【概率论与数理统计】猴博士笔记 p17-20 一、二维连续型：已知F,求f；已知f,求f

一维连续型已知F，求f

题型：

步骤：f是F的导数，对F求导即可得到f。

例1：

解：

例2：

解：

一维连续型已知f，求f

题型：已知f(x)，求f(y)

步骤：（注意，要满足要求：Y=g(X)满足单增或单减才能用公式法）

看起来有点抽象，我们看一道例题：

此题中Y=g(X)是Y=2X，是单增的，所以可以用公式法。

第一步：通过Y=g(X)得出X=h(Y):
X=Y2X=\frac{Y}{2} X=2Y
第二步：用h(Y)替换f(x)各式子中的x。
原式为fX(x)={0,x≤0e−x,x>0X=Y2替换后fX(x)={0,y≤0e−y2,y>0原式为 f_X(x)= \begin{cases} 0,x\le0\\ e^{-x},x>0 \end{cases} \\\\X=\frac{Y}{2}替换后 \\ \\ f_X(x)= \begin{cases} 0,y\le0\\ e^{-\frac{y}{2}},y>0 \end{cases} 原式为fX(x)={0,x≤0e−x,x>0X=2Y替换后fX(x)={0,y≤0e−2y,y>0
第三步：在f(x)各式子的末尾后乘上|h’(y)|
fX(x)={0∗∣(y2)′∣,y≤0e−y2∗∣(y2)′∣,y>0f_X(x)= \begin{cases} 0*|(\frac{y}{2})'|,y\le0\\ e^{-\frac{y}{2}}*|(\frac{y}{2})'|,y>0 \end{cases} fX(x)={0∗∣(2y)′∣,y≤0e−2y∗∣(2y)′∣,y>0
第四步：将f(x)变成f(y)
fX(x)={0,y≤012e−y2,y>0f_X(x)= \begin{cases} 0,y\le0\\ \frac{1}{2}e^{-\frac{y}{2}},y>0 \end{cases} fX(x)={0,y≤021e−2y,y>0
答案：

二维连续型已知F，求f

步骤：求偏导

例题1：

解：

求偏导：
如果一个（对x、y）求偏导的式子并不是既有x又有y，那么它的偏导就是0.
如果既有x又有y，那么正常求即可。

因此答案：

二维连续型已知f，求f

步骤：有三种求法：普通求法、公式法(消x、消y)
看一道例题：

我们以公式法（消y）来举例子：

第一步：
Z=X+2Y=>Y=Z−X2=>y=z−x2Z=X+2Y => Y=\frac{Z-X}{2} =>y=\frac{z-x}{2} Z=X+2Y=>Y=2Z−X=>y=2z−x

第二步：
原式为f(x,y)={2e−(x+2y),x>0,y>00,其他替换后f(x,y)={2e−(x+2∗(z−x2))∗∣∂z−x2∂z∣,x>0,z−x2>00,其他化简后f(x,y)={e−z,x>0,z−x2>00,其他原式为 f(x,y)= \begin{cases} 2e^{-(x+2y)},x>0,y>0\\ 0,其他\\ \end{cases} \\替换后 \\ f(x,y)= \begin{cases} 2e^{-(x+2*(\frac{z-x}{2}))}*|\frac {\partial \frac{z-x}{2} } {\partial z }|,x>0,\frac{z-x}{2}>0\\ 0,其他\\ \end{cases} \\化简后 f(x,y)= \begin{cases} e^{-z},x>0,\frac{z-x}{2}>0\\ 0,其他\\ \end{cases} 原式为f(x,y)={2e−(x+2y),x>0,y>00,其他替换后f(x,y)={2e−(x+2∗(2z−x))∗∣∂z∂2z−x∣,x>0,2z−x>00,其他化简后f(x,y)={e−z,x>0,2z−x>00,其他
第三步：
f(x,y)={e−z,x>0,x<z0,其他f(x,y)非0式子里的范围:x<z,x>0范围存在时,z>0范围不存在时,z≤0范围存在是x的范围是(0,z)f(x,y)= \begin{cases} e^{-z},x>0,x<z\\ 0,其他\\ \end{cases} \\ f(x,y)非0式子里的范围:x<z,x>0 \\ 范围存在时,z>0 \\范围不存在时,z\le 0 \\范围存在是x的范围是(0,z) f(x,y)={e−z,x>0,x<z0,其他f(x,y)非0式子里的范围:x<z,x>0范围存在时,z>0范围不存在时,z≤0范围存在是x的范围是(0,z)
第四步：
fZ(z)={∫0ze−zdx,z>00,z≤0=>fZ(z)={ze−z,z>00,z≤0f_Z(z)= \begin{cases} \displaystyle \int^{z}_{0}e^{-z}{dx},z>0\\ 0,z \le 0\\ \end{cases} => f_Z(z)= \begin{cases} ze^{-z},z>0\\ 0,z \le 0\\ \end{cases} fZ(z)=⎩⎨⎧∫0ze−zdx,z>00,z≤0=>fZ(z)={ze−z,z>00,z≤0

用上述方法尝试消去x，能得到答案：