石子合并问题是最经典的 DP 问题，其有如下3种题型：

【任意合并】

1.问题：

有N堆石子，现要将石子有序的合并成一堆，规定如下：每次只能移动任意的2堆石子合并，合并花费为新合成的一堆石子的数量。求将这N堆石子合并成一堆的总花费最小（或最大）。

2.分析：

最简单的情况，合并的是任意两堆，直接贪心即可，每次选择最小的两堆合并，实际上就是哈夫曼树的变形。

3.实现：

int a[N];
int Compare(const void *pleft, const void *pright) {int *left = (int *)pleft;int *right = (int *)pright;return (*left - *right);
}
int main() {int n;while(scanf("%d", &n)!=EOF&&n) {for(int i = 0; i < n; i++)scanf("%d", &a[i]);for(int i = 0; i < n; i++) {qsort(&a[i], n - i, sizeof(a[0]), Compare);for(int j = 0; j < n; j++)printf("%d ", a[j]);printf("\n");a[i+1] += a[i]; //此时a[i]和a[i+1]就是最小的两个}printf("%d\n", a[n-1]);}
}

【直线下的相邻合并】

1.问题：

有N堆石子直线排列，现要将石子有序的合并成一堆，规定如下：每次只能移动相邻的2堆石子合并，合并花费为新合成的一堆石子的数量。求将这N堆石子合并成一堆的总花费最小（或最大）。

2.分析：

我们熟悉矩阵连乘，知道矩阵连乘也是每次合并相邻的两个矩阵，那么石子合并可以用矩阵连乘的方式来解决。

设 dp[i][j] 表示第 i 到第 j 堆石子合并的最优值，sum[i][j] 表示第 i 到第 j 堆石子的总数量。

那么就有状态转移方程：

3.实现

int dp[N][N];
int sum[N];
int a[N];
int getMinval(int a[],int n)
{  for(int i=0;i<n;i++)  dp[i][i] = 0;  for(int v=1;v<n;v++)  {  for(int i=0;i<n-v;i++)  {  int j = i + v;  dp[i][j] = INF;  int tmp = sum[j] - (i > 0 ? sum[i-1]:0);  for(int k=i;k<j;k++)  dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j] + tmp);  }  }  return dp[0][n-1];
}
int main()
{  int n;  while(scanf("%d",&n)!=EOF)  {  for(int i=0;i<n;i++)  scanf("%d",&a[i]);  sum[0] = a[0];  for(int i=1;i<n;i++)  sum[i] = sum[i-1] + a[i];  printf("%d\n",getMinval(a,n));  }  return 0;
}

平行四边形优化

int dp[N][N];
int p[N][N];
int sum[N];
int n;
int getMinval()
{  for(int i=1; i<=n; i++)  {  dp[i][i] = 0;  p[i][i] = i;  }  for(int len=1; len<n; len++)  {  for(int i=1; i+len<=n; i++)  {  int end = i+len;  int tmp = INF;  int k = 0;  for(int j=p[i][end-1]; j<=p[i+1][end]; j++)  {  if(dp[i][j] + dp[j+1][end] + sum[end] - sum[i-1] < tmp)  {  tmp = dp[i][j] + dp[j+1][end] + sum[end] - sum[i-1];  k = j;  }  }  dp[i][end] = tmp;  p[i][end] = k;  }  }  return dp[1][n];
}
int main()
{  while(scanf("%d",&n)!=EOF)  {  sum[0] = 0;  for(int i=1; i<=n; i++)  {  int val;  scanf("%d",&val);  sum[i] = sum[i-1] + val;  }  printf("%d\n",getMinval());  }  return 0;
}

【环形下的相邻合并】

1.问题

有N堆石子环形排列，现要将石子有序的合并成一堆，规定如下：每次只能移动相邻的2堆石子合并，合并花费为新合成的一堆石子的数量。求将这N堆石子合并成一堆的总花费最小（或最大）。

2.分析：

状态转移方程：

其中：

3.实现：

int mins[N][N];
int maxs[N][N];
int sum[N],a[N];
int minval,maxval;
int n;
int getsum(int i,int j)
{  if(i+j >= n) return getsum(i,n-i-1) + getsum(0,(i+j)%n);  else return sum[i+j] - (i>0 ? sum[i-1]:0);
}
void Work(int a[],int n)
{  for(int i=0;i<n;i++)  mins[i][0] = maxs[i][0] = 0;  for(int j=1;j<n;j++)  {  for(int i=0;i<n;i++)  {  mins[i][j] = INF;  maxs[i][j] = 0;  for(int k=0;k<j;k++)  {  mins[i][j] = min(mins[i][j],mins[i][k] + mins[(i+k+1)%n][j-k-1] + getsum(i,j));  maxs[i][j] = max(maxs[i][j],maxs[i][k] + maxs[(i+k+1)%n][j-k-1] + getsum(i,j));  }  }  }  minval = mins[0][n-1];  maxval = maxs[0][n-1];  for(int i=0;i<n;i++)  {  minval = min(minval,mins[i][n-1]);  maxval = max(maxval,maxs[i][n-1]);  }
}  int main()
{  while(scanf("%d",&n)!=EOF)  {  for(int i=0;i<n;i++)  scanf("%d",&a[i]);  sum[0] = a[0];  for(int i=1;i<n;i++)  sum[i] = sum[i-1] + a[i];  Work(a,n);  printf("%d %d\n",minval,maxval);  }  return 0;
}

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