高等代数：4 矩阵的运算

4 矩阵的运算

4.1 矩阵的运算

1、数域K上两个矩阵称为相等，如果它们的行数相等，列数也相等，并且它们的所有元素对应相等。

2、定义1：设 A = ( a i j ) , B = ( b i j ) A=(a_{ij}),B=(b_{ij}) A=(aij),B=(bij)都是数域K上 s × n s \times n s×n矩阵，令
C = ( a i j + b i j ) s × n , C=(a_{ij}+b_{ij})_{s \times n}, C=(aij+bij)s×n,
则称矩阵C是矩阵A与B的和，记作 C = A + B C=A+B C=A+B。

3、定义2：设 A = ( a i j ) A=(a_{ij}) A=(aij)是数域K上 s × n s \times n s×n矩阵， k ∈ K k\in K k∈K，令
M = ( k a i j ) s × n , M=(ka_{ij})_{s \times n}, M=(kaij)s×n,
则称矩阵M是k与矩阵A的数量乘积，记作 M = k A M=kA M=kA。

4、设 A = ( a i j ) A=(a_{ij}) A=(aij)，矩阵 ( − a i j ) (-a_{ij}) (−aij)称为A的负矩阵，记作—A。容易验证，矩阵的加法与数量乘法运算满足类似于n维向量的加法与数量乘法所满足的8条运算法则。并可由负矩阵概念定义矩阵减法运算。

5、定义3：设 A = ( a i j ) s × n A=(a_{ij})_{s \times n} A=(aij)s×n， B = ( b i j ) n × m B=(b_{ij})_{n \times m} B=(bij)n×m，令
C = ( c i j ) s × m , C=(c_{ij})_{s \times m}, C=(cij)s×m,
其中
c i j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + ⋯ + a i n b n j = ∑ k = 1 n a i k b k j , i = 1 , 2 , … , s ; j = 1 , 2 , … , m . c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\dots+a_{in}b_{nj}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}\, ,\, i=1,2,\dots,s;j=1,2,\dots,m. cij=ai1b1j+ai2b2j+⋯+ainbnj=k=1∑naikbkj,i=1,2,…,s;j=1,2,…,m.
则称矩阵C为矩阵A与矩阵B的乘积，记作 C = A B C=AB C=AB。

注：

（1）只有左矩阵的列数与右矩阵的行数相同的两个矩阵才能相乘；

（2）乘积矩阵的 ( i , j ) (i,j) (i,j)元等于左矩阵的第 i i i行与右矩阵的第 j j j列的对应元素的乘积之和；

（3）乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩阵的列数。

6、对于 A B = 0 AB=0 AB=0，若 B ≠ 0 B\not=0 B=0，则称A是一个左零因子，若 A ≠ 0 A\not=0 A=0，则称B是是一个右零因子，左零因子和右零因子统称为零因子。显然，零矩阵是零因子，称为平凡的零因子。

7、矩阵的乘法适合结合律和左右分配律。另与数量乘法一起满足： k ( A B ) = ( k A ) B = A ( k B ) k(AB)=(kA)B=A(kB) k(AB)=(kA)B=A(kB)。

8、主对角线上元素都是1，其余元素为0的n级矩阵称为n级单位矩阵，记作 I n I_n In,或简记 I I I。 k I kI kI称为数量矩阵。

9、若 A B = B A AB=BA AB=BA，则称A与B可交换。数量矩阵与任一同级矩阵可交换。

10、由于矩阵的乘法适合结合律，因此可定义n级矩阵A的非负整数次幂：
A m = def A ⋅ A ⋅ … ⋅ A , m ∈ Z + ; A 0 = def I . \begin{aligned} &A^m\xlongequal{\text{def}}A\cdot A\cdot \ldots\cdot A,\,m\in Z^+;\\ &A^0\xlongequal{\text{def}}I. \end{aligned} Amdef A⋅A⋅…⋅A,m∈Z+;A0def I.
容易看出，对于任意自然数 k , l k,l k,l有：
A k A l = A k + l , ( A k ) l = A k l . A^kA^l=A^{k+l},\,(A^k)^l=A^{kl}. AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl.
注：由于矩阵乘法不满足交换律，故一般来说， ( A B ) k ≠ A k B k (AB)^k\not=A^kB^k (AB)k=AkBk。

11、对于矩阵转置有：
( 1 ) ( A + B ) ′ = A ′ + B ′ ; ( 2 ) ( k A ) ′ = k A ′ ; ( 3 ) ( A B ) ′ = B ′ A ′ . \begin{aligned} (1)\qquad&(A+B)'=A'+B';\\ (2)\qquad&(kA)'=kA';\\ (3)\qquad&(AB)'=B'A'. \end{aligned} (1)(2)(3)(A+B)′=A′+B′;(kA)′=kA′;(AB)′=B′A′.

4.2 特殊矩阵

1、对角矩阵

定义1：主对角线以外的元素全为0的方阵称为对角矩阵，简记作： d i a g { d 1 , d 2 , … , d n } diag\{d_1,d_2,\dots,d_n\} diag{d1,d2,…,dn}。

命题1：用一个对角矩阵左（右）乘一个矩阵A，就相当于用对角矩阵的主对角元分别去乘A的相应的行（列）。

2、基本矩阵

定义2：只有一个元素是1，其余元素全为0的矩阵称为基本矩阵。 ( i , j ) (i,j) (i,j)元为1的基本矩阵记作 E i j E_{ij} Eij。故：
A = ( a i j ) s × n = [ a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a s 1 a s 2 . . . a s n ] = a 11 E 11 + a 12 E 12 + ⋯ + a s n E s n = ∑ i = 1 s ∑ j = 1 n a i j E i j . A=(a_{ij})_{s \times n}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{s1} & a_{s2} & ... & a_{sn} \end{bmatrix}=a_{11}E_{11}+a_{12}E_{12}+\dots+a_{sn}E_{sn}=\sum_{i=1}^s\sum_{j=1}^n a_{ij}E_{ij}. A=(aij)s×n=⎣⎢⎢⎢⎡a11a21⋮as1a12a22⋮as2.........a1na2n⋮asn⎦⎥⎥⎥⎤=a11E11+a12E12+⋯+asnEsn=i=1∑sj=1∑naijEij.

