1 - 行列式 - 矩阵的运算

文章目录

1 - 行列式 - 矩阵的运算
- （一）转置、求逆、伴随矩阵
- - 1）基本运算
  - 2）关键公式
  - 3）可逆、正交、对称矩阵的判断
  - 4）分块矩阵逆矩阵
  - 5）矩阵乘法的“交换律”
- （二）行列式的计算
- - 1）分块矩阵行列式
  - 2）按某一行/列展开
  - 3）副对角线行列式
  - 4）范德蒙德行列式
  - 5）利用特征值
- （三）行列式、矩阵初等变换
- - 1）注意事项
  - 2）符号说明
  - 3）等价矩阵和等价标准型
  - 4）初等变换求逆矩阵
- （四）矩阵的秩
- - 1）初等变换不改变矩阵的秩
  - 2）跟秩相关的几个式子
  - - 1. 由定义可得
    - 2. 其它
- （五）常见处理方法
- - 1）求行列式
  - - 1. 所有行/列加到某一行/列
    - 2. 加边法
    - 3. 转化为矩阵相乘
    - 4. 构建递推式
  - 2）求矩阵的 n 次方
  - - 1. 拆分矩阵
    - 2. 数学归纳法
    - 3. 行列向量相乘
    - - ① 可以转化为行列向量相乘的条件
      - ② 行列向量相乘得到的矩阵的推论
    - 4. 利用相似
- （六）补充的基本解题方法
- - 1）求两个方程组的公共解
  - - 1. 直接联立方程
    - 2. 求得一个方程组的通解代入另一个
    - 3. 求得两个方程组的通解再求解关系
  - 2）同解方程组
  - 3）过渡矩阵
  - - 1. 基变换公式
    - 2. 坐标变换公式
- （七）补充的技巧性解题方法
- - 1）利用秩的 “夹逼”
  - - 例1
    - 例2
  - 2）基础解系等价的充要条件
  - 3）AB=O 用来找解向量

（一）转置、求逆、伴随矩阵

1）基本运算

转置（T）	求逆（-1）	伴随矩阵（*）
(AT)T=A(A^T)^T=A(AT)T=A	(A−1)−1=A(A^{-1})^{-1}=A(A−1)−1=A	(A∗)∗=∣A∣n−2A(A^)^=\lvert A\rvert^{n-2}A(A∗)∗=∣A∣n−2A （可推导）
(kA)T=kAT(kA)^T=kA^T(kA)T=kAT	(kA)−1=k−1A−1(kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}(kA)−1=k−1A−1	(kA)∗=kn−1∣A∣A−1(kA)^*=k^{n-1}\lvert A\rvert A^{-1}(kA)∗=kn−1∣A∣A−1 （可推导）
(AB)T=BTAT(AB)^T=B^TA^T(AB)T=BTAT	(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}(AB)−1=B−1A−1	(AB)∗=B∗A∗(AB)^=B^A^*(AB)∗=B∗A∗
∣AT∣=∣A∣\lvert A^T\rvert = \lvert A\rvert∣AT∣=∣A∣	∣A−1∣=∣A∣−1\lvert A^{-1}\rvert = \lvert A\rvert ^{-1}∣A−1∣=∣A∣−1	∣A∗∣=∣A∣n−1\lvert A^*\rvert = \lvert A\rvert^{n-1}∣A∗∣=∣A∣n−1 （可推导）
(A+B)T=AT+BT(A+B)^T=A^T+B^T(A+B)T=AT+BT	/	/

(A∗)∗=∣A∣n−2A(A^*)^*=\lvert A\rvert^{n-2}A(A∗)∗=∣A∣n−2A 直接用关键公式推导：
(A∗)∗=(∣A∣A−1)∗=∣∣A∣A−1∣⋅(∣A∣A−1)−1=∣A∣n⋅∣A−1∣⋅1∣A∣A=∣A∣n−2A(A^*)^*=(\lvert A\rvert A^{-1})^*=\lvert \lvert A\rvert A^{-1}\rvert \cdot (\lvert A\rvert A^{-1})^{-1}=\lvert A \rvert ^{n} \cdot \lvert A^{-1} \rvert \cdot \frac{1}{\lvert A\rvert} A=\lvert A\rvert^{n-2}A (A∗)∗=(∣A∣A−1)∗=∣∣A∣A−1∣⋅(∣A∣A−1)−1=∣A∣n⋅∣A−1∣⋅∣A∣1A=∣A∣n−2A

