1 矩阵概念

1.1 矩阵的定义

m × n m \times n m×n 个数，构成的 m m m 行 n n n 列的数表

[ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ] \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎡​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮amn​​⎦⎥⎥⎥⎤​

称为 m m m 行 n n n 列 矩阵，简称 m × n m \times n m×n 矩阵

1.2 与行列式的区别

	行列式	矩阵
本质	一个数	数表
符号	| |	( ) []
形状	行数 = 列数 （方的）	行数不一定等于列数

1.3 矩阵分类

1.3.1 实矩阵与复矩阵

元素是实数的矩阵称为实矩阵

元素是复数的矩阵称为复矩阵

1.3.2 零矩阵

元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作

O m × n = [ 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ] O _ {m \times n} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0\\ \end{bmatrix} Om×n​=⎣⎢⎢⎢⎡​00⋮0​00⋮0​⋯⋯⋯​00⋮0​⎦⎥⎥⎥⎤​

1.3.3 方阵

行数与列数相同的矩阵称为方阵

1.3.4 行矩阵与列矩阵

只有一列的矩阵称为列矩阵（列向量），常用 a , α , x a, \alpha, x a,α,x 表示

只有一行的矩阵称为行矩阵（行向量），常用 a T , α T , x T a ^ T, \alpha ^ T, x ^ T aT,αT,xT 表示

1.3.5 单位阵

对角线上元素全是 1 1 1 ，其他元素全是 0 0 0 ，的方阵称为单位阵，记作：

E n = [ 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ] E _ n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1\\ \end{bmatrix} En​=⎣⎢⎢⎢⎡​10⋮0​01⋮0​⋯⋯⋯​00⋮1​⎦⎥⎥⎥⎤​

1.3.6 同型矩阵

两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵

若两个矩阵为同型矩阵，且它们对应元素相等，即

a i j = b i j ( i = 1 , 2 , ⋯   , m ; j = 1 , 2 , ⋯   , n ) a_{ij} = b_{ij} (i = 1, 2, \cdots, m; j = 1, 2, \cdots, n) aij​=bij​(i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,n)

那么就称矩阵 A A A 与矩阵 B B B 相等，记作

A = B A = B A=B

注意：不同型的零矩阵是不同的

2 矩阵的运算

2.1 矩阵的加减法

只有同型矩阵才能相加减

A + B = [ a 11 + b 11 a 12 + b 12 ⋯ a 1 n + b 1 n a 21 + b 21 a 22 + b 22 ⋯ a 2 n + b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 + b m 1 a m 2 + b m 2 ⋯ a m n + b m n ] A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n}\\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn}\\ \end{bmatrix} A+B=⎣⎢⎢⎢⎡​a11​+b11​a21​+b21​⋮am1​+bm1​​a12​+b12​a22​+b22​⋮am2​+bm2​​⋯⋯⋯​a1n​+b1n​a2n​+b2n​⋮amn​+bmn​​⎦⎥⎥⎥⎤​

A − B = [ a 11 − b 11 a 12 − b 12 ⋯ a 1 n − b 1 n a 21 − b 21 a 22 − b 22 ⋯ a 2 n − b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 − b m 1 a m 2 − b m 2 ⋯ a m n − b m n ] A - B = \begin{bmatrix} a_{11} - b_{11} & a_{12} - b_{12} & \cdots & a_{1n} - b_{1n}\\ a_{21} - b_{21} & a_{22} - b_{22} & \cdots & a_{2n} - b_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{m1} - b_{m1} & a_{m2} - b_{m2} & \cdots & a_{mn} - b_{mn}\\ \end{bmatrix} A−B=⎣⎢⎢⎢⎡​a11​−b11​a21​−b21​⋮am1​−bm1​​a12​−b12​a22​−b22​⋮am2​−bm2​​⋯⋯⋯​a1n​−b1n​a2n​−b2n​⋮amn​−bmn​​⎦⎥⎥⎥⎤​

矩阵加减法满足：

交换律 A + B = B + A A + B = B + A A+B=B+A

结合律 A + ( B + C ) = ( A + B ) + C A + (B + C) = (A + B) + C A+(B+C)=(A+B)+C

2.2 矩阵的数乘运算

数 λ \lambda λ 与矩阵 A A A 的乘积记作 λ A \lambda A λA 或者 A λ A \lambda Aλ，规定为

λ A = A λ = [ λ a 11 λ a 12 ⋯ λ a 1 n λ a 21 λ a 22 ⋯ λ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ λ a m 1 λ a m 2 ⋯ λ a m n ] \lambda A = A \lambda = \begin{bmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n}\\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ \lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn}\\ \end{bmatrix} λA=Aλ=⎣⎢⎢⎢⎡​λa11​λa21​⋮λam1​​λa12​λa22​⋮λam2​​⋯⋯⋯​λa1n​λa2n​⋮λamn​​⎦⎥⎥⎥⎤​

