扩展欧几里得___追风少年的坐骑(2016swust信息院赛)

Description

    追风的少年基XX为了赶上风速，他亲自打造了一个坐骑，他的坐骑拥有土豪级别的两个键帽，分别为加速按钮和减速按钮。那么问题来了，他每按一次加速按钮，可以给他的坐骑增加a的速度，每按一次减速按钮，他的坐骑速度会减少b，当速度减少到0的时候，不再减速，但依然可以继续按减速按钮。他坐骑现在的速度为s，但必须达到速度t（必须等于），才能赶上风的速度。还有个更严重的问题，他必须按n次按钮，不然他坐骑上的GTX1080战术核显卡是会BOOM的……基XX想知道，在不引爆显卡的情况下，能不能赶上风的速度。

Input

    输入一排，分别为描述中所叙述的n,s,t,a,b。其中1≤n≤109 0≤s,t≤109 1≤a,b≤109

Output

    输出一行，如果基XX能赶上风的速度，输出“YES”,否则输出“BOOM”.

Sample Input

4 2 3 3 3
2 1 100 2 2

Sample Output

YES
BOOM

分析：

这个题目可以分为两种情况，

第一种就是在追逐过程中不会降到0，换句话意思就是说存在两个正整数x,y使得 ax+by= t-s 成立并且有 x + y = n,这样两个二元一次方程可以解出x,y如果有整数解,那么说明YES,否则判断第二种情况。

第二种就是在追逐过程中会先降到0，然后再0的时候继续反复减速(也可以不继续减速)然后再加速到 t,这样的情况我们就分为前后两段，第一段是减速到0，很显然这一个过程至少需要 sub(s/b) 次。sub(a)表示对a向上取整。因为速度减为0之后我们可以反复0处通过减速来浪费次数，所以我们要在n - sub(s/b) 次数内从0上升到t.这样题目就转化为为.

ax+by = t, 并且 x>=0 && y>=0 求x+y的最小值,如果x+y的最小值小于 n - sub(s/b) 就说明YES，否则就NO. 这里因为 t 的范围很大所以要使用拓展欧几里得来求解。循环判断要超时。

ax+by = t 显然 t % gcd(a,b) == 0 才有解。令 t / gcd = c . 那么求得一组特殊解 x0a + y0b = gcd .那么 cx0 ,cy0 就是 ax+by = t 的一组特解。那么通解是什么呢？

x = cx0 + b/gcd * m

y = cy0 - a/gcd * m

然后就可以用这两个式子来求得x,y。

代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>long long MAX(long long a,long long b)
{return a>b?a:b;
}
long long MIN(long long a,long long b)
{return a<b?a:b;
}long long e_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{if(b == 0){x = 1;y = 0;return a;}long long ans = e_gcd(b,a%b,y,x);y = y - a/b*x;return ans;
}
bool tz_gcd(long long a,long long b,long long c,long long& x,long long& y)
{long long gcd;gcd = e_gcd(a,b,x,y);if(c % gcd != 0){return false;}else{x = c / gcd * x;y = c / gcd * y;if( x > 0 && y < 0 ){long long t = 0;t = x / (b/gcd);t = MIN(t,-y/(a/gcd));x = x - b/gcd * t;y = y + a/gcd * t;}else{long long t = 0;if( x < 0){if( (-x * gcd) % b == 0) t = (-x*gcd)/b;else t = (-x * gcd)/b + 1;}if( y > 0){if( (y * gcd) % a == 0 ) t = MAX(t,(y*gcd)/a);else t = MAX(t,(y*gcd)/a+1);}x = x + b/gcd * t;y = y - a/gcd * t;}}return true;
}bool Jianjie(long long n,long long s,long long t,long long a,long long b)
{long long c;if( s % b == 0) c = s / b;else c = s / b + 1;long long x,y;if(!tz_gcd(a,b,t,x,y)) return false;y = -y;if( c + x + y <= n) return true;return false;
}int main()
{long long n,s,t,a,b;while(scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&s,&t,&a,&b)!=EOF){if((t + n * b - s) % (a+b) == 0){printf("YES\n");continue;}if(Jianjie(n,s,t,a,b)){printf("YES\n");continue;}printf("BOOM\n");}return 0;
}