(kA)∗=kn−1∣A∣A−1(kA)^*=k^{n-1}\lvert A\rvert A^{-1}(kA)∗=kn−1∣A∣A−1 直接用关键公式推导：
(kA)∗=∣kA∣⋅(kA)−1=kn∣A∣k−1A−1=kn−1∣A∣A−1(kA)^*= \lvert kA \rvert \cdot (kA)^{-1} = k^n \lvert A \rvert k^{-1}A^{-1} = k^{n-1}\lvert A\rvert A^{-1} (kA)∗=∣kA∣⋅(kA)−1=kn∣A∣k−1A−1=kn−1∣A∣A−1

伴随矩阵：
A∗=[A11A21⋯An1A12A22⋯An2⋮⋮⋮A1nA2n⋯Ann]A^*= \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} & \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} & \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix} A∗=⎣⎢⎢⎢⎡A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n⋯⋯⋯An1An2⋮Ann⎦⎥⎥⎥⎤
其下表的排列顺序跟正常的矩阵是转置了的

由其特殊的排列方式，故可能构建与 转置矩阵 有关的方程

2）关键公式

A∗=∣A∣A−1A^*=\lvert A\rvert A^{-1}A∗=∣A∣A−1 （注意要求 AAA 可逆）

A=∣A∣(A∗)−1A=\lvert A \rvert \ (A^*)^{-1}A=∣A∣ (A∗)−1 （两边同取 -1 次方）

AA∗=∣A∣EAA^*=|A|EAA∗=∣A∣E （两边同乘 A）

∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣\lvert AB \rvert=\lvert A \rvert \cdot \lvert B \rvert∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣

∣kA∣=kn∣A∣\lvert kA \rvert = k^n \lvert A \rvert∣kA∣=kn∣A∣

3）可逆、正交、对称矩阵的判断

名称	判别方式
可逆矩阵	∣A∣≠0\vert A \rvert \neq 0∣A∣=0 或 r(An×n)=nr(A_{n\times n})=nr(An×n)=n 或定义
正交矩阵	AAT=E或ATA=EAA^T=E \ 或\ A^TA=EAAT=E 或 ATA=E （即 AT=A−1A^T=A^{-1}AT=A−1）
对称矩阵	AT=AA^T=AAT=A
反对称矩阵	AT=−AA^T=-AAT=−A

【注】 矩阵乘法不满足 交换律 ，所以区分 AATAA^TAAT 和 ATAA^TAATA
【注】 ATA=OorAAT=O⇒A=OA^TA=O\ or\ AA^T=O \Rightarrow A=OATA=O or AAT=O⇒A=O

4）分块矩阵逆矩阵

[AOOB]−1=[A−1OOB−1],[OABO]=[OB−1A−1O]\begin{bmatrix} A & O \\ O & B \\ \end{bmatrix}^{-1}= \begin{bmatrix} A^{-1} & O \\ O & B^{-1} \\ \end{bmatrix},\ \begin{bmatrix} O & A \\ B & O \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \\ \end{bmatrix} [AOOB]−1=[A−1OOB−1], [OBAO]=[OA−1B−1O]

5）矩阵乘法的“交换律”

矩阵乘法一般 不满足交换律
但是下列情况下有类似交换律的运算

AE=EA=AAE=EA=AAE=EA=A

AAn=AnA=An+1AA^n=A^nA=A^{n+1}AAn=AnA=An+1

AA−1=A−1A=EAA^{-1}=A^{-1}A=EAA−1=A−1A=E

AA∗=A∗A=∣A∣EAA^*=A^*A=|A|EAA∗=A∗A=∣A∣E

（二）行列式的计算

1）分块矩阵行列式

∣AOOB∣=∣A∣⋅∣B∣,∣OABO∣=(−1)mn∣A∣⋅∣B∣\begin{vmatrix} A & O \\ O & B \\ \end{vmatrix} = \lvert A \rvert\cdot \lvert B \rvert, \ \begin{vmatrix} O & A \\ B & O \\ \end{vmatrix}=(-1)^{mn}\lvert A \rvert\cdot \lvert B \rvert ∣∣∣∣AOOB∣∣∣∣=∣A∣⋅∣B∣, ∣∣∣∣OBAO∣∣∣∣=(−1)mn∣A∣⋅∣B∣

2）按某一行/列展开

∣A∣=∑j=1naijAij=∑i=1naijAij\lvert A \rvert=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}A_{ij}=\sum_{i=1}^{n} a_{ij}A_{ij} ∣A∣=j=1∑naijAij=i=1∑naijAij

【注】 Aij=(−1)i+jMijA_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}Aij=(−1)i+jMij ； AijA_{ij}Aij 与展开的行/列的元素值无关