命题2：用 E i j E_{ij} Eij左乘一个矩阵A，就相当于把A的第j行搬到第i行的位置，而乘积矩阵的其余行全为零行；用 E i j E_{ij} Eij右乘一个矩阵A，就相当于把A的第j列搬到第i列的位置，而乘积矩阵的其余列全为零列。故：
E i j E k l = { E i l 当 k = j ; 0 当 k ≠ j . E i j A E k l = a j k E i l . \begin{aligned} &E_{ij}E_{kl}= \begin{cases} E_{il}&当k=j; \\ 0&当k\not=j. \end{cases} \\ &E_{ij}AE_{kl}=a_{jk}E_{il}. \end{aligned} EijEkl={Eil0当k=j;当k=j.EijAEkl=ajkEil.
3、上（下）三角矩阵

定义3：主对角线下（上）方元素全为0的方阵称为上（下）三角矩阵。

A为上三角矩阵的充分必要条件：
a i j = 0 , 当 i > j . A = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j E i j . a_{ij}=0,当i>j.\, A=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}E_{ij}. aij=0,当i>j.A=i=1∑nj=1∑naijEij.
命题3：两个n级上三角矩阵A与B的乘积仍为上三角矩阵，并且AB的主对角线元素等于A与B的相应主对角元的乘积。两个n级下三角矩阵A与B的乘积仍为下三角矩阵，并且AB的主对角线元素等于A与B的相应主对角元的乘积。

4、初等矩阵

定义4：由单位矩阵经过一次初等行（列）变换得到的矩阵称为初等矩阵。容易得出，初等矩阵只有下面三种类型：

I → ( j ) + ( i ) ⋅ k P ( j , i ( k ) ) , I → ( i , j ) P ( i , j ) , I → ( i ) ⋅ c P ( i ( c ) ) , c ≠ 0 ; \begin{aligned} &I\xrightarrow{(j)+(i)\cdot k}P(j,i(k)),\\ &I\xrightarrow{(i,j)}P(i,j),\\ &I\xrightarrow{(i)\cdot c}P(i(c)),\, c\not=0; \end{aligned} I(j)+(i)⋅k P(j,i(k)),I(i,j) P(i,j),I(i)⋅c P(i(c)),c=0;
设A是一个 s × n s \times n s×n矩阵，它的行向量组是 γ 1 , γ 2 , … , γ s \gamma_1,\gamma_2,\dots,\gamma_s γ1,γ2,…,γs；列向量组是 α 1 , α 2 , … , α n \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n α1,α2,…,αn。则
P ( j , i ( k ) ) A = [ 1 ⋱ 1 ⋮ ⋱ k … 1 ⋱ 1 ] [ γ 1 γ 2 ⋮ γ s ] = [ γ 1 ⋮ γ i ⋮ k γ i + γ j ⋮ γ s ] , A P ( j , i ( k ) ) = ( α 1 , α 2 , … , α n ) [ 1 ⋱ 1 ⋮ ⋱ k … 1 ⋱ 1 ] = ( α 1 , … , α i + k α j , … , α j , … , α n ) \begin{aligned} &P(j,i(k))A=\begin{bmatrix} 1 & & & & & & \\ &\ddots& & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & &\vdots&\ddots& & & \\ & & k &\dots &1 & & \\ & & & & &\ddots& \\ & & & & & & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \gamma_1 \\ \gamma_2 \\ \vdots \\ \gamma_s \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \gamma_1 \\ \vdots \\ \gamma_i \\ \vdots \\ k\gamma_i+\gamma_j \\ \vdots \\ \gamma_s \end{bmatrix} ,\\ &AP(j,i(k))=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)\begin{bmatrix} 1 & & & & & & \\ &\ddots& & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & &\vdots&\ddots& & & \\ & & k &\dots &1 & & \\ & & & & &\ddots& \\ & & & & & & 1 \end{bmatrix}=(\alpha_1,\dots,\alpha_i+k\alpha_j,\dots,\alpha_j,\dots,\alpha_n) \end{aligned} P(j,i(k))A=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1⋱1⋮k⋱…1⋱1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡γ1γ2⋮γs⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡γ1⋮γi⋮kγi+γj⋮γs⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤,AP(j,i(k))=(α1,α2,…,αn)⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1⋱1⋮k⋱…1⋱1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=(α1,…,αi+kαj,…,αj,…,αn)
由上诉看出：
用 P ( j , i ( k ) ) 左乘 A ，就相当于把 A 的第 i 行的 k 倍加到第 j 行上，其余行不变；用 P ( j , i ( k ) ) 右乘 A ，就相当于把 A 的第 j 列的 k 倍加到第 i 列上，其余列不变；用 P ( i , j ) 左（右）乘 A ，就相当于把 A 的第 i 行（列）与第 j 行（列）互换，其余行（列）不变；用 P ( i ( c ) ) ( c ≠ 0 ) 左（右）乘 A ，就相当于用 c 乘 A 的第 i 行（列），其余行（列）不变。 \begin{aligned} &用P(j,i(k))左乘A，就相当于把A的第i行的k倍加到第j行上，其余行不变；\\ &用P(j,i(k))右乘A，就相当于把A的第j列的k倍加到第i列上，其余列不变；\\ &用P(i,j)左（右）乘A，就相当于把A的第i行（列）与第j行（列）互换，其余行（列）不变；\\ &用P(i(c))(c\not=0)左（右）乘A，就相当于用c乘A的第i行（列），其余行（列）不变。 \end{aligned} 用P(j,i(k))左乘A，就相当于把A的第i行的k倍加到第j行上，其余行不变；用P(j,i(k))右乘A，就相当于把A的第j列的k倍加到第i列上，其余列不变；用P(i,j)左（右）乘A，就相当于把A的第i行（列）与第j行（列）互换，其余行（列）不变；用P(i(c))(c=0)左（右）乘A，就相当于用c乘A的第i行（列），其余行（列）不变。
定理1：用初等矩阵左（右）乘一个矩阵A，就相当于A作了一次相应的初等行（列）变换。