提公因子：

• 矩阵所有元素均有公因子，公因子外提一次
• 行列式中，某一行有公因子便提一次，所有元素均有公因子，公因子外提 n n n 次

矩阵数乘运算满足：

( λ μ ) A = λ ( μ A ) (\lambda \mu) A = \lambda (\mu A) (λμ)A=λ(μA)

( λ + μ ) A = λ A + μ A (\lambda + \mu) A = \lambda A + \mu A (λ+μ)A=λA+μA

λ ( A + B ) = λ A + λ B \lambda (A + B) = \lambda A + \lambda B λ(A+B)=λA+λB

2.3 矩阵乘法

2.3.1 定义

矩阵相乘的前提： 第一个矩阵的列数 = 第二个矩阵的行数

结果矩阵的形状： 第一个矩阵的行数 × \times × 第二个矩阵的列数

A m × n B n × s = C m × s A _ {m \times n} B _ {n \times s} = C _ {m \times s} Am×n​Bn×s​=Cm×s​

其中

c i j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 + ⋯ + a i n b n j c_{ij} = a_{i1}b_{1j} +a_{i2}b_{2} + \cdots + a_{in}b_{nj} cij​=ai1​b1j​+ai2​b2​+⋯+ain​bnj​

2.3.2 注意点

2.3.2.1 不一定满足交换律

A B AB AB 不一定等于 B A BA BA， A B AB AB 有意义， B A BA BA 不一定有意义。

如果 A B = B A AB = BA AB=BA ，则称 A A A 与 B B B 是可交换的

2.3.2.2 没有零元

A = [ 2 0 − 1 0 ] B = [ 0 0 1 3 ] C = [ 0 0 2 4 ] A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} C = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} A=[2−1​00​]B=[01​03​]C=[02​04​]

计算可得 A B = 0 AB = 0 AB=0 且 A C = 0 AC = 0 AC=0，因此

两个非零矩阵乘积可能为零

A B = 0 AB = 0 AB=0 不能推出 A = 0 A = 0 A=0 或者 B = 0 B = 0 B=0

A B = A C AB = AC AB=AC 且 A A A 不为零矩阵，不能推出 B = C B = C B=C

2.3.3 性质

2.3.3.1 满足结合律与分配律

( A B ) C = A ( B C ) (AB)C = A(BC) (AB)C=A(BC)

A ( B + C ) = A B + A C , ( A + B ) C = A C + B C A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC

注意分配律中 左乘 与 右乘 顺序不可变

2.3.3.2 与零矩阵相乘

A m × n O n × s = O m × s A _ {m \times n} O _ {n \times s} = O _ {m \times s} Am×n​On×s​=Om×s​

2.3.3.3 与单位阵相乘

A E = A , E B = B AE = A, EB = B AE=A,EB=B

2.4 矩阵的幂（只有方阵才有幂）

2.4.1 定义

A k = A A ⋯ A ( k 个 A 相 乘 ) ， A 0 = E A ^ k = AA \cdots A (k 个 A 相乘) ，A ^ 0 = E Ak=AA⋯A(k个A相乘)，A0=E

2.4.2 性质

A k 1 + k 2 = A k 1 A k 2 A ^ {k _ 1 + k _ 2} = A ^ {k_1} A ^ {k_2} Ak1​+k2​=Ak1​Ak2​

( A k 1 ) k 2 = A k 1 k 2 (A ^ {k_1}) ^ {k _ 2} = A ^ {k_1 k_2} (Ak1​)k2​=Ak1​k2​

2.4.3 注意点

( A B ) k (AB)^k (AB)k 不一定等于 A k B k A ^ k B ^ k AkBk，只有当 A , B A, B A,B可交换时才相等

同理 ( A + B ) 2 (A + B) ^ 2 (A+B)2 不一定等于 A 2 + 2 A B + B 2 A ^ 2 + 2AB + B ^ 2 A2+2AB+B2，只有当 A , B A, B A,B可交换时才相等

( A − B ) 2 (A - B) ^ 2 (A−B)2 不一定等于 A 2 − 2 A B + B 2 A ^ 2 - 2AB + B ^ 2 A2−2AB+B2，只有当 A , B A, B A,B可交换时才相等

2.4.4 例题

A = [ 1 1 1 ] B = [ 1 2 3 ] A = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} A=⎣⎡​111​⎦⎤​B=[1​2​3​]

