石子合并(动态规划DP)
时限:
1000ms 内存限制:10000K 总时限:3000ms
描述:
在一个圆形操场的四周摆放着n堆石子(n<= 100),现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选取相邻的两堆合并成新的一堆,并将新的一堆的石子数,记为该次合并的得分。
编一程序,读入石子堆数n及每堆的石子数(<=20)。选择一种合并石子的方案,使得做n-1次合并,得分的总和最小;
比如有4堆石子:4 4 5 9 则最佳合并方案如下:
4 4 5 9 score: 0
8 5 9 score: 8
13 9 score: 8 + 13 = 21
22 score: 8 + 13 + 22 = 43
输入:
可能有多组测试数据。 当输入n=0时结束! 第一行为石子堆数n(1<=n<=100);第二行为n堆的石子每堆的石子数,每两个数之间用一个空格分隔。
输出:
合并的最小得分,每个结果一行。
输入样例:
4 4 4 5 9
6 3 4 6 5 4 2
0
输出样例:
43
61
分析最优解的结构:
假设有石头Ai,Ai+1,……,Ai+j-1共j堆需要合并,简记为A[i+0,i+j-1].如果设最后一次合并发生在Ak与Ak+1之间(i<=k <=i+j-1),则最后一个合并的得分为
Ai,Ai+1,……,Ai+j-1堆石头的个数的总和记为totalValue(i,j).(不管你最后一次合并发生在哪个位置,totalValue(i,j)的值都是一样的)因此总的得分等于
A[i,k]+A[k+1,i+j-1]+totalValue(i,j).
动态规划思路:
阶段i:石子的每一次合并过程,先两两合并,再三三合并,...最后N堆合并
状态s:每一阶段中各个不同合并方法的石子合并总得分。
决策:把当前阶段的合并方法细分成前一阶段已计算出的方法,选择其中的最优方案
具体来说我们应该定义一个数组s[i,j]用来表示合并方法,s[i][j]表示从第i堆开始数j堆进行合并,s[i,j]为合并的最优得分。
对例子(3 4 6 5 4 2)来说:
第一阶段:s[1,1]=0,s[2,1]=0,s[3,1]=0,s[4,1]=0,s[5,1]=0,s[6,1]=0,因为一开始还没有合并,所以这些值应该全部为0。
第二阶段:两两合并过程如下,其中sum(i,j)表示从i开始数j个数的和
s[1,2]=s[1,1]+s[2,1]+sum(1,2)
s[2,2]=s[2,1]+s[3,1]+sum(2,2)
s[3,2]=s[3,1]+s[4,1]+sum(3,2)
s[4,2]=s[4,1]+s[5,1]+sum(4,2)
s[5,2]=s[5,1]+s[6,1]+sum(5,2)
s[6,2]=s[6,1]+s[1,1]+sum(6,2)
第三阶段:三三合并可以拆成两两合并,拆分方法有两种,前两个为一组或后两个为一组
s[1,3]=s[1,2]+s[3,1]+sum(1,3)或s[1,3]=s[1,1]+s[2,2]+sum(1,3),取其最优(最大或最小)
s[2,3]=s[2,2]+s[4,1]+sum(2,3)或s[1,3]=s[2,1]+s[3,2]+sum(2,3),取其最优
第四阶段:四四合并的拆分方法用三种,同理求出三种分法的得分,取其最优即可。以后第五阶段、第六阶段依次类推,最后在第六阶段中找出最优答案即可。
#include<iostream> using namespace std; int N;//石子的堆数 int num[100]={0};//每堆石子个数int sum(int begin,int n) {int total=0;for (int i=begin;i<=begin+n-1;i++){ if(i==N)total=total+num[N];//取代num[0]elsetotal=total+num[i%N];}return total; } int stone_merge() {int score[100][100];//score[i][j]:从第i堆石子开始的j堆石子合并后最小得分int n,i,k,temp;for (i=1;i<=N;i++) score[i][1]=0;//一堆石子,合并得分为0//num[0]=num[N];//重要:sum()函数中i=N时,取num[0]for (n=2;n<=N;n++)//合并的石子的堆数 {for (i=1;i<=N;i++)//合并起始位置 {score[i][n]=score[i][1]+score[(i+1-1)%N+1][n-1];for (k=2;k<=n-1;k++)//截断位置 {temp=score[i][k]+score[(i+k-1)%N+1][n-k];if(temp <score[i][n]) score[i][n] = temp;//从第i开始的k堆是:第i+0堆到第(i+k-1)%N堆 }score[i][n]+=sum(i,n);}} int min=2147483647; for (i=1;i<=N;i++){ if (min>score[i][N]) min=score[i][N];//取从第i堆开始的N堆的最小者 }return min; }int main() {int min_count=0;cin>>N;//石子的堆数while(N!=0){for (int i=1;i<=N;i++)cin>>num[i];//每堆石子的数量//从1开始,num[0]不用 min_count=stone_merge();cout<<min_count<<endl;for(i=0;i<N;i++)//准备下一轮num[i]=0;min_count=0;cin>>N;}return 0; }
数据围成一个环,而实际存储是线性的,这里简化环形取数据,得到新的一种解决方法
#include<stdio.h> int N;//最多100堆石子:N=100 int num[200]={0};int stone_merge() {int score[200][101]={0};//l[i][j]:从第i堆石子起合并n堆石子的最小得分int n,i,k,temp;for(i=0;i<2*N;i++)score[i][1]=0;//一堆石子合并得分为0for(n=2;n<=N;n++)//合并n堆石子 {for(i=0;i<=2*N-n;i++)//从第i对开始合并(有一次重复运算,但省去了循环取数,简化了程序) {score[i][n]=score[i][1]+score[i+1][n-1];for(k=2;k<n;k++)//划分{ temp=score[i][k]+score[k+i][n-k];if(temp<score[i][n])score[i][n]=temp;//取(i,n)划分两部分的得分 }for(k=i;k<i+n;k++)score[i][n]+=num[k];//加上此次合并得分 }}int min=2147483647;//int(4位)最大值为2147483647for(i=0;i<N;i++){if(score[i][N]<min)min=score[i][N];//从第i堆开始取N堆石子,的最小合并得分 }return min; }int main() {int min_count;scanf("%d",&N);//N堆石子while(N!=0){for(int i=0;i<N;i++)scanf("%d",&num[i]);//每堆石子的数量for(i=N;i<2*N;i++)num[i]=num[i-N];//复制一倍,化简环形计算(N堆石子是围成一个环的)if(N==1) min_count=0;else if(N==2) min_count=num[0]+num[1];else min_count=stone_merge();printf("%d\n",min_count);for(i=0;i<200;i++) num[i]=0;//准备下一轮min_count=0;scanf("%d",&N);}return 0; }
转载于:https://www.cnblogs.com/IThaitian/archive/2012/07/12/2588704.html
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