5、对称矩阵

定义5：一个矩阵A如果满足 A ′ = A A'=A A′=A，那么称A是对称矩阵。

命题4：设A、B都是数域K上的n级对称矩阵，则 A + B ， k A ( k ∈ K ) A+B，kA(k\in K) A+B，kA(k∈K)都是对称矩阵。

命题5：设A、B都是数域K上的n级对称矩阵，则AB为对称矩阵的充分必要条件是A与B可交换。

6、斜对称矩阵

定义6：一个矩阵A如果满足 A ′ = − A A'=-A A′=−A，那么称A是斜对称矩阵。

命题6：数域K上奇数级斜对称矩阵的行列式等于0。

4.3 矩阵乘积的秩与行列式

1、定理1：设 A = ( a i j ) s × n , B = ( b i j ) n × m ，则： r a n k ( A B ) ⩽ m i n { r a n k ( A ) , r a n k ( B ) } . A=(a_{ij})_{s \times n},B=(b_{ij})_{n \times m}，则：rank(AB)\leqslant min\{rank(A),rank(B)\}. A=(aij)s×n,B=(bij)n×m，则：rank(AB)⩽min{rank(A),rank(B)}.

2、定理2：设 A = ( a i j ) n × n , B = ( b i j ) n × n ，则： ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ . A=(a_{ij})_{n \times n},B=(b_{ij})_{n \times n}，则：|AB|=|A||B|. A=(aij)n×n,B=(bij)n×n，则：∣AB∣=∣A∣∣B∣.

3、定理3（Binet-Cauchy公式）： A = ( a i j ) s × n , B = ( b i j ) n × s ， A=(a_{ij})_{s \times n},B=(b_{ij})_{n \times s}， A=(aij)s×n,B=(bij)n×s，
( 1 ) 如果 s > n ，那么 ∣ A B ∣ = 0 ； ( 2 ) 如果 s ⩽ n ，那么 ∣ A B ∣ 等于 A 的所有 s 阶子式与 B 的相应 s 阶子式的乘积之和，即 ∣ A B ∣ = ∑ 1 ⩽ v 1 < v 2 < ⋯ < v s ⩽ n A ( 1 , 2 , … , s v 1 , v 2 , … , v s ) ⋅ B ( v 1 , v 2 , … , v s 1 , 2 , … , s ) . \begin{aligned} &(1)如果s>n，那么|AB|=0；\\ &(2)如果s\leqslant n，那么|AB|等于A的所有s阶子式与B的相应s阶子式的乘积之和，即\\ &|AB|=\sum_{1\leqslant v_1<v_2<\dots<v_s\leqslant n} A\begin{pmatrix} 1,2,\dots,s \\ v_1,v_2,\dots,v_s \end{pmatrix}\cdot B\begin{pmatrix} v_1,v_2,\dots,v_s \\ 1,2,\dots,s \end{pmatrix}. \end{aligned} (1)如果s>n，那么∣AB∣=0；(2)如果s⩽n，那么∣AB∣等于A的所有s阶子式与B的相应s阶子式的乘积之和，即∣AB∣=1⩽v1<v2<⋯<vs⩽n∑A(1,2,…,sv1,v2,…,vs)⋅B(v1,v2,…,vs1,2,…,s).
4、命题1：设 A = ( a i j ) s × n , B = ( b i j ) n × s ，设正整数 r ⩽ s A=(a_{ij})_{s \times n},B=(b_{ij})_{n \times s}，设正整数r\leqslant s A=(aij)s×n,B=(bij)n×s，设正整数r⩽s，
( 1 ) 如果 r > n ，那么 A B 的所有 r 阶子式都等于 0 ； ( 2 ) 如果 r ⩽ n ，那么 A B 的任一 r 阶子式为 A B ( i 1 , i 2 , … , i r j 1 , j 2 , … , j r ) = ∑ 1 ⩽ v 1 < v 2 < ⋯ < v r ⩽ n A ( i 1 , i 2 , … , i r v 1 , v 2 , … , v r ) ⋅ B ( v 1 , v 2 , … , v r j 1 , j 2 , … , j r ) . \begin{aligned} &(1)如果r>n，那么AB的所有r阶子式都等于0；\\ &(2)如果r\leqslant n，那么AB的任一r阶子式为\\ &AB\begin{pmatrix} i_1,i_2,\dots,i_r \\ j_1,j_2,\dots,j_r \end{pmatrix}=\sum_{1\leqslant v_1<v_2<\dots<v_r\leqslant n} A\begin{pmatrix} i_1,i_2,\dots,i_r \\ v_1,v_2,\dots,v_r \end{pmatrix}\cdot B\begin{pmatrix} v_1,v_2,\dots,v_r \\ j_1,j_2,\dots,j_r \end{pmatrix}. \end{aligned} (1)如果r>n，那么AB的所有r阶子式都等于0；(2)如果r⩽n，那么AB的任一r阶子式为AB(i1,i2,…,irj1,j2,…,jr)=1⩽v1<v2<⋯<vr⩽n∑A(i1,i2,…,irv1,v2,…,vr)⋅B(v1,v2,…,vrj1,j2,…,jr).
5、矩阵A的一个子式如果行指标与列指标相同，那么称它为A的一个主子式。

4.4 可逆矩阵

1、定义1：对于数域K上矩阵A，如果存在数域K上矩阵B，使得
A B = B A = I (1) AB=BA=I \tag{1} AB=BA=I(1)
那么称A是可逆矩阵（或非奇异矩阵）。

