AcWing.282石子合并(区间DP)题解

石子合并

题目描述

设有N堆石子排成一排，其编号为1，2，3，…，N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述，现在要将这N堆石子合并成为一堆。

每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有4堆石子分别为 1 3 5 2，我们可以先合并1、2堆，代价为4，得到4 5 2，又合并 1，2堆，代价为9，得到9 2 ，再合并得到11，总代价为4+9+11=24；

如果第二步是先合并2，3堆，则代价为7，得到4 7，最后一次合并代价为11，总代价为4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

输入格式

第一行一个数N表示石子的堆数N。

第二行N个数，表示每堆石子的质量(均不超过1000)。

输出格式

输出一个整数，表示最小代价。

数据范围

1≤N≤300

输入样例：

4
1 3 5 2

输出样例：

22

题解：

区间DP问题，用动态规划来做：

状态表示：f(i, j) 表示将第 i 堆石子到第 j 堆石子合并成一堆石子的代价的最小值

如何求f(i, j)呢？

1.假设k为 i ~ j 堆石子的一个分界线，从 i 堆到 k 堆的最小代价已经求出，从 k + 1 堆到 j 堆的最小代价也已经求出，我们要求 i 堆到 j 堆的最小代价，只需要将左右俩堆的最小代价加起来，再加上这次合并的代价，就可以得到我们的f(i, j)了。

2.这次的合并代价为 i ~ j 堆所有石子的重量之和，我们可以用前缀和的方法来得到任意区间的总和

3.状态转移方程为：f(i, j) = min(f(i, j), f(i, k) + f(k + 1, j) + s[j] - s[i - 1])

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 310;
int f[N][N], a[N], s[N];
int main()
{int n;cin >> n;for(int i = 1; i <= n; i++)cin >> a[i];for(int i = 1; i <= n; i++)s[i] = a[i] + s[i - 1];for(int i = 2; i <= n; i++){//枚举长度for(int j = 1; j + i - 1 <= n; j++){//枚举这个长度下的起点和终点int l = j, r = j + i - 1;f[l][r] = 1e9;for(int k = l; k < r; k++)//枚举分界线f[l][r] = min(f[l][r], f[l][k] + f[k + 1][r] + s[r] - s[l - 1]);}}cout << f[1][n] <<endl;return 0;
}

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