解法分析

m（i，j）=max{m（i−1，j），m（i−1，j−w[i]）+v[i]}m（i，j） = max\{m（i-1，j）， m（i-1，j-w[i]）+v[i]\}m（i，j）=max{m（i−1，j），m（i−1，j−w[i]）+v[i]}
m(i,j)代表余量j从第一个物品到第i个物品的最优价值m(i,j)代表余量j从第一个物品到第i个物品的最优价值m(i,j)代表余量j从第一个物品到第i个物品的最优价值
p(i)代表m(i,j)的跳跃点点集p(i)代表m(i,j)的跳跃点点集p(i)代表m(i,j)的跳跃点点集
q(i)代表m（i，j−w[i]）+v[i]的跳跃点点集合q(i)代表 m（i，j-w[i]）+v[i]的跳跃点点集合q(i)代表m（i，j−w[i]）+v[i]的跳跃点点集合

备注：
1.其中其中其中q(i)可由p(i)的每一个点加上(w[i],v[i])得到。可由p(i)的每一个点加上(w[i],v[i])得到。可由p(i)的每一个点加上(w[i],v[i])得到。
2.p(i−1）并上q(i−1)然后减去必然不合法的点（同w下v非最大的点和w较大但是v较小)即为p（i）p(i-1）并上 q(i-1)然后减去必然不合法的点（同 w 下 v 非最大的点和w较大但是v较小)即为 p（i）p(i−1）并上q(i−1)然后减去必然不合法的点（同w下v非最大的点和w较大但是v较小)即为p（i）

代码实现

具体代码实现的注意事项：
使用一维表table[]加head[]来表示二维表
head[i]:表示第i个行的开端。
其中在pass不合法的点对时，对于q和p中的值采用的方法不一致。具体看代码注释

 const int N = 1e4, M = 1e6;struct Data{int w, v;Data(int nw = 0, int nv = 0) :w(nw), v(nv) {}//构造函数，默认w,v都为0Data operator +(const Data& r)const//设计data结构体的+操作{return Data(w + r.w, v + r.v);}bool operator ==(const Data& r)const//设计data结构体的==操作{return (w == r.w) && (v == r.v);}};int head[N + 2];//标记每一个i的表的首元素，相当于将一维数组转换为二维数组Data goods[N], table[M];//goods[]存储物品信息，table[i]存储对应装前i个物品对应的(w,v)stack<int> numlist;//存放最终放入物品序号的栈int n, c;//物品数量和背包总容量// trace back to find the solution vector x[1……n]void traceBack(Data eState){//eState是最后一个i的表的最后一个数据信息int i, j;bool x[N + 2];for (i = n; i >= 1; --i){x[i] = false;for (j = head[i] - 1; j >= head[i - 1]; --j)//从p[i-1]的末尾遍历到p[i-1]的开头{if (table[j] + goods[i] == eState && (table[j].w != 0 || !j)){//这里判断有没有加入第i个物品，若加入，则将i序号进栈,并且将对应i-1的表的最好的数据赋值给estate进行回溯numlist.push(i);//cout << i << ",";//测试进栈情况eState = table[j];break;}}}}// jump points' method to slove the 0-1 bag's problemint GKnapSack(){int i, k, j, boundaryL, boundaryR, next;//boundaryL, boundaryR作为指针，卡在p[i-1]的左右为边界，next是p[i]要填写的位置，初始时next为//p[i]的首位置,k依次往后移动，直到到达p[i-1]的右边界Data temp;head[0] = 0;//p[0]的首位置为索引0table[0] = Data(0, 0);//没有装物品时各项数据都为0boundaryL = boundaryR = 0;next = 1;//p[1]要填写的位置即索引1head[1] = 1;//p[i]的首位置为1for (i = 1; i <= n; ++i){k = boundaryL;//数字k在处理中从p[i-1]的左边界移动到右边界for (j = boundaryL; j <= boundaryR; ++j){if (table[j].w + goods[i].w > c)break;/*先在 p（i-1）的元素 j 上得到一个新状态，然后 w 小于它的不受影响，直接搬*/temp = table[j] + goods[i];//将p[i-1]对应的列表中的移动到的数据的容量和价值分别加上第i件物品的容量和价值while (k <= boundaryR && table[k].w<temp.w)  {//next是p[i]要填写的位置，初始时next为p[i]的首位置,依次往后移动，//直到到达p[i-1]的右边界table[next] = table[k];++next;++k;}/*w 等于它的，对 v 取更大的值*/if (k <= boundaryR && table[k].w == temp.w){temp.v = max(temp.v, table[k].v);//如果容量相同，则取价值最大的++k;}/*w 大于它的，根据 v 值直接pass 掉 不合法的点（w 大但 v 小于前边的）*/  //这里pass的为q队列不合适的对if (temp.v > table[next - 1].v){table[next] = temp;++next;}while (k <= boundaryR && table[k].v <= table[next - 1].v)++k;                                                       //将多余的删除掉。这里忽略在p行的违规的对}while (k <= boundaryR){table[next] = table[k];++next;++k;}boundaryL = boundaryR + 1;//boundaryL指向p[i]的左边界，即下一个i对应的表的左边界，因为此时p[i]的表已经填好，要利用i标记来借助p[i]导出p[i+1]boundaryR = next - 1;//因为next指向p[i+1]的首位置的索引，所以boundaryR指向next-1，即得到p[i]的右边界head[i + 1] = next;}traceBack(table[next - 1]);return table[next - 1].v;}

算法复杂度分析？：
此算法的计算量在于求解p[i]
p[i]的跳跃点对应x1,...,xix_1,...,x_ix1,...,xi的0-1赋值，p[i]的跳跃点个数不超过2i2^i2i故计算时间为
O(∑i=1n2n=O(2n)O(\sum^n_{i=1}{2^n}=O(2^n)O(∑i=1n2n=O(2n)
当所给的物品重量为整数时，∣p[i]∣<=c+1|p[i]|<=c+1∣p[i]∣<=c+1,所以总的时间复杂度为O(min(nc,2n))O(min(nc,2^n))O(min(nc,2n))

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