2、定义2：如果A是可逆矩阵，那么适合（1）式的矩阵B称为A的逆矩阵，记作 A − 1 A^{-1} A−1。 A − 1 A^{-1} A−1是唯一的。

3、定理1：数域K上n级矩阵A可逆的充分必要条件是 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\not=0 ∣A∣=0。当A可逆时，
A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ . (2) A^{-1}=\frac 1 {|A|} A^*. \tag{2} A−1=∣A∣1A∗.(2)
称 A ∗ A^{*} A∗为A的伴随矩阵。满足 A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ I AA^{*}=A^{*}A=|A|I AA∗=A∗A=∣A∣I。

数域K上n级矩阵A可逆的充分必要条件汇总：
数域 K 上 n 级矩阵 A 可逆 ⟺ ∣ A ∣ ≠ 0 ⟺ A 为满秩矩阵 ⟺ A 的行（列）向量组线性无关 ⟺ A 的行（列）向量组为 K n 的一个基 ⟺ A 的行（列）空间等于 K n ⟺ A 可以表示成一些初等矩阵的乘积。 \begin{aligned} &数域K上n级矩阵A可逆 \\ \iff&|A|\not=0\\ \iff&A为满秩矩阵\\ \iff&A的行（列）向量组线性无关 \\ \iff&A的行（列）向量组为K^{n}的一个基\\ \iff&A的行（列）空间等于K^{n}\\ \iff&A可以表示成一些初等矩阵的乘积。 \end{aligned} ⟺⟺⟺⟺⟺⟺数域K上n级矩阵A可逆∣A∣=0A为满秩矩阵A的行（列）向量组线性无关A的行（列）向量组为Kn的一个基A的行（列）空间等于KnA可以表示成一些初等矩阵的乘积。
命题1：设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果 A B = I AB=I AB=I，那么A与B都是可逆矩阵，并且 A − 1 = B , B − 1 = A A^{-1}=B,B^{-1}=A A−1=B,B−1=A。

4、可逆矩阵的性质：
性质 1 ：单位矩阵 I 可逆，且 I − 1 = I 。性质 2 ：如果 A 可逆，那么 A − 1 也可逆，且 ( A − 1 ) − 1 = A 。性质 3 ：如果 n 级矩阵 A 、 B 都可逆，那么 A B 也可逆，并且 ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 。推广： ( A 1 A 2 … A s ) − 1 = A s − 1 … A 2 − 1 A 1 − 1 。性质 4 ：如果 A 可逆，那么 A ′ 也可逆，并且 ( A ′ ) − 1 = ( A − 1 ) ′ 。性质 5 ：可逆矩阵经过初等行变换化成的简化行阶梯形矩阵一定是单位矩阵。性质 6 ：矩阵 A 可逆的充分必要条件是它可以表示成一些初等矩阵的乘积。性质 7 ：用一个可逆矩阵左（右）乘一个矩阵 A ，不改变 A 的秩。 \begin{aligned} &性质1：单位矩阵I可逆，且I^{-1}=I。\\ &性质2：如果A可逆，那么A^{-1}也可逆，且(A^{-1})^{-1}=A。\\ &性质3：如果n级矩阵A、B都可逆，那么AB也可逆，并且(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}。推广：(A_1A_2\dots A_s)^{-1}=A_s^{-1}\dots A_2^{-1}A_1^{-1}。\\ &性质4：如果A可逆，那么A'也可逆，并且(A')^{-1}=(A^{-1})'。\\ &性质5：可逆矩阵经过初等行变换化成的简化行阶梯形矩阵一定是单位矩阵。\\ &性质6：矩阵A可逆的充分必要条件是它可以表示成一些初等矩阵的乘积。\\ &性质7：用一个可逆矩阵左（右）乘一个矩阵A，不改变A的秩。 \end{aligned} 性质1：单位矩阵I可逆，且I−1=I。性质2：如果A可逆，那么A−1也可逆，且(A−1)−1=A。性质3：如果n级矩阵A、B都可逆，那么AB也可逆，并且(AB)−1=B−1A−1。推广：(A1A2…As)−1=As−1…A2−1A1−1。性质4：如果A可逆，那么A′也可逆，并且(A′)−1=(A−1)′。性质5：可逆矩阵经过初等行变换化成的简化行阶梯形矩阵一定是单位矩阵。性质6：矩阵A可逆的充分必要条件是它可以表示成一些初等矩阵的乘积。性质7：用一个可逆矩阵左（右）乘一个矩阵A，不改变A的秩。

5、初等变换法求逆矩阵：
( A , I ) → 初等行变换 ( I , A − 1 ) (A,I)\xrightarrow{\text{初等行变换}}(I,A^{-1}) (A,I)初等行变换 (I,A−1)

4.5 矩阵的分块

1、对于分块矩阵 A = [ A 1 A 2 A 3 A 4 ] , A ′ = [ A 1 ′ A 3 ′ A 2 ′ A 4 ′ ] A=\begin{bmatrix}A_1&A_2\\A_3&A_4 \end{bmatrix},A'=\begin{bmatrix}A_1'&A_3'\\A_2'&A_4' \end{bmatrix} A=[A1A3A2A4],A′=[A1′A2′A3′A4′]。