可以反向应用公式求行列式的值
也可以正向运用公式把求 AijA_{ij}Aij 的线性加和的问题转化为求行列式的值的问题

3）副对角线行列式

∣0⋯0a1n0⋯a2,n−10⋮⋮⋮an1⋯00∣=(−1)n(n−1)2a1na2,n−1⋯an1\begin{vmatrix} 0 & \cdots & 0 & a_{1n} \\ 0 & \cdots & a_{2,n-1} & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & 0 & 0 \\ \end{vmatrix}= (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n1} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣00⋮an1⋯⋯⋯0a2,n−1⋮0a1n0⋮0∣∣∣∣∣∣∣∣∣=(−1)2n(n−1)a1na2,n−1⋯an1

4）范德蒙德行列式

∣11⋯1x1x2⋯xnx12x22⋯xn2⋮⋮⋮x1n−1x2n−1⋯xnn−1∣=∏1≤i<j≤n(xj−xi)\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \\ \end{vmatrix}= \prod_{1\leq i<j\leq n}(x_j-x_i) ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1x1x12⋮x1n−11x2x22⋮x2n−1⋯⋯⋯⋯1xnxn2⋮xnn−1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=1≤i<j≤n∏(xj−xi)

int ans = 1;
for(j=1;j<=n;j++)for(i=1;i<j;i++)ans *= xj - xi;

5）利用特征值

∏i=1nλi=∣A∣\prod_{i=1}^{n} \lambda_i=\lvert A \rvert i=1∏nλi=∣A∣

∣λE−A∣=0\lvert \lambda E - A \rvert = 0∣λE−A∣=0 ，解得的 λ\lambdaλ 即为特征值

矩阵的迹： tr(A)=∑i=1nλi=∑i=1naiitr(A)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}tr(A)=∑i=1nλi=∑i=1naii

A−1A^{-1}A−1 的特征值为 λ−1\lambda^{-1}λ−1

常用关系
以下关系大部分可用 Aξ=λξA\xi=\lambda\xiAξ=λξ 推导得到

矩阵	AAA	k1A+k2Ek_1A+k_2Ek1A+k2E	AkA^kAk	ATA^TAT	A−1A^{-1}A−1	A∗A^*A∗	f(A)f(A)f(A)	P−1APP^{-1}APP−1AP
特征值	λ\lambdaλ	k1λ+k2k_1\lambda+k_2k1λ+k2	λk\lambda^kλk	λ\lambdaλ	λ−1\lambda^{-1}λ−1	∣A∣λ\frac{\lvert A\rvert}{\lambda}λ∣A∣	f(λ)f(\lambda)f(λ)	λ\lambdaλ
特征向量	ξ\xiξ	ξ\xiξ	ξ\xiξ	需要重新计算	ξ\xiξ	ξ\xiξ	ξ\xiξ	P−1ξP^{-1}\xiP−1ξ

最后一个常用于相似，例如求矩阵A的特征向量时却只给出了如 f(A)=0f(A)=0f(A)=0 的等式关系，可以根据A矩阵符合的等式关系，得到 A=PBP−1A=PBP^{-1}A=PBP−1 ，此时B矩阵可以通过 f(A)=0f(A)=0f(A)=0 明确出来，然后求出 B 矩阵的特征向量，再通过 P−1ξP^{-1}\xiP−1ξ 推出 A 矩阵的特征向量

特征值的其它性质

ξ、η\xi、\etaξ、η 都是属于 λ\lambdaλ 的特征向量，则 k1ξ+k2η,(k1、k2不同时为0)k_1\xi+k_2\eta ,\ (k_1、k_2 不同时为 0)k1ξ+k2η, (k1、k2不同时为0) 仍是属于 λ\lambdaλ 的特征向量
求相似矩阵的 P 矩阵时，可以用特征向量拼得 P 矩阵
实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量必正交（可以用来求特征向量）
λn=tr(A)−∑λi\lambda_n=tr(A)-\sum\lambda_iλn=tr(A)−∑λi （求特征值得技巧）
Ax=0⇒Ax=0xAx=0 \Rightarrow Ax=0xAx=0⇒Ax=0x 暗示了特征值为 0
n 阶矩阵隐含特征值不为 0

（三）行列式、矩阵初等变换

1）注意事项

矩阵的初等变换可能会改变行列式的值；但其行列式是否为 0 是不会变的（初等变换不改变矩阵的秩）
矩阵的初等变换可能会改变其伴随矩阵

2）符号说明

E2(k)E_2(k)E2(k) ：单位矩阵 EEE 的第2 行/列乘 k 倍
E12E_{12}E12 ：单位矩阵 EEE 的第1、2 行/列互换
E12(k)E_{12}(k)E12(k) ：单位矩阵 EEE 的 第2行 的 k 倍加到 第1行 ；E矩阵的 第1列 的 k 倍加到 第2列

