线性代数：第二章矩阵及其运算：逆矩阵、分块矩阵

第一节矩阵及其运算

一．数学概念

定义1.1 由个数排成m行n列的数表

称为m行n列的矩阵，简称矩阵，记作

二．原理，公式和法则

1．矩阵的加法

(1) 公式

(2) 运算律

2．数乘矩阵

(1) 公式

(2) 运算律

3．矩阵与矩阵相乘

(1) 设,

则其中，且

。

(2)　运算符(假设运算都是可行的)：

(3)　方阵的运算

注意：①矩阵乘法一般不满足交换律。

②一般

4.矩阵的转置

(1)　公式

这里为A的转置矩阵。

(2)　运算律

5.方阵的行列式

(1)　公式

设A为n阶方阵，为A的行列式。

(2)　运算律

6.共轭矩阵

(1)公式　设为复矩阵，表示为的共轭复数，则为方阵的共轭矩阵。

(2)运算律(设A,B为复矩阵，为复数，且运算都是可行的)：

三.　重点，难点分析

本节的重点就是矩阵的各运算及其运算律。它是矩阵运算的基础，其难点是矩阵的乘法，着重掌握矩阵的运算规律。

四.　典型例题

例1.　已知

解：将(1),(2)等式两边相加得　

所以

例2.设

解：由于

而

第二节　逆矩阵

一.　数学概念

定义2.1　设A为n阶方阵，若存在一个n阶方阵B使，则称矩阵A是可逆的，并把矩阵称为A的逆矩阵。

1.　可逆矩阵又称为非奇异矩阵。

2.　不可逆矩阵又称为奇异矩阵。

二.　原理，公式和法则

1. 定理2.1方阵A可逆的充分必要条件是,且，其中

为A的伴随矩阵。

推论　若AB＝E(或BA=E)则B＝A^-¹。

性质　逆矩阵是唯一的。

2.　运算律

① 若A可逆，则A^-¹亦可逆，且。

② 若A可逆，数,则λA可逆，且。

③ 若A,B为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，且

④ 若A可逆，则A^T亦可逆，且

三.　重点，难点分析

可逆矩阵的求逆既是本节的重点，也是本节的难点，它也是本章的重点。这是因为求逆矩阵它不仅可以解n个方程n个未知数方程组的求解，也可以解矩阵方程，而且在今后的学习中还要经常遇到求逆矩阵的计算。由关系式求逆和抽象矩阵的求逆对初学者来说是比较困难的。

四.　典型例题

例1. 设A为n阶方阵，若,试证A-E可逆，并求x。

证明　由，得，在此两端同加单位矩阵得

例2.　设

E为4阶单位矩阵，且,求。

解：在的两边左乘(E+A)得，

例3.　设矩阵A的伴随矩阵

且,其中E为4阶单位矩阵，求B。

解：在左乘A^＊，右乘A得

第三节　分块矩阵

一.　数学概念

分块矩阵：用若干条横线和竖线将矩阵A分成若干小块，每一小块称为矩阵的子块，以子块为元素的矩阵为分块矩阵。

二.　原理，公式，法则

1. 分块矩阵的加法

设A，B为同型矩阵，分法相同，对应子块相加，即将矩阵A，B分块为

2. 分块矩阵的数乘

设A为分块矩阵，为数，

3. 分块矩阵的乘法

设，分块为

其中的列数分别等于的行数，那末

其中

4. 分块矩阵的转置

设

5. 分块对角矩阵

都是方阵。

注 1. 以上分块矩阵运算律与矩阵的相应的运算律相同。

2. 对分块对角矩阵有

三. 重点，难点分析

本节的重点是分块矩阵的按行分块或按列分块或分块成对角矩阵。这对讨论矩阵与向量组的关系;讨论线性方程组的解是非常有用的。难点是分块矩阵的乘法。熟练掌握分块矩阵的乘法和分块对角矩阵的各种运算是非常必要的。

四.典型例题

例1.　设

,求A^-1。

解：

由于

所以

例2. 设矩阵

求A+B和AB

解：由A的特点，可将A分块为

B按运算要求分块为

于是　

_{from: http://dec3.jlu.edu.cn/webcourse/t000022/teach/index.htm}