求 A B AB AB， B A BA BA， ( A B ) 2 (AB) ^ 2 (AB)2， ( A B ) 10 (AB) ^ {10} (AB)10

A B = [ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ] AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} AB=⎣⎡​111​222​333​⎦⎤​

B A = 6 BA = 6 BA=6

( A B ) 2 = A B A B = A ( B A ) B = A × 6 × B = 6 A B = 6 [ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ] (AB)^2 = ABAB = A(BA)B = A \times 6 \times B = 6AB = 6\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} (AB)2=ABAB=A(BA)B=A×6×B=6AB=6⎣⎡​111​222​333​⎦⎤​

( A B ) 10 = A B A ⋯ B A B = A ( B A ) ⋯ ( B A ) B = A × 6 9 × B = 6 9 A B = 6 9 [ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ] (AB)^{10} = AB A\cdots BAB = A(BA)\cdots(BA)B = A \times 6^9 \times B = 6^9AB = 6^9\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} (AB)10=ABA⋯BAB=A(BA)⋯(BA)B=A×69×B=69AB=69⎣⎡​111​222​333​⎦⎤​

2.5 矩阵的转置

2.5.1 定义

把矩阵 A A A 的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做 A A A 的转置矩阵，记作 A T A ^ T AT

2.5.2 运算规律

• ( A T ) T = A (A ^ T) ^ T = A (AT)T=A
• ( A + B ) T = A T + B T (A + B) ^ T = A ^ T + B ^ T (A+B)T=AT+BT
• ( λ A ) T = λ A T (\lambda A) ^ T = \lambda A ^ T (λA)T=λAT
• ( A B ) T = B T A T (AB) ^ T = B ^ T A ^ T (AB)T=BTAT
• ( A B C D ) T = D T C T B T A T (ABCD) ^ T = D ^ T C ^ T B ^ T A ^ T (ABCD)T=DTCTBTAT

3 特殊矩阵（方阵）

3.1 数量矩阵

主对角线元素全为 a a a，其他元素全为 0 0 0 的矩阵

[ a 0 ⋯ 0 0 a ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ a ] = a E \begin{bmatrix} a & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a \\ \end{bmatrix} = a E ⎣⎢⎢⎢⎡​a0⋮0​0a⋮0​⋯⋯⋯​00⋮a​⎦⎥⎥⎥⎤​=aE

零矩阵和单位阵都是特殊的数量矩阵

3.2 对角形矩阵

[ a 1 0 ⋯ 0 0 a 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ a n ] = d i a g ( a 1 , a 2 , ⋯   , a n ) \begin{bmatrix} a _ 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a _ 2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a _ n \\ \end{bmatrix} = diag(a_1, a_2, \cdots, a_n) ⎣⎢⎢⎢⎡​a1​0⋮0​0a2​⋮0​⋯⋯⋯​00⋮an​​⎦⎥⎥⎥⎤​=diag(a1​,a2​,⋯,an​)

3.3 上（下）三角形矩阵

主对角线以下的元素全为零的矩阵叫上三角矩阵

[ a 11 a 12 ⋯ a 1 n 0 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ a m n ] \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & a_{mn}\\ \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎡​a11​0⋮0​a12​a22​⋮0​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮amn​​⎦⎥⎥⎥⎤​

3.4 对称与反对称矩阵

3.4.1 对称矩阵

3.4.1.1 定义

[ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ] \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎡​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮amn​​⎦⎥⎥⎥⎤​

其中 a i j = a j i a _ {ij} = a_ {ji} aij​=aji​

3.4.1.2 性质

A T = A A ^ T = A AT=A

若 A , B A, B A,B 同阶对称

• ( A + B ) T = A T + B T = A + B (A + B) ^ T = A ^ T + B ^ T = A + B (A+B)T=AT+BT=A+B
• ( A − B ) T = A T − B T = A − B (A - B) ^ T = A ^ T - B ^ T = A - B (A−B)T=AT−BT=A−B
• ( k A ) T = k A T = k A (kA) ^ T = k A ^ T = k A (kA)T=kAT=kA
• ( A B ) T = B T A T = B A (AB) ^ T = B^T A^T = BA (AB)T=BTAT=BA

3.4.2.3 定理

• A , B A, B A,B 对称当且仅当 A , B A, B A,B 可交换

3.4.2 反对称矩阵

3.4.2.1 定义

[ 0 a 12 ⋯ a 1 n a 21 0 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ 0 ] \begin{bmatrix} 0 & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & 0 & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & 0\\ \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎢⎡​0a21​⋮am1​​a12​0⋮am2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮0​⎦⎥⎥⎥⎤​