行是从右往左 “赋值” ；列相反

三种初等变换都分别有等价的变换形式，所以所有的行变换都可以有列变换的替代，反之亦然；
由此，对于满秩矩阵，可以只靠 初等行变换 或 初等列变换 得到单位矩阵

注：

倍乘互换倍加

[Ei(k)]−1=Ei(k−1)[E_i(k)]^{-1}=E_i(k^{-1})[Ei(k)]−1=Ei(k−1) Eij−1=EijE_{ij}^{-1}=E_{ij}Eij−1=Eij [Eij(k)]−1=Eij(−k)[E_{ij}(k)]^{-1}=E_{ij}(-k)[Eij(k)]−1=Eij(−k)

[Ei(k)]∗=kEi(k−1)[E_{i}(k)]^*=kE_{i}(k^{-1})[Ei(k)]∗=kEi(k−1) Eij∗=−EijE_{ij}^*=-E_{ij}Eij∗=−Eij [Eij(k)]∗=Eij(−k)[E_{ij}(k)]^*=E_{ij}(-k)[Eij(k)]∗=Eij(−k)

倍乘	互换	倍加
[Ei(k)]−1=Ei(k−1)[E_i(k)]^{-1}=E_i(k^{-1})[Ei(k)]−1=Ei(k−1)	Eij−1=EijE_{ij}^{-1}=E_{ij}Eij−1=Eij	[Eij(k)]−1=Eij(−k)[E_{ij}(k)]^{-1}=E_{ij}(-k)[Eij(k)]−1=Eij(−k)
[Ei(k)]∗=kEi(k−1)[E_{i}(k)]^*=kE_{i}(k^{-1})[Ei(k)]∗=kEi(k−1)	Eij∗=−EijE_{ij}^*=-E_{ij}Eij∗=−Eij	[Eij(k)]∗=Eij(−k)[E_{ij}(k)]^*=E_{ij}(-k)[Eij(k)]∗=Eij(−k)

3）等价矩阵和等价标准型

等价具有 传递性

矩阵 Am×n,Bm×nA_{m\times n},B_{m\times n}Am×n,Bm×n ，若存在可逆矩阵 Pm×m,Qn×nP_{m\times m},Q_{n\times n}Pm×m,Qn×n 使得 PAQ=BPAQ=BPAQ=B ，则称 A,BA,BA,B 是等价矩阵，记作 A≅BA \cong BA≅B
若 r(A)=rr(A)=rr(A)=r ，则下面的右侧矩阵是 AAA 的等价标准型；等价标准型唯一

PAQ=[ErOOO]PAQ= \begin{bmatrix} E_r & O \\ O & O \\ \end{bmatrix} PAQ=[ErOOO]

可以通过对单位矩阵 EEE 的一系列 初等行变换 得到 PPP ，PAPAPA 是按照由 EEE 到 PPP 的初等行变换步骤，对 AAA 做初等行变换

可以通过对单位矩阵 EEE 的一系列 初等列变换 得到 QQQ ，AQAQAQ 是按照由 EEE 到 QQQ 的初等列变换步骤，对 AAA 做初等列变换

“左行右列”

4）初等变换求逆矩阵

[A∣E]初等行变换→[E∣A−1]\begin{bmatrix} A|E \end{bmatrix} \underrightarrow{初等行变换} \begin{bmatrix} E|A^{-1} \end{bmatrix} [A∣E]初等行变换[E∣A−1]

[AE]初等列变换→[EA−1]\begin{bmatrix} A \\ E \\ \end{bmatrix} \underrightarrow{初等列变换} \begin{bmatrix} E \\ A^{-1} \\ \end{bmatrix} [AE]初等列变换[EA−1]

（四）矩阵的秩

1）初等变换不改变矩阵的秩

r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ) r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)

2）跟秩相关的几个式子

1. 由定义可得

0≤r(A)≤min{m,n}0\leq r(A)\leq min\{m,n\}0≤r(A)≤min{m,n}

r(kA)=r(A)(k≠0)r(kA)=r(A)(k\neq0)r(kA)=r(A)(k=0)

2. 其它

r(AB)≤min{r(A),r(B)}r(AB)\leq min\{r(A),r(B)\}r(AB)≤min{r(A),r(B)}

若 B 满秩，则 r(AB)=r(A)r(AB)=r(A)r(AB)=r(A)

r(A+B)≤r(A)+r(B)r(A+B)\leq r(A)+r(B)r(A+B)≤r(A)+r(B)

