平面图

文章目录

平面图
- 平面图的基本概念
- - 约旦定理
  - 面和次
  - 定理11.2
  - 极大平面图
- 欧拉公式
- 平面图的判断
- 平面图的对偶图
- - 对偶图的性质
  - 自对偶图

平面图的基本概念

可平面图或平面图：可以以这种方式画在平面上,即使得边与边不在非顶点处相交的图

k5,k3,3k_5 ,k_{3,3}k5,k3,3是非平面图

约旦定理

约当曲线：自身不相交的，始点与终点重合的曲线

约当定理：一条约旦曲线L把平面分成了两个开集，分别称为内部和外部，则连接内部点和外部点的任何连续曲线必与 L相交，可用来证明非平面图

面和次

面：G的边将G所在的平面划分成若干区域，每个区域称为G的一个面，R

无限面或外部面：面积无限的面

有限面或内部面：面积有限的面

面的边界：包围面的所有边组成的回路

面的次数：边界的长度 deg(R)deg(R)deg(R)

定理11.2

定理11.2：∑i=1rdeg(Ri)=2m\displaystyle\sum_{i=1}^{r}deg(R_i)=2mi=1∑rdeg(Ri)=2m

说人话就是所有面的次数加和为边数的2倍

每个边会给两个面贡献次数

极大平面图

极大平面图是简单平面图，但是在任意两个不相邻的点之间加边就会变成非平面图

特点：极大平面图一定连通极大平面图不含有割点和桥

定理11.4：n阶连通简单平面图是极大平面图⇔∀R,deg(R)=3n阶连通简单平面图是极大平面图 \Harr \forall R,deg(R)=3n阶连通简单平面图是极大平面图⇔∀R,deg(R)=3

定理11.5：n(n≥4)阶极大平面图G中，δ(G)≥3n(n\ge4)阶极大平面图G中，\delta(G)\ge3n(n≥4)阶极大平面图G中，δ(G)≥3

欧拉公式

欧拉公式：设G是连通平面图，则n−m+r=2n-m+r=2n−m+r=2

其中r是G的面数，n是G的阶，m是G的边数

定理11.7：设G是平面图，则n−m+r=1+pn-m+r=1+pn−m+r=1+p

其中r是G的面数，p是G的连通分支数

定理11.8：设G是连通平面图，G的各面次数至少是l(≥3)l(\ge3)l(≥3)，则m≤(n−2)l/(l−2)m\le(n-2)l/(l-2)m≤(n−2)l/(l−2)

定理11.9：设平面图G有p个连通分支，G的各面次数至少是l(≥3)l(\ge3)l(≥3)，则

m≤ll−2(n−p−1)m\le {l\over{l-2}}(n-p-1)m≤l−2l(n−p−1)

定理11.10：设n(≥3)n(\ge3)n(≥3)阶简单平面图G有m条边，则m≤3n−6m\le3n-6m≤3n−6

定理11.11：设n(≥3)n(\ge3)n(≥3)阶简单极大平面图G有m条边则m=3n−6m=3n-6m=3n−6

定理11.12：设G是简单平面图，则δ(G)≤5\delta(G)\le5δ(G)≤5

平面图的判断

插入2度顶点：把（u,v）变成(u,w),(w,v)

删除2度顶点：deg(w)=2deg(w)=2deg(w)=2,把(u,w),(w,v)变成(u,v)

同胚：G1,G2同构或反复插入或删除2度顶点后同构G_1,G_2同构或反复插入或删除2度顶点后同构G1,G2同构或反复插入或删除2度顶点后同构

定理11.13：图G是平面图⇔G没有与K5或K3,3同胚的子图图G是平面图\Harr G没有与K_5或K_{3,3}同胚的子图图G是平面图⇔G没有与K5或K3,3同胚的子图

定理11.14：图G是平面图⇔G没有可以边收缩到K5或K3,3的子图图G是平面图\Harr G没有可以边收缩到K_5或K_{3,3}的子图图G是平面图⇔G没有可以边收缩到K5或K3,3的子图

平面图的对偶图

对偶图的点数：n∗=rn^*=rn∗=r

对偶图的边数：m∗=mm^*=mm∗=m

对偶图的面数：r∗=n−p+1r^*=n-p+1r∗=n−p+1

对偶图的性质

如果G是连通的，则G∗与G互为对偶图如果G是连通的，则G^*与G互为对偶图如果G是连通的，则G∗与G互为对偶图
G∗是平面图，而且是平面嵌入G^*是平面图，而且是平面嵌入G∗是平面图，而且是平面嵌入
G∗是连通的G^*是连通的G∗是连通的
若边e为G中的环，则G∗与e对应的边e∗为桥，若e为桥，则G∗中与e对应的边e∗为环若边e为G中的环，则G^*与e对应的边e^*为桥，若e为桥，则G^*中与e对应的边e^*为环若边e为G中的环，则G∗与e对应的边e∗为桥，若e为桥，则G∗中与e对应的边e∗为环
在多数情况下，G∗是多重图在多数情况下，G^*是多重图在多数情况下，G∗是多重图
同构的平面图的对偶图不一定同构同构的平面图的对偶图不一定同构同构的平面图的对偶图不一定同构

自对偶图

定理11.18：n≥4时，轮图Wn是自对偶图n\ge4时，轮图W_n是自对偶图n≥4时，轮图Wn是自对偶图

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