其中 a i j = − a j i a _ {ij} = - a_ {ji} aij​=−aji​

性质： A T = − A A ^ T = - A AT=−A

4 逆矩阵

4.1 方阵的行列式

4.1.1 定义

由 n n n 阶方阵 A A A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵 A A A 的行列式，记作 d e t A det A detA 或 ∣ A ∣ |A| ∣A∣

4.1.2 运算规则

• ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ |A ^ T| = |A| ∣AT∣=∣A∣
• ∣ λ A ∣ = λ n ∣ A ∣ |\lambda A| = \lambda ^ n |A| ∣λA∣=λn∣A∣
• ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ |AB| = |A| |B| ∣AB∣=∣A∣∣B∣

4.1.3 伴随矩阵

4.1.3.1 定义

行列式 ∣ A ∣ |A| ∣A∣ 的各个元素的代数余子式 A i j A_{ij} Aij​ 所构成的如下的矩阵

A ∗ = [ A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n ] A^{*} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn}\\ \end{bmatrix} A∗=⎣⎢⎢⎢⎡​A11​A12​⋮A1n​​A21​A22​⋮A2n​​⋯⋯⋯​An1​An2​⋮Ann​​⎦⎥⎥⎥⎤​

称为矩阵 A A A 的伴随矩阵，简称伴随阵。

4.1.3.2 注意点

注意代数余子式的顺序，原矩阵的第一行的元素所对应的代数余子式是伴随矩阵的第一列（按行求得代数余子式按列放置构成伴随矩阵）

4.1.3.3 性质

由于：

a j 1 A i 1 + a j 2 A i 2 + ⋯ + a j n A i n = { D if  i = j 0 else a_{j1} A_{i1} + a_{j2} A_{i2} + \cdots + a_{jn} A_{in} = \begin{cases} D &\text{if } i = j \\ 0 &\text{else} \end{cases} aj1​Ai1​+aj2​Ai2​+⋯+ajn​Ain​={D0​if i=jelse​

所以有性质如下：

A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E A A^* = A^* A = |A| E AA∗=A∗A=∣A∣E

推论：

无论 ∣ A ∣ |A| ∣A∣ 是否为零，都有

∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 |A^*| = |A| ^ {n - 1} ∣A∗∣=∣A∣n−1

4.2 逆矩阵的定义

对于 n n n 阶矩阵 A A A，如果有一个 n n n 阶矩阵 B B B，使

A B = B A = E AB = BA = E AB=BA=E

则说矩阵 A A A 是可逆的，并把矩阵 B B B 称为矩阵 A A A 的逆矩阵，简称逆阵

A A A 的逆矩阵记作 A − 1 A ^ {-1} A−1。即若 A B = B A = E AB = BA = E AB=BA=E，则 B = A − 1 B = A ^ {-1} B=A−1

4.3 逆矩阵的性质

• 如果矩阵 A A A 是可逆的，那么 A A A 的逆矩阵是唯一的

• 矩阵 A A A 可逆 当且仅当 ∣ A ∣ |A| ∣A∣ 不为零 （非奇异方阵 非退化 满秩）

• A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A ^ {-1} = \frac{1}{|A|} A ^ * A−1=∣A∣1​A∗，其中 A ∗ A ^ * A∗ 为矩阵 A A A 的伴随矩阵

4.4 逆矩阵的运算规律

• 若 A A A 可逆，则 A − 1 A ^ {-1} A−1 亦可逆，且 ( A − 1 ) − 1 = A (A ^ {-1}) ^ {-1} = A (A−1)−1=A
• 若 A A A 可逆，数 λ \lambda λ 不为零，则 λ A \lambda A λA 可逆，且 ( λ A ) − 1 = 1 λ A − 1 (\lambda A) ^ {-1} = \frac{1}{\lambda} A ^ {-1} (λA)−1=λ1​A−1
• 若 A , B A, B A,B 为同阶矩阵且均可逆，则 A B AB AB 亦可逆，且 ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB) ^ {-1} = B ^ {-1} A ^ {-1} (AB)−1=B−1A−1
• ( A B C D ) − 1 = D − 1 C − 1 B − 1 A − 1 (ABCD) ^ {-1} = D ^ {-1} C ^ {-1} B ^ {-1} A ^ {-1} (ABCD)−1=D−1C−1B−1A−1
• 若 A A A 可逆，则 A T A ^ T AT 亦可逆，且 ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T (A ^ T) ^ {-1} = (A ^ {-1}) ^ T (AT)−1=(A−1)T
• 若 A A A 可逆，则 ∣ A − 1 ∣ = ∣ A ∣ − 1 |A ^ {-1}| = |A| ^ {-1} ∣A−1∣=∣A∣−1
• 若 A A A 可逆，则 A ∗ A ^ * A∗ 也可逆， ( A ∗ ) − 1 = 1 ∣ A ∣ A (A ^ *) ^ {-1} = \frac{1}{|A|} A (A∗)−1=∣A∣1​A