AB=O⇒r(A)+r(B)≤nAB=O \Rightarrow r(A) + r(B) \leq nAB=O⇒r(A)+r(B)≤n

r(A∗)={n,r(A)=n1,r(A)=n−10,r(A)<n−1(此处为An×n)r(A^*)= \begin{cases} n, \qquad r(A)=n \\ 1, \qquad r(A)=n-1 \\ 0, \qquad r(A)<n-1 \\ \end{cases} \qquad (此处为 \ A_{n\times n}) \\ r(A∗)=⎩⎪⎨⎪⎧n,r(A)=n1,r(A)=n−10,r(A)<n−1(此处为 An×n)

（五）常见处理方法

1）求行列式

1. 所有行/列加到某一行/列

例如

∣xa1a2⋯ana1xa2⋯ana1a2x⋯an⋮⋮⋮⋱⋮a1a2a3⋯x∣=(x+∑i=1nai)∣1a1a2⋯an1xa2⋯an1a2x⋯an⋮⋮⋮⋱⋮1a2a3⋯x∣\begin{vmatrix} x & a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ a_1 & x & a_2 & \cdots & a_n \\ a_1 & a_2 & x & \cdots & a_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & x \\ \end{vmatrix} =(x+\sum_{i=1}^na_i) \begin{vmatrix} 1 & a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ 1 & x & a_2 & \cdots & a_n \\ 1 & a_2 & x & \cdots & a_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \\ 1 & a_2 & a_3 & \cdots & x \\ \end{vmatrix} ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣xa1a1⋮a1a1xa2⋮a2a2a2x⋮a3⋯⋯⋯⋱⋯ananan⋮x∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=(x+i=1∑nai)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣111⋮1a1xa2⋮a2a2a2x⋮a3⋯⋯⋯⋱⋯ananan⋮x∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

2. 加边法

例如

∣a1−ba2⋯ana1a2−b⋯an⋮⋮⋱⋮a1a2⋯an−b∣=∣1a1a2⋯an0a1−ba2⋯an0a1a2−b⋯an⋮⋮⋮⋱⋮0a1a2⋯an−b∣\begin{vmatrix} a_1-b & a_2 & \cdots & a_n \\ a_1 & a_2-b & \cdots & a_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n-b \\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ 0 & a_1-b & a_2 & \cdots & a_n \\ 0 & a_1 & a_2-b & \cdots & a_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_n-b \\ \end{vmatrix} \\ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1−ba1⋮a1a2a2−b⋮a2⋯⋯⋱⋯anan⋮an−b∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣100⋮0a1a1−ba1⋮a1a2a2a2−b⋮a2⋯⋯⋯⋱⋯ananan⋮an−b∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

此处加边注意不要改变行列式的值

原式=∣1a1a2⋯an−1−b0⋯0−10−b⋯0⋮⋮⋮⋱⋮−100⋯−b∣=∣1−∑i=1naiba1⋯an0−b⋯0⋮⋮⋮00⋯−b∣原式= \begin{vmatrix} 1 & a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ -1 & -b & 0 & \cdots & 0 \\ -1 & 0 & -b & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -1 & 0 & 0 & \cdots & -b \\ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1-\sum_{i=1}^n\frac{a_i}b & a_1 & \cdots & a_n \\ 0 & -b & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & -b \\ \end{vmatrix} 原式=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1−1−1⋮−1a1−b0⋮0a20−b⋮0⋯⋯⋯⋱⋯an00⋮−b∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣1−∑i=1nbai0⋮0a1−b⋮0⋯⋯⋯an0⋮−b∣∣∣∣∣∣∣∣∣

3. 转化为矩阵相乘

例如求 ∣a1−an,a2−a1,⋯,an−an−1∣\lvert a_1-a_n,a_2-a_1,\cdots,a_{n}-a_{n-1} \rvert∣a1−an,a2−a1,⋯,an−an−1∣
∣a1−an,a2−a1,⋯,an−an−1∣=∣[a1,a2,⋯,an]⋅[1−10⋯0001−1⋯00001⋯00⋮⋮⋮⋮⋮−100⋯01]∣=∣a1,a2,⋯,an∣⋅∣1−10⋯0001−1⋯00001⋯00⋮⋮⋮⋮⋮−100⋯01∣\begin{aligned} &\lvert a_1-a_n,a_2-a_1,\cdots,a_{n}-a_{n-1} \rvert \\ &=\left| [a_1,a_2,\cdots,a_n]\cdot \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \\ -1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix} \right| \\ &=\lvert a_1,a_2,\cdots,a_n\rvert \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \\ -1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{vmatrix} \\ \end{aligned} ∣a1−an,a2−a1,⋯,an−an−1∣=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣[a1,a2,⋯,an]⋅⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡100⋮−1−110⋮00−11⋮0⋯⋯⋯⋯000⋮0000⋮1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣a1,a2,⋯,an∣⋅∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣100⋮−1−110⋮00−11⋮0⋯⋯⋯⋯000⋮0000⋮1∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

