动态规划--01背包问题详解

代码随想录day42和day43 动态规划模块01背包问题
“即使到不了远方，心中也要有远方的模样。”

文章目录

1. 01背包理论基础
- 1.1什么是背包问题
- 1.2二维dp数组01背包
- 1.3一维dp数组(滚动数组)01背包
2.leetcode 416.分割等和子集
- 2.1 详细思路及思考难点
- 2.2具体步骤及代码实现
3.leetcode 1049.最后一块石头的重量
- 3.1详细思路及思考难点
- 3.2具体步骤及代码实现
4.leetcode 494.目标和
- 4.1详细思路及思考难点
- 4.2具体步骤及代码实现
5.leetcode 474.一和零
- 5.1详细思路及思考难点
- 5.2具体步骤及代码实现

1. 01背包理论基础

1.1什么是背包问题

背包问题大致可以分为以上几类，背包问题也就是选取物品放入重量为n的背包中，然后求背包的最大价值。

1.2二维dp数组01背包

01背包问题—有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

例子：假设背包最大重量为4，然后有三个物品，看如何将物品放入背包中能获取最大价值。

还是可以用动态规划的做题步骤来分析

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j]对应的就是取索引[0,i]的物品，放入重量为j的背包中，得到价值dp[i][j]

2. 确定递推公式

可以先将每种情况列举出来，然后再推导公式

由此可以推导出递推公式为dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i])
每次遍历到dp[i][j]的时候都有两种取值情况dp[i-1][j]表示不放物品时的情况
dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]，weight[i]表示i的重量，value[i]表示i的价值。这就是表示添加新物品的情况
在上面两种情况中取最值

3. dp数组的初始化问题

当背包重量为0时，可以初始化dp[i][0]=0;

4.确定遍历顺序

这题的从前往后面遍历，可以先遍历背包再遍历物品也可以先便利物品再遍历背包，一般是先遍历物品

5. 举例推导dp公式

代码示例

    public static void main(String[] args) {int[] weight = {1, 3, 4};int[] value = {15, 20, 30};int bagsize = 4;testweightbagproblem(weight, value, bagsize);}public static void testweightbagproblem(int[] weight, int[] value, int bagsize){int wlen = weight.length, value0 = 0;//定义dp数组：dp[i][j]表示背包容量为j时，前i个物品能获得的最大价值int[][] dp = new int[wlen + 1][bagsize + 1];//初始化：背包容量为0时，能获得的价值都为0for (int i = 0; i <= wlen; i++){dp[i][0] = value0;}//遍历顺序：先遍历物品，再遍历背包容量for (int i = 1; i <= wlen; i++){for (int j = 1; j <= bagsize; j++){if (j < weight[i - 1]){dp[i][j] = dp[i - 1][j];}else{dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i - 1]] + value[i - 1]);}}}//打印dp数组for (int i = 0; i <= wlen; i++){for (int j = 0; j <= bagsize; j++){System.out.print(dp[i][j] + " ");}System.out.print("\n");}}

1.3一维dp数组(滚动数组)01背包

上面用二维数组来解决01背包问题，其实也可以用一维数组(也叫做滚动数组)来解决01背包问题。其核心也就是将二维数组压缩成一维数组。
假设背包最大重量为4，然后有三个物品，看如何将物品放入背包中能获取最大价值。

那还是按照动态规划的做题步骤来分析

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[j]对应的就是背包重量为j的时候对应的最大价值dp[j]

2. 确定递推公式

可以先将每种情况列举出来，然后再推导公式

dp[j]是由dp[j-weight[i]]决定的，递推公式可以如下
dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i])

3. dp数组的初始化问题

当背包重量为0时，可以初始化dp[0]=0;

4.确定遍历顺序

这题先遍历物品的时候可以从前面往后面遍历，然后再背包的时候得从后面往前面进行倒序遍历。如果是顺序遍历的话物品就会重复添加，因为每个物品只能用一次，以免影响其他结果

5. 举例推导dp公式

代码示例

    public static void main(String[] args) {int[] weight = {1, 3, 4};int[] value = {15, 20, 30};int bagWight = 4;testWeightBagProblem(weight, value, bagWight);}public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagWeight){int wLen = weight.length;//定义dp数组：dp[j]表示背包容量为j时，能获得的最大价值int[] dp = new int[bagWeight + 1];//遍历顺序：先遍历物品，再遍历背包容量for (int i = 0; i < wLen; i++){for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--){dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}}//打印dp数组for (int j = 0; j <= bagWeight; j++){System.out.print(dp[j] + " ");}}

2.leetcode 416.分割等和子集

力扣题目链接

2.1 详细思路及思考难点

这题可以将其划分为01背包问题，给定一个数组，判断是否能将数组分成两个子集和相同的两个数组。要将数组分成两个相等的子集的话，数组中的和sum也就是必须是偶数(这是第一个判断条件)，然后令target=sum/2；这就是子集的和，把target想象成一个背包的最大重量，现在就是让背包里面的物品的重量刚好能达到背包的最大重量，如果能达到就返回true，反之，return false。

2.2具体步骤及代码实现

按照动态规划的做题步骤来分析

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[j]对应的就是背包重量为j的时候对应的最大价值dp[j]