2、分块矩阵相乘需满足下列条件：
( 1 ) 左矩阵的列组数等于右矩阵的行组数； ( 2 ) 左矩阵每个列组所含列数等于右矩阵相应行组所含行数。 \begin{aligned} &(1)左矩阵的列组数等于右矩阵的行组数；\\ &(2)左矩阵每个列组所含列数等于右矩阵相应行组所含行数。 \end{aligned} (1)左矩阵的列组数等于右矩阵的行组数；(2)左矩阵每个列组所含列数等于右矩阵相应行组所含行数。
3、命题1：设 A 是 s × n 矩阵， B 是 n × m 矩阵， B 的列向量组为 β 1 , β 2 , … , β m 。则设A是s \times n矩阵，B是n \times m矩阵，B的列向量组为\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m。则设A是s×n矩阵，B是n×m矩阵，B的列向量组为β1,β2,…,βm。则
A B = A ( β 1 , β 2 , … , β m ) = ( A β 1 , A β 2 , … , A β m ) . AB=A(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m)=(A\beta_1,A\beta_2,\dots,A\beta_m). AB=A(β1,β2,…,βm)=(Aβ1,Aβ2,…,Aβm).
推论1：设 A s × n ≠ 0 , B n × m 的列向量组是 β 1 , β 2 , … , β m 。则设A_{s \times n}\not=0,B_{n \times m}的列向量组是\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m。则设As×n=0,Bn×m的列向量组是β1,β2,…,βm。则
A B = 0 ⟺ β 1 , β 2 , … , β m 都是齐次线性方程组 A X = 0 的解。 AB=\bold 0\iff\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m 都是齐次线性方程组AX=\bold 0的解。 AB=0⟺β1,β2,…,βm都是齐次线性方程组AX=0的解。
推论2：设 A s × n ≠ 0 , B n × m 的列向量组是 β 1 , β 2 , … , β m ; C s × m 的列向量组是 δ 1 , δ 2 , … , δ m 。则设A_{s \times n}\not=0,B_{n \times m}的列向量组是\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m;C_{s \times m}的列向量组是\delta_1,\delta_2,\dots,\delta_m。则设As×n=0,Bn×m的列向量组是β1,β2,…,βm;Cs×m的列向量组是δ1,δ2,…,δm。则
A B = C ⟺ β i 是线性方程组 A X = δ i 的一个解， i = 1 , 2 , … , m . AB=C\iff\beta_i是线性方程组AX=\delta_i的一个解，i=1,2,\dots,m. AB=C⟺βi是线性方程组AX=δi的一个解，i=1,2,…,m.
4、分块矩阵的初等行变换：
( 1 ) 把一个块行的左 P 倍（ P 是矩阵）加到另一个块行上，如 [ A 1 A 2 A 3 A 4 ] → ( 2 ) + P ⋅ ( 1 ) [ A 1 A 2 P A 1 + A 3 P A 2 + A 4 ] ; ( 2 ) 互换两个块行的位置； ( 3 ) 用一个可逆矩阵左乘某一块行（为的是可以把所得到的分块矩阵变回原来的分块矩阵）。 \begin{aligned} &(1)把一个块行的左P倍（P是矩阵）加到另一个块行上，如\\ &\qquad \begin{bmatrix}A_1&A_2\\A_3&A_4 \end{bmatrix}\xrightarrow{(2)+P\cdot (1)} \begin{bmatrix}A_1&A_2\\PA_1+A_3&PA_2+A_4 \end{bmatrix};\\ &(2)互换两个块行的位置；\\ &(3)用一个可逆矩阵左乘某一块行（为的是可以把所得到的分块矩阵变回原来的分块矩阵）。 \end{aligned} (1)把一个块行的左P倍（P是矩阵）加到另一个块行上，如[A1A3A2A4](2)+P⋅(1) [A1PA1+A3A2PA2+A4];(2)互换两个块行的位置；(3)用一个可逆矩阵左乘某一块行（为的是可以把所得到的分块矩阵变回原来的分块矩阵）。
类似的有分块矩阵的初等列变换。

把单位矩阵分块，并经过一次分块矩阵的初等行（列）变换得到的矩阵称为分块初等矩阵。

5、分块对角矩阵： d i a g { A 1 , A 2 , … , A s } , 其中 A i 是方阵 , i = 1 , 2 , … , s . diag\{A_1,A_2,\dots,A_s\},其中A_i是方阵,i=1,2,\dots,s. diag{A1,A2,…,As},其中Ai是方阵,i=1,2,…,s.

6、分块上（下）三角矩阵：主对角线上子矩阵都是方阵，而位于主对角线上（下）方的所有矩阵都为0。

性质： ∣ A 0 C B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ . \begin{vmatrix} A&0\\C&B\end{vmatrix}=|A||B|. ∣∣∣∣AC0B∣∣∣∣=∣A∣∣B∣.

7、命题2：设 A 、 B 分别是 s × n 、 n × s 矩阵，则设A、B分别是s \times n、n \times s矩阵，则设A、B分别是s×n、n×s矩阵，则
( 1 ) ∣ I n B A I s ∣ = ∣ I s − A B ∣ ; ( 2 ) ∣ I n B A I s ∣ = ∣ I n − B A ∣ ; ( 3 ) ∣ I s − A B ∣ = ∣ I n − B A ∣ . \begin{aligned} &(1)\begin{vmatrix} I_n&B\\ A&I_s\end{vmatrix}=|I_s-AB|;\\ &(2)\begin{vmatrix} I_n&B\\ A&I_s\end{vmatrix}=|I_n-BA|;\\ &(3)|I_s-AB|=|I_n-BA|. \end{aligned} (1)∣∣∣∣InABIs∣∣∣∣=∣Is−AB∣;(2)∣∣∣∣InABIs∣∣∣∣=∣In−BA∣;(3)∣Is−AB∣=∣In−BA∣.
8、命题3：设 A = [ A 1 A 3 0 A 2 ] ，其中 A 1 ， A 2 都是方阵。则 A 可逆当且仅当 A 1 ， A 2 都可逆，此时设A=\begin{bmatrix}A_1&A_3\\0&A_2 \end{bmatrix}，其中A_1，A_2都是方阵。则A可逆当且仅当A_1，A_2都可逆，此时设A=[A10A3A2]，其中A1，A2都是方阵。则A可逆当且仅当A1，A2都可逆，此时
A − 1 = [ A 1 − 1 − A 1 − 1 A 3 A 2 − 1 0 A 2 − 1 ] . A^{-1}=\begin{bmatrix}A_1^{-1}&-A_1^{-1}A_3A_2^{-1}\\0&A_2^{-1} \end{bmatrix}. A−1=[A1−10−A1−1A3A2−1A2−1].