4.5 逆矩阵的求法

4.5.1 伴随矩阵法

4.5.2 初等变换法

4.6 逆矩阵的初步应用

4.6.1 例题1

4.6.1.1题目描述

已知 A + B = A B A + B = AB A+B=AB ， 求 ( A − E ) (A - E) (A−E) 的逆矩阵

4.6.1.2 解题思路

A + B = A B A B − A − B + E = E A ( B − E ) − ( B − E ) = E ( A − E ) ( B − E ) = E A + B = AB \\ AB - A - B + E = E \\ A(B - E) - (B - E) = E \\ (A - E)(B - E) = E A+B=ABAB−A−B+E=EA(B−E)−(B−E)=E(A−E)(B−E)=E

所以 ( A − E ) (A - E) (A−E) 的逆矩阵为 ( B − E ) (B - E) (B−E)

4.6.1.3 技巧总结

非具体的矩阵求逆，充分运用性质：

若 A B = B A = E AB = BA = E AB=BA=E，则 B = A − 1 B = A ^ {-1} B=A−1

将等式左侧分解为 待求矩阵与另一矩阵的乘积，右侧凑出 单位矩阵 E E E

4.6.2 例题2

4.6.1.1题目描述

已知 A 2 + A − 4 E = 0 A^2 + A - 4E = 0 A2+A−4E=0 ， 求 ( A − E ) (A - E) (A−E) 的逆矩阵

4.6.1.2 解题思路

A 2 + A − 4 E = 0 ( A − E ) ( A + 2 E ) − 2 E = 0 ( A − E ) ( A + 2 E ) = 2 E ( A − E ) 1 2 ( A + 2 E ) = E A^2 + A - 4E = 0 \\ (A - E)(A + 2E) - 2E = 0 \\ (A - E)(A + 2E) = 2E \\ (A - E)\frac{1}{2}(A + 2E) = E A2+A−4E=0(A−E)(A+2E)−2E=0(A−E)(A+2E)=2E(A−E)21​(A+2E)=E

所以 ( A − E ) (A - E) (A−E) 的逆矩阵为 1 2 ( A + 2 E ) \frac{1}{2}(A + 2E) 21​(A+2E)

4.6.1.3 技巧总结

非具体的矩阵求逆，充分运用性质：

若 A B = B A = E AB = BA = E AB=BA=E，则 B = A − 1 B = A ^ {-1} B=A−1

将等式左侧分解为 待求矩阵与另一矩阵的乘积，右侧凑出 单位矩阵 E E E

4.6.3 解矩阵方程

4.6.3.1 题目描述

已知
[ 4 2 3 1 1 0 − 1 2 3 ] \begin{bmatrix} 4 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 0\\ -1 & 2 & 3\\ \end{bmatrix} ⎣⎡​41−1​212​303​⎦⎤​

求解矩阵方程 A X = A + 2 X AX = A + 2X AX=A+2X

4.6.3.2 解题思路

A X = A + 2 X A X − 2 X = A ( A − 2 E ) X = A AX = A + 2X \\ AX - 2X = A \\ (A - 2E)X = A AX=A+2XAX−2X=A(A−2E)X=A

( A − 2 E ) = [ 2 2 3 1 − 1 0 − 1 2 1 ] (A - 2E) = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 3\\ 1 & -1 & 0\\ -1 & 2 & 1\\ \end{bmatrix} (A−2E)=⎣⎡​21−1​2−12​301​⎦⎤​

经过计算

∣ A − 2 E ∣ = − 1 |A - 2E| = -1 ∣A−2E∣=−1

因此 ( A − 2 E ) (A - 2E) (A−2E) 可逆

( A − 2 E ) − 1 ( A − 2 E ) X = ( A − 2 E ) A X = ( A − 2 E ) A (A - 2E) ^ {-1} (A - 2E) X = (A - 2E) A \\ X = (A - 2E) A (A−2E)−1(A−2E)X=(A−2E)AX=(A−2E)A

4.6.3.3 技巧总结

1. 矩阵多项式 提公因式时注意方向（左乘还是右乘）
2. 矩阵不可与数运算，记得乘上单位阵
3. 矩阵不可做分母
4. 先证明可逆，再借助逆矩阵运算

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