2. 确定递推公式

dp[j]是由dp[j-weight[i]]决定的，递推公式可以如下
dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i])，这里nums[i]既可以表示重量也可以表示价值

3. dp数组的初始化问题

当背包重量为0时，可以初始化dp[0]=0;

4.确定遍历顺序

这题先遍历物品的时候可以从前面往后面遍历，然后再背包的时候得从后面往前面进行倒序遍历。因为每个物品只能用一次，以免影响其他结果

5. 举例推导dp公式

代码实现

class Solution {public boolean canPartition(int[] nums) {if(nums==null || nums.length==0)return false;int sum=0;for(int a:nums){sum+=a;}if(sum%2!=0)return false;int targrt=sum/2;int[] dp=new int[targrt+1];//dp[0]=0;for(int i=0;i<nums.length;i++){for(int j=targrt;j>=nums[i];j--){dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);}}return dp[targrt]==targrt;}
}

3.leetcode 1049.最后一块石头的重量

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3.1详细思路及思考难点

这题思路跟416.分割子集问题基本一致，可以将所有石头分成两份和相同的子集和，target=sum/2,然后将石头存入dp[target]中所能满足的最大价值，最终返回的结果是(sum-dp[target])-dp[target],(sum-dp[target])表示没有装入背包的所有的集合，然后减去装入背包的，就是碰撞之后剩下的量。

3.2具体步骤及代码实现

按照动态规划的做题步骤来分析

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[j]对应的就是背包重量为j的时候对应的最大石头量dp[j]

2. 确定递推公式

dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);

3. dp数组的初始化问题

当背包重量为0时，可以初始化dp[0]=0;

4.确定遍历顺序

这题先遍历物品的时候可以从前面往后面遍历，然后再背包的时候得从后面往前面进行倒序遍历。因为每个物品只能用一次，以免影响其他结果

5. 举例推导dp公式

代码实现

class Solution {public int lastStoneWeightII(int[] stones) {int sum=0;for(int a:stones){sum+=a;}int target=sum>>1;int[] dp=new int[target+1];dp[0]=0;for(int i=0;i<stones.length;i++){for(int j=target;j>=stones[i];j--){dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-stones[i]]+stones[i]);}}return sum-dp[target]-dp[target];}
}

4.leetcode 494.目标和

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4.1详细思路及思考难点

将nums中的数值添加正负号之后，设正数和为x，那么负数的和就是sum-x(sum是nums数组中所有元素的和)。x-(sum-x)=target ==>x=(sum+target)/2。然后将x转换成填满大小为x的背包，需要dp[j]种方法。

4.2具体步骤及代码实现

按照动态规划的做题步骤来分析

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[j]对应的就是背包重量为j的时候对应的最大价值dp[j]

2. 确定递推公式

根据下面得出递推公式为dp[j]+=dp[j-nums[i]]

已经有一个1（nums[i]）的话，有 dp[4]种方法凑成 dp[5]。
已经有一个2（nums[i]）的话，有 dp[3]种方法凑成 dp[5]。
已经有一个3（nums[i]）的话，有 dp[2]中方法凑成 dp[5]
已经有一个4（nums[i]）的话，有 dp[1]中方法凑成 dp[5]
已经有一个5 （nums[i]）的话，有 dp[0]中方法凑成 dp[5]

3. dp数组的初始化问题

当背包重量为0时，可以初始化dp[0]=0;

4.确定遍历顺序

这题先遍历物品的时候可以从前面往后面遍历，然后再背包的时候得从后面往前面进行倒序遍历。因为每个物品只能用一次，以免影响其他结果

代码实现

class Solution {public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {int sum=0;for(int a:nums){sum+=a;}int zs=(sum+target)/2;if((target+sum)%2!=0) return 0;if(zs<0)zs=-zs;int[] dp=new int[zs+1];if(target>sum)return 0;dp[0]=1;for(int i=0;i<nums.length;i++){for(int j=zs;j>=nums[i];j--){dp[j]+=dp[j-nums[i]];}}return dp[zs];}
}

5.leetcode 474.一和零

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5.1详细思路及思考难点

这题用二维dp数组来做，把每个字符串当作单独的物品，总共的0和1的个数当作背包的容量。

5.2具体步骤及代码实现

按照动态规划的做题步骤来分析

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j]表示当有i个0和j个1时的最大子集的大小

2. 确定递推公式

根据下面得出递推公式为dp[i][j]=Math.max(dp[i][j],dp[i-zero][j-one]+1)

3. dp数组的初始化问题

初始为0就可以

4.确定遍历顺序

遍历字符串的时候顺序遍历，遍历0和1的时候倒叙

5.推导dp数组

代码实现

class Solution {public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {int[][] dp=new int[m+1][n+1];int zero,one;for(String s : strs){zero=0;one=0;for(char c:s.toCharArray()){if(c=='0'){zero++;}else if(c== '1'){one++;}}for(int i=m;i>=zero;i--){for(int j=n;j>=one;j--){dp[i][j]=Math.max(dp[i][j],dp[i-zero][j-one]+1);}}}return dp[m][n];}
}