %.4f" % log_loss(y_test,y_pred_pro))lr = LogisticRegression(verbose=True)
lr.fit(X_train,y_train)
y_pred_pro = lr.predict(X_test)  # 预测正样本概率
print("逻辑回归 验证集log损失: %.4f" % log_loss(y_test,y_pred_pro))
#

输出结果中
fm算法验证集log损失: 1.8714
[LibLinear]逻辑回归验证集log损失: 7.2532

FFM代码实例

import numpy as npnp.random.seed(0)
import math
from logistic import Logistic# 该类表示一个样本的一个特征
class FFM_Node(object):'''通常x是高维稀疏向量，所以用链表来表示一个x，链表上的每个节点是个3元组(j,f,v)，表示一个样本x的一个非0特征'''__slots__ = ['j', 'f', 'v']  # 按元组（而不是字典）的方式来存储类的成员属性def __init__(self, j, f, v):''':param j: Feature index (0 to n-1):param f: Field index (0 to m-1):param v: value'''self.j = jself.f = fself.v = vclass FFM(object):def __init__(self, m, n, k, eta, lambd):# m 域个数，n特征个数，k隐变量维度，eta学习速率，lambd正则系数self.m = mself.n = nself.k = k# 超参数self.eta = etaself.lambd = lambd# 初始化三维权重矩阵w~U(0,1/sqrt(k))self.w = np.random.rand(n, m, k) / math.sqrt(k)# 初始化累积梯度平方和为，AdaGrad时要用到，防止除0异常self.G = np.ones(shape=(n, m, k), dtype=np.float64)self.log = Logistic()# 特征组合式的线性加权求和def phi(self, node_list):#  node_list: 一个样本，用链表存储x中的非0值z = 0.0for a in range(len(node_list)):node1 = node_list[a]j1 = node1.jf1 = node1.fv1 = node1.vfor b in range(a + 1, len(node_list)):node2 = node_list[b]j2 = node2.jf2 = node2.fv2 = node2.vw1 = self.w[j1, f2]w2 = self.w[j2, f1]z += np.dot(w1, w2) * v1 * v2  # 域感知的因子分解法FFMreturn z# 输入x，预测y的值def predict(self, node_list):# node_list: 用链表存储x中的非0值z = self.phi(node_list)y = self.log.decide_by_tanh(z)return y# 根据一个样本来更新模型参数def sgd(self, node_list, y):# node_list: 用链表存储x中的非0值。 y: 正样本1，负样本-1kappa = -y / (1 + math.exp(y * self.phi(node_list)))for a in range(len(node_list)):node1 = node_list[a]j1 = node1.jf1 = node1.fv1 = node1.vfor b in range(a + 1, len(node_list)):node2 = node_list[b]j2 = node2.jf2 = node2.fv2 = node2.vc = kappa * v1 * v2# self.w[j1,f2]和self.w[j2,f1]是向量，导致g_j1_f2和g_j2_f1也是向量g_j1_f2 = self.lambd * self.w[j1, f2] + c * self.w[j2, f1]g_j2_f1 = self.lambd * self.w[j2, f1] + c * self.w[j1, f2]# 计算各个维度上的梯度累积平方和self.G[j1, f2] += g_j1_f2 ** 2  # 所有G肯定是大于0的正数，因为初始化时G都为1self.G[j2, f1] += g_j2_f1 ** 2# AdaGradself.w[j1, f2] -= self.eta / np.sqrt(self.G[j1, f2]) * g_j1_f2  # sqrt(G)作为分母，所以G必须是大于0的正数self.w[j2, f1] -= self.eta / np.sqrt(self.G[j2, f1]) * g_j2_f1  # math.sqrt()只能接收一个数字作为参数，而numpy.sqrt()可以接收一个array作为参数，表示对array中的每个元素分别开方# 根据一堆样本训练模型def train(self, sample_generator, max_echo, max_r2):''':param sample_generator: 样本生成器，每次yield (node_list, y)，node_list中存储的是x的非0值。通常x要事先做好归一化，即模长为1，这样精度会略微高一点:param max_echo: 最大迭代次数:param max_r2: 拟合系数r2达到阈值时即可终止学习:return:'''for itr in range(max_echo):print("echo", itr)y_sum = 0.0y_square_sum = 0.0err_square_sum = 0.0  # 误差平方和population = 0  # 样本总数for node_list, y in sample_generator:self.sgd(node_list, y)y = 0.0 if y == -1 else y  # 真实的y取值为{-1,1}，而预测的y位于(0,1)，计算拟合效果时需要进行统一y_hat = self.predict(node_list)y_sum += yy_square_sum += y ** 2err_square_sum += (y - y_hat) ** 2population += 1var_y = y_square_sum - y_sum * y_sum / population  # y的方差r2 = 1 - err_square_sum / var_yprint("r2=",r2)if r2 > max_r2:  # r2值越大说明拟合得越好print('r2 have reach', r2)break# 序列化模型，保存到文件def save_model(self, outfile):np.save(outfile, self.w)# 从文件中加载模型def load_model(self, infile):self.w = np.load(infile)

FM、FFM应用

库的安装教程https://blog.csdn.net/luanpeng825485697/article/details/77816740

pyfm库下载地址，在网址中搜索pyfm：https://www.lfd.uci.edu/~gohlke/pythonlibs/#pyfm

fastfm下载地址：https://github.com/ibayer/fastFM

ffm库的下载地址：https://github.com/alexeygrigorev/libffm-python

参考：https://blog.csdn.net/jediael_lu/article/details/77772565
https://tech.meituan.com/deep-understanding-of-ffm-principles-and-practices.html

https://www.cnblogs.com/zhangchaoyang/articles/8410719.html