【概率论与数理统计】猴博士笔记 p33-35 超几何分布、正态分布、二项分布

超几何分布H

例1：
设随机变量X~H(5,3,2)，求P{X=1}、EX、DX.
解：
题意是：共有5个球，其中3个目标球，共取2次，取到1个目标球的概率。
P { X = 1 } = 3 5 E X = 6 5 D X = 9 25 P\{X=1\}=\frac{3}{5} \\EX=\frac{6}{5} \\DX=\frac{9}{25} P{X=1}=53EX=56DX=259

正态分布N

一维正态分布

总体考点公式如下：

对第1点：
P 在 { X 在 a 到 b 之间 } = Φ ( b − μ σ ) − Φ ( a − μ σ ) Φ ( + ∞ ) = 1 ， Φ ( − ∞ ) = 0 ， Φ ( 0 ) = 0.5 ， Φ ( a ) = 1 − Φ ( − a ) P在\{X在a到b之间\}=\Phi(\frac{b-\mu}{\sigma})-\Phi(\frac{a-\mu}{\sigma}) \\\Phi(+∞)=1，\Phi(-∞)=0，\Phi(0)=0.5，\Phi(a)=1-\Phi(-a) P在{X在a到b之间}=Φ(σb−μ)−Φ(σa−μ)Φ(+∞)=1，Φ(−∞)=0，Φ(0)=0.5，Φ(a)=1−Φ(−a)
例1：

解：套公式。（其实这两个概率加起来为1）

例2：

解：0.5，0.5。

例3：

解：0.3.

例4：

解：

上题那样的其实不会考，但是会考：（注意考点二）
Φ ( a ) > Φ ( b ) = > a > b \Phi(a)>\Phi(b)=>a>b Φ(a)>Φ(b)=>a>b

考点3：
标准正态分布 = > μ = 0 , σ = 1 \\标准正态分布 => \mu=0,\sigma=1 标准正态分布=>μ=0,σ=1

代入正态分布的函数得考点4：

考点5：
若 X ∼ N ( μ 1 , σ 1 2 ) , Y ∼ N ( μ 2 , σ 2 2 ) , 且 X 与 Y 相互独立，则 a X + b Y + c ∼ N ( a μ 1 + b μ 2 + c , a 2 σ 1 2 + b 2 σ 2 2 ) 若X\sim N(\mu_1,\sigma_1^{2}),Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^{2}),且X与Y相互独立，则\\aX+bY+c \sim N(a\mu_1+b\mu_2+c,a^{2}\sigma_1^{2}+b^{2}\sigma_2^{2}) 若X∼N(μ1,σ12),Y∼N(μ2,σ22),且X与Y相互独立，则aX+bY+c∼N(aμ1+bμ2+c,a2σ12+b2σ22)

例6：

解：套考点公式和正态分布公式即可。

考点6：
a X + c ∼ N ( a μ + c , a 2 σ 2 ) aX+c \sim N(a\mu+c,a^{2}\sigma^{2}) aX+c∼N(aμ+c,a2σ2)
例7：

解：N(2,9).

结合考点5、6：考点5中令b=0，得到的式子就是考点6

考点7：标准化。(可以由考点6推出)
X ∼ N ( α , β ) = > X − α β ∼ N ( 0 , 1 ) X \sim N(\alpha,\beta) => \frac{X-\alpha}{\sqrt\beta} \sim N(0,1) X∼N(α,β)=>β X−α∼N(0,1)
例8：

解：
X − 2 3 \frac{X-2}{3} 3X−2

考点8：

例9：

θ 1 2 \theta \\\frac{1}{2} θ21

例10：

解：和上题一样。考试的时候不会直接告诉我们期望和方差是多少，而是放在正态分布公式里告诉我们。

例10-1：

解：和上两题一样。
实际上，考试会考的更复杂：把正态分布的公式拆开。

记下这个公式，进行一些玄学的猜答案：

例11：

解：
对蓝色的式子：指数多出来的常数单独乘出来即可（倒数第3个等号）

对红色的式子：

其实就是看积分里是 x e 还是 x 2 e 如果是 x e ，那就是 A μ 如果是 x 2 e ，那就是 A ( μ 2 + σ 2 ) A 是式子中多出来的系数，若没有， A 就是 1 其实就是看积分里是xe还是x^{2}e \\如果是xe，那就是A\mu \\如果是x^{2}e，那就是A(\mu^{2}+\sigma^{2}) \\A是式子中多出来的系数，若没有，A就是1 其实就是看积分里是xe还是x2e如果是xe，那就是Aμ如果是x2e，那就是A(μ2+σ2)A是式子中多出来的系数，若没有，A就是1
一个是E(X)，一个是E(X²).

二维正态分布（考得不多）

例12：一道概念题。

解：
A：X。不符合考点2.
B：√。符合考点2.
C：X。还要X，Y相互独立才行。见一维正态分布的考点5.
D：X。X和Y符合二维正态分布时，不相关与独立等价（考点1的④），而这里题干只是符合正态分布，没有说是二维正态分布。

例13：

解：
一般二维正态分布要求概率，ρ会等于0.
步骤是要把X、Y拆开求——把XY怎样的概率变为X怎样乘以Y怎样。
第2到第3个等号由X、Y相互独立推出。
然后就是代入求值即可。

二项分布B

ps:③是中心极限定理。
例1：

解：
套公式：
P { X = 3 } = 5 16 E X = 5 2 D X = 5 4 P\{X=3\}=\frac{5}{16} \\EX=\frac{5}{2} \\DX=\frac{5}{4} P{X=3}=165EX=25DX=45
例2：

解：
题意其实是：
X ∼ B ( 100 , 0.1 ) , 求 P { X < = 10 } X \sim B (100,0.1),求P\{X <= 10\} X∼B(100,0.1),求P{X<=10}
这里100太大了，很难算。根据考点③，我们知道它其实服从正态分布：
X ∼ N ( 10 , 9 ) , 求 P { X < = 10 } X \sim N(10,9),求P\{X <= 10\} X∼N(10,9),求P{X<=10}
因此：

例3：

解：D。其实就是代入正态分布的公式：
X − α β \frac{X-\alpha}{\sqrt\beta} β X−α