4. 构建递推式

例如
Dn=∣210⋯00121⋯00012⋯00⋮⋮⋮⋮⋮000⋯12∣D_n= \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 &2 \end{vmatrix} Dn=∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣210⋮0121⋮0012⋮0⋯⋯⋯⋯000⋮1000⋮2∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

行列式按第一行展开
Dn=2Dn−1+(−1)3∣110⋯00021⋯00012⋯00⋮⋮⋮⋮⋮000⋯12∣n−1=2Dn−1−Dn−2D_n=2D_{n-1}+(-1)^3 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 &2 \end{vmatrix}_{n-1} =2D_{n-1}-D_{n-2} Dn=2Dn−1+(−1)3∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣100⋮0121⋮0012⋮0⋯⋯⋯⋯000⋮1000⋮2∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣n−1=2Dn−1−Dn−2

其中
D1=2D2=∣2112∣=3\begin{aligned} &D_1=2 \\ &D_2= \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{vmatrix}=3 \end{aligned} D1=2D2=∣∣∣∣2112∣∣∣∣=3

2）求矩阵的 n 次方

1. 拆分矩阵

例如矩阵
A=[123014001]=[100010001]+[023004000]A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} A=⎣⎡100210341⎦⎤=⎣⎡100010001⎦⎤+⎣⎡000200340⎦⎤

元素全部 在主对角线上 的矩阵的 n 次方很好求
元素全部 在主对角线一侧 的矩阵，通常 ∃N∈N∗,使得n>N时有An=O\exist\ N\in N^*,使得\ n>N \ 时有 A^n=O∃ N∈N∗,使得 n>N 时有An=O ；例如此处除 E 以外另一个矩阵的 3 次方就为零矩阵了
利用 多项式定理 展开求矩阵的 n 次方即可
例如此处
An=En+nEn−1B+n(n−1)2En−2B2A^n=E^n+nE^{n-1}B+\frac{n(n-1)}{2}E^{n-2}B^2 An=En+nEn−1B+2n(n−1)En−2B2

2. 数学归纳法

给定一个关于 n 的递推式

看 n=0n=0n=0 时，递推式是否成立
假设 n=n−1n = n - 1n=n−1 时成立
证明 n=n−1n = n - 1n=n−1 成立的时候， n=nn=nn=n 时递推式成立

3. 行列向量相乘

假设有行向量 α、β\alpha、\betaα、β ， A=αβTA=\alpha\beta ^TA=αβT
利用向量相乘的 结合律 ，有
An=α(βTα)(βTα)⋯(βTα)βTA^n=\alpha(\beta^T\alpha)(\beta^T\alpha)\cdots(\beta^T\alpha)\beta^T An=α(βTα)(βTα)⋯(βTα)βT
其中 βTα\beta^T\alphaβTα 是个常数

所以可以将矩阵拆成两个一维向量相乘的形式再求其 n 次方
例如
[3−1−93]=[1−3][3−1]−−−−−−−−−−−−−−−−[3−1−93]n=[1−3](6n−1)[3−1]\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -9 & 3 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ \end{bmatrix}\\ ----------------\\ \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -9 & 3 \\ \end{bmatrix}^n= \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \\ \end{bmatrix} (6^{n-1}) \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ \end{bmatrix}\\ [3−9−13]=[1−3][3−1]−−−−−−−−−−−−−−−−[3−9−13]n=[1−3](6n−1)[3−1]

① 可以转化为行列向量相乘的条件

考虑两行向量 α=[a1,a2,⋯,an]\alpha=[a_1,a_2,\cdots,a_n]α=[a1,a2,⋯,an] ， β=[b1,b2,⋯,bn]\beta=[b_1,b_2,\cdots,b_n]β=[b1,b2,⋯,bn]
αTβ=[a1b1a1b2⋯a1bna2b1a2b2⋯a2bn⋮⋮⋮anb1anb2⋯anbn]\alpha^T\beta= \begin{bmatrix} a_1b_1 & a_1b_2 & \cdots & a_1b_n \\ a_2b_1 & a_2b_2 & \cdots & a_2b_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \\ a_nb_1 & a_nb_2 & \cdots & a_nb_n \\ \end{bmatrix} αTβ=⎣⎢⎢⎢⎡a1b1a2b1⋮anb1a1b2a2b2⋮anb2⋯⋯⋯a1bna2bn⋮anbn⎦⎥⎥⎥⎤

