动态规划——01背包问题看此一篇文章就够了

本文讲述经典算法——动态规划的常见问题 01背包

一篇文章带你学会01背包问题，妈妈再也不担心我遇到01背包了！！！

问题描述

有n个物品，它们有各自的体积和价值，现有给定容量m的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

每种物品只有放入和不放入这两种状态，因此叫做01背包问题

为方便讲解和理解，下面讲述的例子均先用具体的数字代入，即：eg：n=4,m=6

i（物品编号）	1	2	3	4
w（体积）	1	2	3	2
v（价值）	4	6	12	7

由于样例数据量小，我们很容易可以看出来最优的选择为物品3+物品4+物品1

总重量=3+2+1=6 总价值=12+7+4=23 这就是最优解；

有的人可能会有疑惑，可以用贪心吗？答案是不可以；

因为选取单个价值最高并不能保证最终的总价值是最高的，也许有一个体积比它小很多，价值相差不大的呢，这样不就没选它了嘛。

动态规划问题的本质

本质就是穷举？递归？递推？

Q1：如何穷举？

写出状态转移方程，暴力穷举所有可行解。

Q2：如何聪明地穷举？

用备忘录消除重叠子问题，写出自顶向下的解法；

进一步，可以写出自底向上的迭代递推的解法；

再进一步，可能可以优化空间复杂度

动态规划问题的解题思路分析

1、通过问题描述，时间状态、选择、定义这几部框架

2、写状态状态转移方程

3、一眼看出是否存在重叠子问题

4、确定dp数组的遍历顺序

针对该问题，我们来看一看具体的步骤是怎样的。

根据第一步状态有：装入物品数量、背包容量，所以确定我们的dp数组是二维的

一定要清楚的明白dp数组代表的含义，才能顺利地写出状态转移方程！这一点很重要！！！

首先看第二个情况，不把物品放进背包的最大价值

不放第 i 个物品，不就意味着，最大价值就等于前 i-1个物品的最大价值嘛

所以 dp[i][w] = dp[i - 1][w];

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

然后再看比较复杂一点的第一种情况，将物品放进背包的最大价值

这种情况下，我们存放结果情况显然不变，依然是i个物品放w容量，所以前面还是dp[i][w]

那么=后面的结果呢？

就是前面 i-1 个物品，在容量为 w-当前物品重量的情况下，加上第 i 件物品的价值！悟了吧

所以 dp[i][w] = dp[i - 1][w - wp[i].wei] + wp[i].val;

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

然后，我们应该分情况，当该物品能够被放进去才进行计算

否则就和没有放入的结果一样。

相信你看到这里已经很有感触了，我们来看看代码是怎么实现的吧。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct wupin{int wei;int val;
}wp[3405];
int dp[3500][13000];
int main(){int n,m; //n种物品，容量mcin>>n>>m;for(int i = 1;i <= n;i++)  cin>>wp[i].wei>>wp[i].val;for(int i = 1;i <= n;i++){    // i 代表 前i个物品for(int j = 1;j <= m;j++){    // j 代表 背包容量为 j 时if(wp[i].wei > j){dp[i][j] = dp[i-1][j];}else{dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wp[i].wei] + wp[i].val);}}}cout<<dp[n][m]<<endl;return 0;
}

结合上述思路，是不是已经理解了呢？

这里有一个问题，就是当数据量比较大时，比如代码中的n=3500，m=13000时，会消耗巨大的内存，大概是180MB，这会超过大多数OJ的内存限制，比如北大OJ(POJ 4131) ，用上述代码就超过内存限制了！

如何解决这一问题呢？

在这里我们使用滚动数组的方式就可以解决了！

这里给出代码，稍有不同的是，该题滚动数组方式采用从右往左的顺序求值

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct wupin{int wei;int val;
}wp[3405];
int dp[13000]={0};
int main(){int n,m; //n种物品，容量mcin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>wp[i].wei>>wp[i].val;for(int i=1;i<=n;i++){   // i 代表 前i个物品for(int j=m;j>=0;j--){    // j 代表 背包容量为 j 时if(wp[i].wei<=j){dp[j] = max(dp[j],dp[j-wp[i].wei]+wp[i].val);}}}cout<<dp[m]<<endl;return 0;
}

这样代码就AC啦！！！

至此，01背包问题已经讲述完了，如果有什么不明白的地方或是文章存在一些问题，欢迎coder在下方留言。