4.6 正交矩阵 ⋅ \cdot ⋅欧几里得空间 R n R^n Rn

1、定义1：实数域上的n级矩阵A如果满足： A A ′ = I AA'=I AA′=I，那么称A是正交矩阵。

命题1：实数域上的n级矩阵A是正交矩阵
⟺ A A ′ = I ⟺ A 可逆，且 A − 1 = A ′ ⟺ A ′ A = I \begin{aligned} &\iff AA'=I\\ &\iff A可逆，且A^{-1}=A'\\ &\iff A'A=I \end{aligned} ⟺AA′=I⟺A可逆，且A−1=A′⟺A′A=I
正交矩阵具有下列性质：
( 1 ) I 是正交矩阵； ( 2 ) 若 A 和 B 是正交矩阵，则 A B 也是正交矩阵； ( 3 ) 若 A 是正交矩阵，则 A − 1 （即 A ′ ）也是正交矩阵； ( 4 ) 若 A 是正交矩阵，则 ∣ A ∣ = 1 或 − 1 。 \begin{aligned} &(1)I是正交矩阵；\\ &(2)若A和B是正交矩阵，则AB也是正交矩阵；\\ &(3)若A是正交矩阵，则A^{-1}（即A'）也是正交矩阵；\\ &(4)若A是正交矩阵，则|A|=1或-1。 \end{aligned} (1)I是正交矩阵；(2)若A和B是正交矩阵，则AB也是正交矩阵；(3)若A是正交矩阵，则A−1（即A′）也是正交矩阵；(4)若A是正交矩阵，则∣A∣=1或−1。
命题2：设实数域上n级矩阵A的行向量组为 γ 1 , … , γ n \gamma_1,\dots,\gamma_n γ1,…,γn；列向量组为 α 1 , … , α n \alpha_1,\dots,\alpha_n α1,…,αn。则
( 1 ) A 为正交矩阵当且仅当 A 的行向量组满足： γ i γ j ′ = { 1 , 当 i = j , 0 , 当 i ≠ j ; ( 1 ) A 为正交矩阵当且仅当 A 的列向量组满足： α i ′ α j = { 1 , 当 i = j , 0 , 当 i ≠ j . \begin{aligned} &(1)A为正交矩阵当且仅当A的行向量组满足：\gamma_i\gamma_j'=\begin{cases}1,\qquad 当i=j,\\0,\qquad 当i\not=j;\end{cases}\\ &(1)A为正交矩阵当且仅当A的列向量组满足：\alpha_i'\alpha_j=\begin{cases}1,\qquad 当i=j,\\0,\qquad 当i\not=j.\end{cases} \end{aligned} (1)A为正交矩阵当且仅当A的行向量组满足：γiγj′={1,当i=j,0,当i=j;(1)A为正交矩阵当且仅当A的列向量组满足：αi′αj={1,当i=j,0,当i=j.
引用Kronecker记号 δ i j , δ i j = { 1 , 当 i = j , 0 , 当 i ≠ j . \delta_{ij},\delta_{ij}=\begin{cases}1,\qquad 当i=j,\\0,\qquad 当i\not=j.\end{cases} δij,δij={1,当i=j,0,当i=j.。故命题2可简记为：
( 1 ) γ i γ j ′ = δ i j , 1 ⩽ i , j ⩽ n ; ( 2 ) α i ′ α j = δ i j , 1 ⩽ i , j ⩽ n ; \begin{aligned} &(1)\gamma_i\gamma_j'=\delta_{ij},1\leqslant i,j\leqslant n; \\ &(2)\alpha_i'\alpha_j=\delta_{ij},1\leqslant i,j\leqslant n; \end{aligned} (1)γiγj′=δij,1⩽i,j⩽n;(2)αi′αj=δij,1⩽i,j⩽n;

2、定义2：在 R n 中，任给 α = ( a 1 , a 2 , … , a n ) , β = ( b 1 , b 2 , … , b n ) ，规定在R^n中，任给\alpha=(a_1,a_2,\dots,a_n),\beta=(b_1,b_2,\dots,b_n)，规定在Rn中，任给α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn)，规定
( α , β ) = def a 1 b 1 + a 2 b 2 + ⋯ + a n b n , (1) (\alpha,\beta)\xlongequal{\text{def}}a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n,\tag{1} (α,β)def a1b1+a2b2+⋯+anbn,(1)
这个二元实值函数 ( α , β ) 称为 R n (\alpha,\beta)称为R^n (α,β)称为Rn的一个内积（通常也称为标准内积）。（1）式可写为 ( α , β ) = α β ′ (\alpha,\beta)=\alpha\beta' (α,β)=αβ′.

可验证 R n R^n Rn的标准内积具有以下性质：
( 1 ) ( α , β ) = ( β , α ) ，对称性 ( 2 ) ( α + γ , β ) = ( α , β ) + ( γ , β ) ，线性性 1 ( 3 ) ( k α , β ) = k ( α , β ) ，线性性 2 ( 4 ) ( α , α ) ⩾ 0 ，等号成立当且仅当 α = 0 。（正定性） \begin{aligned} &(1)(\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)，对称性\\ &(2)(\alpha+\gamma,\beta)=(\alpha,\beta)+(\gamma,\beta)，线性性1\\ &(3)(k\alpha,\beta)=k(\alpha,\beta)，线性性2\\ &(4)(\alpha,\alpha)\geqslant 0，等号成立当且仅当\alpha=\bold 0。（正定性） \end{aligned} (1)(α,β)=(β,α)，对称性(2)(α+γ,β)=(α,β)+(γ,β)，线性性1(3)(kα,β)=k(α,β)，线性性2(4)(α,α)⩾0，等号成立当且仅当α=0。（正定性）
定义了内积之后，n维向量空间 R n R^n Rn就被称为一个欧几里得空间。

在欧几里得空间 R n R^n Rn中规定向量 α 的长度： ∣ α ∣ = def ( α , α ) . \alpha 的长度：|\alpha|\xlongequal{\text{def}}\sqrt{(\alpha,\alpha)}. α的长度：∣α∣def (α,α) .