将其余所有列的一倍加到第一列，于是有
αTβ=[a1∑i=1nbia1b2⋯a1bna2∑i=1nbia2b2⋯a2bn⋮⋮⋮an∑i=1nbianb2⋯anbn]\alpha^T\beta= \begin{bmatrix} a_1\sum_{i=1}^nb_i & a_1b_2 & \cdots & a_1b_n \\ a_2\sum_{i=1}^nb_i & a_2b_2 & \cdots & a_2b_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \\ a_n\sum_{i=1}^nb_i & a_nb_2 & \cdots & a_nb_n \\ \end{bmatrix} αTβ=⎣⎢⎢⎢⎡a1∑i=1nbia2∑i=1nbi⋮an∑i=1nbia1b2a2b2⋮anb2⋯⋯⋯a1bna2bn⋮anbn⎦⎥⎥⎥⎤
于是有
αTβ=∑i=1nbi[a1a1b2⋯a1bna2a2b2⋯a2bn⋮⋮⋮ananb2⋯anbn]\alpha^T\beta=\sum_{i=1}^nb_i \begin{bmatrix} a_1 & a_1b_2 & \cdots & a_1b_n \\ a_2 & a_2b_2 & \cdots & a_2b_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \\ a_n & a_nb_2 & \cdots & a_nb_n \\ \end{bmatrix} αTβ=i=1∑nbi⎣⎢⎢⎢⎡a1a2⋮ana1b2a2b2⋮anb2⋯⋯⋯a1bna2bn⋮anbn⎦⎥⎥⎥⎤
可以看到从第二列开始，都是第一列的倍数，所以
αTβ=∑i=1nbi[a10⋯0a20⋯0⋮⋮⋮an0⋯0]\alpha^T\beta=\sum_{i=1}^nb_i \begin{bmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \\ a_n & 0 & \cdots & 0 \\ \end{bmatrix} αTβ=i=1∑nbi⎣⎢⎢⎢⎡a1a2⋮an00⋮0⋯⋯⋯00⋮0⎦⎥⎥⎥⎤
所以得到结论：

两向量相乘得到的矩阵， rank≤1rank\leq1rank≤1

rank≤1rank\leq1rank≤1 的矩阵可以化为两向量相乘的形式

② 行列向量相乘得到的矩阵的推论

此处假定 αβ\alpha\betaαβ均为行向量
αTβ=[a1b1a1b2⋯a1bna2b1a2b2⋯a2bn⋮⋮⋮anb1anb2⋯anbn]\alpha^T\beta= \begin{bmatrix} a_1b_1 & a_1b_2 & \cdots & a_1b_n \\ a_2b_1 & a_2b_2 & \cdots & a_2b_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \\ a_nb_1 & a_nb_2 & \cdots & a_nb_n \\ \end{bmatrix} αTβ=⎣⎢⎢⎢⎡a1b1a2b1⋮anb1a1b2a2b2⋮anb2⋯⋯⋯a1bna2bn⋮anbn⎦⎥⎥⎥⎤
注意，初等变换会改变矩阵的迹(trace)
由上面的式子易知

αTα\alpha^T\alphaαTα 是对称矩阵

tr(αTβ)=αβT=∑i=1nλitr(\alpha^T\beta)=\alpha\beta^T=\sum_{i=1}^{n} \lambda_itr(αTβ)=αβT=∑i=1nλi

又因为 r(αTβ)=1r(\alpha^T\beta)=1r(αTβ)=1 且 ∑i=1nλi=αβT\sum_{i=1}^{n} \lambda_i=\alpha\beta^T∑i=1nλi=αβT ，所以

αTβ\alpha^T\betaαTβ 的特征值为 αβT\alpha\beta^TαβT 和 n-1 个 0

4. 利用相似

由相似有 An=PΛnP−1A^n=P\Lambda^nP^{-1}An=PΛnP−1 ，可以求出矩阵 A 的相似对角阵的 n 次方，然后再导出 A 的 n 次方
对角阵的 n 次方很好求

（六）补充的基本解题方法

1）求两个方程组的公共解

1. 直接联立方程

求 Ax=0、Bx=0Ax=0、Bx=0Ax=0、Bx=0 的公共解，即联立方程组的解：
[AB]x=0\begin{bmatrix} A \\ B \\ \end{bmatrix}x=0 [AB]x=0

