牛客多校3 - Fraction Construction Problem(扩展欧几里得)

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题目大意：给出 a 和 b ，求解满足条件的 c,d,e,f ，使得：

$\frac{c}{d}-\frac{e}{f}=\frac{a}{b}$
d < b
f < b
c,e 均为小于等于 4e12 的正整数

题目分析：分情况讨论一下，首先如果 a 和 b 可以约分的话，那么直接约分后，输出 a+1 , b , 1 , b 显然就是答案了，如果不能约分的话，且 b 的相异质因子的个数不超过 1 个的话，那么是无解的，证明如下：（来自官方题解）

最后一种情况就是 b 的相异质因子个数超过一个，对于这种情况可以将条件 1 的公式转换一下： $\frac{c}{d}-\frac{e}{f}=\frac{a}{b}=\frac{cf-de}{df}$

这样一来，d 和 f 显然就是 b 的两个相异质因子了，而 cf - de = a ，在已知 d 和 f 的前提下，一定有解，且可以用扩展欧几里得来解决，注意最后求出来的答案需要处理一下，因为需要保证 c 和 e 为正整数

在找 d 和 f 的时候也有技巧，如果 sqrt( n ) 暴力去找的话，会超时，所以可以用埃氏筛预处理一下，保存一下每个数字的最大质因子，这样就可以令 d 为该质因子的幂，然后 f = b / d 了

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=2e6+100;int pri[N];//pri[i]:i的最大质因子为pri[i]template<class T> void exgcd(T a,T b,T &d,T &x,T &y){if(!b) {d=a;x=1;y=0;}else {exgcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}
}
//求解二元一次方程 a*x+b*y=c,一组解为x,y,无解则返回false
template<class T> bool Solve_equation(T a,T b,T c,T &x,T& y){T gcd;exgcd(a,b,gcd,x,y);if(c%gcd) return false;   //无解T k=c/gcd;x*=k;y*=k;T xplus=b/gcd,yplus=a/gcd; if(xplus<0) xplus*=-1;if(yplus<0) yplus*=-1;//此时求出的x,y即为一组解，该方程的通解形式为X=x+t*(b/gcd),Y=y-t*(a/gcd) t为任意正整数//根据题目要求我们需要构造特殊解//x=(x%xplus+xplus)%xplus;y=c-a*x; //x的最小正整数解//y=(y%yplus+yplus)%yplus;x=c-b*y; //y的最小正整数解return true;
}void init()
{pri[1]=1;for(int i=2;i<N;i++)if(!pri[i])//当前的数为质数for(int j=i;j<N;j+=i)pri[j]=i;
}int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);init();int w;cin>>w;while(w--){LL a,b;scanf("%lld%lld",&a,&b);LL gcd=__gcd(a,b);a/=gcd,b/=gcd;if(gcd!=1){printf("%lld %lld %lld %lld\n",a+1,b,1,b);continue;}LL d=1,f=b;while(pri[b]!=1&&f%pri[b]==0){f/=pri[b];d*=pri[b];}if(f==1)//只有一个质因子 {printf("-1 -1 -1 -1\n");continue;}LL c,e;Solve_equation(f,-d,a,c,e);LL k=abs(min(c/d,e/f))+1;c+=d*k,e+=f*k;printf("%lld %lld %lld %lld\n",c,d,e,f);}return 0;
}

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