长度为1的向量称为单位向量，把非零向量 α \alpha α乘以 1 ∣ α ∣ \frac 1 {|\alpha|} ∣α∣1称为把** α \alpha α单位化**。

如果 ( α , β ) = 0 (\alpha,\beta)=0 (α,β)=0，那么称 α 与 β \alpha与\beta α与β是正交的，记作 α ⊥ β \alpha \bot \beta α⊥β。非零向量组成的向量组如果向量两两正交，则称为正交向量组。类似可定义正交单位向量组。

命题3：欧几里得空间 R n R^n Rn中，正交向量组一定是线性无关的。

根据命题3得，欧几里得空间 R n R^n Rn 中，n个向量组成的正交向量组一定是 R n R^n Rn的一个基，称它为正交基。n个单位向量组成的向量组称为标准正交基。

命题4：实数域上n级矩阵A是正交矩阵的充分必要条件为：A的行（列）向量组是欧几里得空间 R n R^n Rn的一个标准正交基。

3、定理1：设 α 1 , … , α s 是欧几里得空间 R n 中一个线性无关的向量组，令设\alpha_1,\dots,\alpha_s是欧几里得空间R^n中一个线性无关的向量组，令设α1,…,αs是欧几里得空间Rn中一个线性无关的向量组，令
β 1 = α 1 β 2 = α 2 − ( α 2 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 , … β s = α s − ∑ j = 1 s − 1 ( α s , β j ) ( β j , β j ) β j , (2) \begin{aligned} &\beta_1=\alpha_1\\ &\beta_2=\alpha_2-\frac {(\alpha_2,\beta_1)} {(\beta_1,\beta_1)} \beta_1,\\ &\dots\\ &\beta_s=\alpha_s-\sum_{j=1}^{s-1} \frac {(\alpha_s,\beta_j)} {(\beta_j,\beta_j)} \beta_j, \end{aligned}\tag{2} β1=α1β2=α2−(β1,β1)(α2,β1)β1,…βs=αs−j=1∑s−1(βj,βj)(αs,βj)βj,(2)
则 β 1 , β 2 , … , β s 是正交向量组，并且 β 1 , β 2 , … , β s 与 α 1 , … , α s 等价。则\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_s是正交向量组，并且\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_s与\alpha_1,\dots,\alpha_s等价。则β1,β2,…,βs是正交向量组，并且β1,β2,…,βs与α1,…,αs等价。

定理1称为施密特（Schmidt）正交化过程。只要再进行单位化，就能得到正交单位向量组，即 R n R^n Rn的标准正交基。

4.7 从 K n 到 K s K^n到K^s Kn到Ks的线性映射

1、定义1：设 S 和 S ′ S和S' S和S′是两个集合，如果存在一个对应法则 f f f，使得集合 S S S中每一个元素a，都有集合 S ′ S' S′中唯一确定的元素b与之对应，那么称 f f f是集合 S S S到 S ′ S' S′的一个映射，记作
f : S → S ′ a ↦ b , \begin{aligned} f:&S\rightarrow S'\\&a\mapsto b, \end{aligned} f:S→S′a↦b,
其中，b称为a在 f f f下的象，a称为b在 f f f下的一个原象。b在 f f f下的原象集记作 f − 1 ( b ) 。 f^{-1}(b)。 f−1(b)。a在 f f f下的象用符号 f ( a ) f(a) f(a)或 f a fa fa表示，于是映射 f f f也可以记成
f ( a ) = b , a ∈ S f(a)=b,a\in S f(a)=b,a∈S
2、设 f f f是集合S到集合S’的一个映射，则把S叫做映射 f f f的定义域，把S’叫做 f f f的陪域。S的所有元素在 f f f下的象组成的集合叫做 f f f的值域或** f f f的象**，记作 f ( S ) f(S) f(S)或Im f f f。即
f ( S ) = Im f = def { f ( a ) ∣ a ∈ S } = { b ∈ S ′ ∣ 存在 a ∈ S 使 f ( a ) = b } . f(S)=\text{Im}f\xlongequal{\text{def}}\{f(a)\,|\,a\in S\}=\{b\in S'\,|\,存在a\in S使f(a)=b\}. f(S)=Imfdef {f(a)∣a∈S}={b∈S′∣存在a∈S使f(a)=b}.
3、设 f f f是集合S到集合S’的一个映射，如果 f ( S ) = S ′ f(S)=S' f(S)=S′，那么称 f f f是满射（或 f f f是S到S’上的映射）。 f f f是满射当且仅当 f f f的陪域中每一个元素都有至少一个原象。

如果映射 f f f的定义域S中不同的元素的象也不同，那么称 f f f是单射（或 f f f是一对一映射）。 f f f是单射当且仅当从 a 1 , a 2 ∈ S a_1,a_2\in S a1,a2∈S且 f ( a 1 ) = f ( a 2 ) f(a_1)=f(a_2) f(a1)=f(a2)可以推出 a 1 = a 2 。 a_1=a_2。 a1=a2。

如果映射 f f f既是单射，又是满射，那么称 f f f是双射（或 f f f是S到S’的一个一一对应）。 f f f是双射当且仅当陪域中每一个元素都有唯一的一个原象。

映射 f f f与映射 g g g称为相等，如果他们的定义域相等，陪域相等，并且对应法则相同。（即 ∀ x ∈ S , 有 f ( x ) = g ( x ) 即\forall x\in S,有f(x)=g(x) 即∀x∈S,有f(x)=g(x)）。