2. 求得一个方程组的通解代入另一个

3. 求得两个方程组的通解再求解关系

Ax=0Ax=0Ax=0 的通解为 k1ξ1+k2ξ2+⋯+kmξmk_1\xi_1+k2\xi_2+\cdots+k_m\xi_mk1ξ1+k2ξ2+⋯+kmξm ， Bx=0Bx=0Bx=0 的通解为 l1η1+l2η2+⋯+lnηnl_1\eta_1+l_2\eta_2+\cdots+l_n\eta_nl1η1+l2η2+⋯+lnηn ，求公共解时，两通解应相等，即
k1ξ1+k2ξ2+⋯+kmξm=l1η1+l2η2+⋯+lnηnk_1\xi_1+k2\xi_2+\cdots+k_m\xi_m=l_1\eta_1+l_2\eta_2+\cdots+l_n\eta_n k1ξ1+k2ξ2+⋯+kmξm=l1η1+l2η2+⋯+lnηn
解上面的方程得到 li、kjl_i、k_jli、kj 的关系后，得到的即为公共解

2）同解方程组

Ax=0Ax=0Ax=0 和 Bx=0Bx=0Bx=0 是同解方程组

⇔\Leftrightarrow⇔ Ax=0Ax=0Ax=0 的解满足 Bx=0Bx=0Bx=0 且 Bx=0Bx=0Bx=0 的解满足 Ax=0Ax=0Ax=0

⇔\Leftrightarrow⇔ r(A)=r(B)r(A)=r(B)r(A)=r(B) 且 Ax=0Ax=0Ax=0 的解满足 Bx=0Bx=0Bx=0 或 Bx=0Bx=0Bx=0 的解满足 Ax=0Ax=0Ax=0

⇔\Leftrightarrow⇔ r(A)=r(B)=r([AB])r(A)=r(B)=r(\begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix})r(A)=r(B)=r([AB]) （三秩相同比较方便）

3）过渡矩阵

1. 基变换公式

由基 AAA 到 BBB 的变换，其中 CCC 是过渡矩阵，且过渡矩阵是 可逆矩阵
B=ACB=AC B=AC

2. 坐标变换公式

在基 A 下的坐标为 x，在基 B 下的坐标为 y；C 是过渡矩阵，x=Cy 称为 y
y=C−1x或x=Cyy=C^{-1}x\ 或 \ x=Cy y=C−1x 或 x=Cy

当然坐标变换也可以转化为一般求方程组的问题

（七）补充的技巧性解题方法

1）利用秩的 “夹逼”

例1

已知 Ax=0Ax=0Ax=0 有两个线性无关的解向量，则 r(A)≥2r(A)\geq2r(A)≥2

又已知 AB=OAB=OAB=O ，且 ABABAB 都是三阶矩阵，则 r(A)+r(B)≤3r(A)+r(B)\leq3r(A)+r(B)≤3

还已知 BBB 是非零矩阵，所以 r(B)≠0r(B)\neq0r(B)=0

综上可知 r(B)=1r(B)=1r(B)=1

例2

已知 Am×nA_{m\times n}Am×n ， Bn×mB_{n\times m}Bn×m ， AB=EmAB=E_mAB=Em

于是有：

m≥r(A)≥r(AB)=mm\geq r(A)\geq r(AB)=mm≥r(A)≥r(AB)=m

m≥r(B)≥r(AB)=mm\geq r(B)\geq r(AB)=mm≥r(B)≥r(AB)=m

所以 r(A)=r(B)=mr(A)=r(B)=mr(A)=r(B)=m ，即 A 的行向量组线性无关；B 的列向量组线性无关

其中主要利用 秩的不等式 和 基础解系的数量

2）基础解系等价的充要条件

[β1,β2,⋯,βn]=[α1,α2,⋯,αn]A[\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n]=[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n]A[β1,β2,⋯,βn]=[α1,α2,⋯,αn]A ， AAA 矩阵满秩

则基础解系 [β1,β2,⋯,βn][\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n][β1,β2,⋯,βn] 、 [α1,α2,⋯,αn][\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n][α1,α2,⋯,αn] 等价

3）AB=O 用来找解向量

如果题目中给了 AB=OAB=OAB=O 参照 Ax=0Ax=0Ax=0 可知

B 矩阵的每一个列向量都是 Ax=0Ax=0Ax=0 的解向量

其中最常见的情况由关键公式推出，即

A∗=∣A∣A−1A^*=|A|A^{-1}A∗=∣A∣A−1 ，两边同时乘 A 得到 AA∗=∣A∣EAA^*=|A|EAA∗=∣A∣E 当 A 不满秩时，可以得到 AA∗=∣A∣E=OAA^*=|A|E=OAA∗=∣A∣E=O

即得到了 AA∗=OAA^*=OAA∗=O ， A∗A^*A∗ 的每一个列向量都是 Ax=0Ax=0Ax=0 的解

所以一般来讲，只有 r(A)=n−1r(A)=n-1r(A)=n−1 时，才会有 ∣A∣=0|A|=0∣A∣=0 ，而此时 r(A∗)=1r(A^*)=1r(A∗)=1 ，即只有一个解