动态规划---01背包问题（2种方法）

一、动态规划
代表一类问题（最优子结构或子问题最优性）的一般解法，是设计方法或者策略，不是具体算法
本质：递推，核心是找到状态转移的方式，写出dp方程。
解决问题：交叉，重叠子问题（最优子问题）
形式：
记忆型递归
递推
与深搜的区别：深搜要所有符合条件的解，动态规划要求最优解（唯一解）
二、题目
有n个重量和价值分别为wi和vi的物品，从这些物品中挑选出重量不超过w的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值。
1<=n<=100
1<=wi,vi<=100
1<=w<<10000
输入：
n=4
（w，v）={（2,3），（1,2），（3,4），（2,3）}
w=5
输出
7（选择第0,1,3号物品）

分析思路

方法一：递推

因为对每个物品只有选和不选两种情况，所以这个问题称为01背包问题。
两个决定性量，重量，价值，
物品只有两种选择拿或者不拿，在重量限定的条件下，使得价值达到最大
与深搜的区别，深搜要所有符合条件的解，动态规划要求最优解
用深搜进行分析，找一个卡点，找到之后只能从卡点开始往后选

代码：


public class Bag01 {static int[] w= {2,1,3,2}; //重量表static int[] v= {3,2,4,2};  //价值表static int n=4; //物品数量static int W=5; //背包的承重极限static int max(int a,int b) {return a;}public static void main(String[] args) {int ww=W;int ans=dfs(0,ww);  //从第一个物品开始System.out.println(ans);}static int dfs(int i,int ww) {//出口条件if(ww<=0) return 0;  //装不进去if(i==n) return 0;  //没东西可选了int v2=dfs(i+1,ww);  //不选择当前物品if(ww>=w[i]) {int v1=v[i]+dfs(i+1,ww-w[i]);  //选择当前物品return max(v1,v2);}else {return v2;}}
}

方法二：记忆型递归（处理重叠子问题）
二叉树：递归自下往上推

括号前缀代表层数和从第几个物品开始选，开始选的编号越小所选的范围越大
记忆：把f(3,2)这样重叠的问题记忆下来
f(x,y)采用二维数组
x:长度n，物品数量[0,n-1]
y:总重量开辟到w+1
二维数组第n行第m列
把二维数组都填为-1

记忆递归：
1.计算前查询
2.计算后保存

代码


import java.util.Arrays;public class Bag01jiyi {static int[] w= {2,1,3,2}; //重量表static int[] v= {3,2,4,2};  //价值表static int n=4; //物品数量static int W=5; //背包的承重极限static int max(int a,int b) {return a;}public static void main(String[] args) {int ww=W;int ans=m(0,ww);  //从第一个物品开始System.out.println(ans);rec=new int[n][W+1];  //二维数组存放for(int i=0;i<n;i++) {Arrays.fill(rec[i], -1);  //重量最小为0}ww=W;ans=m(0,ww);System.out.println(ans);}static int[][] rec;static int m(int i,int ww) {//出口条件if(ww<=0) return 0;if(i==n) return 0;//就算之前先查询if(rec[i][ww]>=0)return rec[i][ww];int v2=m(i+1,ww);  //不选择当前物品int ans;if(ww>=w[i]) {int v1=v[i]+m(i+1,ww-w[i]);  //选择当前物品ans=max(v1,v2);}else {ans=v2;}//计算之后做保存rec[i][ww]=ans;return ans;}
}

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