集合S到自身的一个映射，通常称为S上的一个变换。

4、定义2：映射 f : S → S f:S\rightarrow S f:S→S，如果把S中每一个元素对应到它自身，即 ∀ x ∈ S , 有 f ( x ) = x \forall x\in S,有f(x)=x ∀x∈S,有f(x)=x，那么称 f f f是恒等映射（或S上的恒等变换），记作： 1 s 1_s 1s。

5、定义3：相继施行映射 g : S → S ′ 和 f : S ′ → S ′ ′ ，得到 S 到 S ′ ′ g:S\rightarrow S'和f:S'\rightarrow S''，得到S到S'' g:S→S′和f:S′→S′′，得到S到S′′的一个映射，称为 f 与 g f与g f与g的乘积（或合成），记作 f g fg fg。即
( f g ) ( a ) = def f ( g ( a ) ) , ∀ a ∈ S . (fg)(a)\xlongequal{\text{def}}f(g(a)),\forall a\in S. (fg)(a)def f(g(a)),∀a∈S.
定理1：映射的乘法适合结合律。即如果 h : S → S ′ , g : S ′ → S ′ ′ , f : S ′ ′ → S ′ ′ ′ h:S\rightarrow S',g:S'\rightarrow S'',f:S''\rightarrow S''' h:S→S′,g:S′→S′′,f:S′′→S′′′，那么 f ( g h ) = ( f g ) h . f(gh)=(fg)h. f(gh)=(fg)h.

注意映射的乘法不适合交换律，但对于 f : S → S ′ , 有 f 1 s = 1 s f = f . f:S\rightarrow S',有f1_s=1_sf=f. f:S→S′,有f1s=1sf=f.

6、定义4：设 f : S → S ′ f:S\rightarrow S' f:S→S′，如果存在一个映射 g : S ′ → S 使得 f g = g f = 1 s g:S'\rightarrow S使得fg=gf=1_s g:S′→S使得fg=gf=1s，那么称映射 f f f是可逆的，此时称 g 是 f g是f g是f的一个逆映射。

定理2：映射 f : S → S ′ f:S\rightarrow S' f:S→S′是可逆的充分必要条件为 f f f是双射。

7、定义5：数域K上的向量空间 K n 到 K s K^n 到K^s Kn到Ks的一个映射 σ \sigma σ如果保持加法和数量乘法，即 ∀ α , β ∈ K n , k ∈ K \forall \alpha,\beta \in K^n,k\in K ∀α,β∈Kn,k∈K，有
σ ( α + β ) = σ ( α ) + σ ( β ) , σ ( k α ) = k σ ( α ) , \begin{aligned} \sigma(\alpha+\beta)&=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta),\\ \sigma(k\alpha)&=k\sigma(\alpha), \end{aligned} σ(α+β)σ(kα)=σ(α)+σ(β),=kσ(α),
那么称 σ 是 K n 到 K s \sigma是K^n 到K^s σ是Kn到Ks的一个线性映射。

设A是数域K上 s × n s \times n s×n矩阵，令
A : K n → K s α ↦ A α , (1) \begin{aligned} A:&K^n\rightarrow K^s\\&\alpha\mapsto A\alpha, \end{aligned}\tag{1} A:Kn→Ksα↦Aα,(1)
则容易验证A是 σ 是 K n 到 K s \sigma是K^n 到K^s σ是Kn到Ks的一个线性映射。

事实1：数域K上n元线性方程组 A X = β AX=\beta AX=β有解
⟺ 存在 γ ∈ K n , 使得 A γ = β ⟺ 存在 γ ∈ K n , 使得 A ( γ ) = β ⟺ β ∈ Im A . \begin{aligned} \iff&存在\gamma \in K^n,使得A\gamma=\beta\\ \iff&存在\gamma \in K^n,使得A(\gamma)=\beta\\ \iff&\beta \in \text{Im}A. \end{aligned} ⟺⟺⟺存在γ∈Kn,使得Aγ=β存在γ∈Kn,使得A(γ)=ββ∈ImA.
事实2：设数域K上 s × n s \times n s×n矩阵A的列向量组是 α 1 , … , α n \alpha_1,\dots,\alpha_n α1,…,αn，则
β ∈ Im A ⟺ 线性方程组 A X = β 有解 ⟺ β ∈ < α 1 , … , α n > . \begin{aligned} &\beta\in \text{Im}A\\ \iff&线性方程组AX=\beta有解\\ \iff&\beta \in <\alpha_1,\dots,\alpha_n>. \end{aligned} ⟺⟺β∈ImA线性方程组AX=β有解β∈<α1,…,αn>.
因此 Im A = < α 1 , … , α n > \qquad \text{Im}A=<\alpha_1,\dots,\alpha_n> ImA=<α1,…,αn>

即，由（1）式定义的映射A的象（值域）等于矩阵A的列空间，从而Im A A A是 K s K^s Ks的一个子空间。

事实3：设数域K上齐次线性方程组 A X = 0 AX=\bold 0 AX=0的解空间是W，则
η ∈ W ⟺ A η = 0 ⟺ A ( η ) = 0. \eta \in W \iff A\eta=\bold 0 \iff A(\eta)=\bold 0. η∈W⟺Aη=0⟺A(η)=0.
8、定义6：设 σ 是 K n 到 K s \sigma 是K^n到K^s σ是Kn到Ks的一个映射， K n K^n Kn的一个子集 { α ∈ K n ∣ σ ( α ) = 0 } \{\alpha \in K^n|\sigma(\alpha)=\bold 0\} {α∈Kn∣σ(α)=0}称为 σ \sigma σ的核，记作：Ker σ \sigma σ

容易验证Ker σ \sigma σ是 K n K^n Kn的一个子空间。

由（1）式定义的线性映射A的核等于齐次线性方程组 A X = 0 AX=\bold 0 AX=0的解空间。即：Ker σ = W \sigma=W σ=W

综上，有：
d i m Ker A + d i m Im A = d i m K n . dim \,\text{Ker}\,A+dim\,\text{Im}\,A=dim\,K^n. dimKerA+dimImA=dimKn.