软件离散数学复习笔记资料

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数理逻辑

逻辑：以研究人的思维形式及思维规律为目的的一门学科

数理逻辑：利用数学符号来协助推理的一门形式逻辑学

命题：能表达判断并具有确定真值的陈述句

真值：每个命题都具有的一个值，要么为真，要么为假，不能随着环境变化

原子命题：不能再分解的命题

复合命题：由原子命题符号及联结词组成的有意义的命题表达式
否定非P 合取P而且Q 析取P可兼或Q 排斥析取P不可兼或Q 单条件若P则Q 双条件P当且仅当Q

命题公式：满足特定条件的合法的命题表达式

分量：命题公式中的原子命题

翻译：将自然语言转化为数理逻辑语言

真值表：对一个命题公式而言，将对于其分量的各种可能的真值指派汇聚成的表

两个命题等价：对两个命题公式A,B,若对于A\B中的所有命题变元P1\P2…对天安门的任一组真值指派A，B相同对应的行的真值相同，则称A与B等价

等价定律：交换律，结合律，分配律，摩根律，否定律，同一律

重言式：永真式，无论对命题变元作何种真值指派，它都等价于T的命题公式

永假式：无论对命题变元作何种真值指派，它都等价于F的命题公式
用一个命题公式代替重言式中同一个分量，依然为重言式

蕴含式：若A->B永真则称A蕴含B，记做A=>B
原命题等价于它的逆否命题
三个性质：传递性，A=>B A=>C A=>(B^C)， A=>B C=>B AvC=>B

有效结论：H1，H2、、、、Hn，C为一组命题公式，若H1^H2…^Hn=>C,称C是一组条件下的有效结论
三种方法：真值表法，直接证法，间接证法

其他连接词：条件否定，与非，或非

规范命题表达式：只含非且或
合取范氏：当且仅当具有A1^A2…^An形式，A1，A2…An都是命题变元或其否定组成的析取式
析取范式：当且仅当具有A1vA2v…vAn形式，A1，A2…An都是命题变元或其否定组成的合取式
一个命题公式的合取范氏或析取范氏并不是唯一的

n个命题变元的合取式，称作布尔合取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次 P^Q P^非Q
一般n个命题变元共有2^n个小项

n个命题变元的析取式，称作布尔析取或大项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次 PvQ Pv非Q

主析取范式：对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由小项的析取所组成，则称该等价式为原式的主析取范式

主合取范式：对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由大项的合取所组成，则称该等价式为原式的主合取范式

集合论

集合：满足一定特征的对象的全体

扩张原则：两个集合相等，当且仅当他们有相同的元素
抽象原则：任给一个集合U和一个性质P，存在一个集合A，使得A的各个元素恰好是U的具有性质P的那些成员

集合表示：列举法，特征法

幂集：对给定的集合A，称以A的全体子集为元素的集合为A的幂集

集合的基数：|A|元素的个数

无限集合：元素个数能与某个真子集一一对应的集合

序偶：有序的二元数组<x,y>

笛卡尔积：称A*B={<x,y>|x属于A且y属于B}

二元关系：以序偶作为元素的集合即关系xRy，关系前域指x，关系值域指y，关系域是前域和值域的并集。两集合A与B的笛卡尔积的任一子集，称为A到B的一个关系，若A=B，则称该子集为A上的一个关系
关系表示：集合表示法，关系矩阵法，关系图表示法

关系性质：
自反关系（x属于X，<x,x>属于R），反自反关系（x属于X，<x,x>不属于R）【存在既不反自反也不自反的关系】
对称性 x，y属于X，且<x,y>属于R，则<y,x>属于R，反对称关系x属于X，y属于X，且<x,y>属于R，<y,x>属于R，则x=y【存在既对称又反对称的关系，存在既不对称又不反对称的关系】
传递性 x,y,z属于X，且<x,y><y,z>都属于R，则<x,z>属于R

复合关系:<x,y>属于R,<y,z>属于S，则<x,z>属于R复合S
逆关系: {<y,x>|<x,y>属于R,x属于X,y属于Y}

闭包运算：通过往已知关系中添加序偶让它达到某种要求的运算，叫闭包运算

覆盖：A为非空集合，S={s1,s2…sm}其中Si属于A，且S的并集为A，则S是A的一个覆盖

划分：若对一个覆盖而言，S任意两个子集的交集为空，则称S是A的一个划分
注：两划分的交叉划分也是原集合A的一个划分
交叉划分是原两划分的加细

等价关系：同时具备自反，对称和传递三个性质的关系即等价关系
等价类：A上的等价关系R，A中的任意a，x属于A，<x,a>属于R，为元素a生成的R等价类

商集：若R是A上的一个等价关系，则称以A的所有等价类为元素的集合为A关于R的商集，为A/R
定理：A上的一个等价关系R确定了A的一个划分A/R
A上的一个划分也能确定A上的一个等价关系
A上的两个等价关系R1，R2，则成立 A/R1=A/R2等价于 R1=R2
A上的等价关系与划分是一一对应的

相容关系：给定集合A上的关系r，若r是自反的、对称的、则称r是相容关系
最大相容类：设r是集合A上的相容关系，不能真包含在任何其他相容类中的相容类，称作最大相容类
在相容关系图中，最大完全多边形的顶点集合，就是最大相容类
定理：设r是有限集合A上的相容关系，C是一个相容类，那么必存在一个最大相容类Cr，使得C属于Cr
在集合A上给定相容关系r，其最大相容类的集合称作集合A的完全覆盖，记为Cr(A)

偏序关系：A上的关系R，同时满足自反，反对称，传递三个性质，则称R为偏序关系
链与反链：一个元素构成的子集，既是链，又是反链

全序关系：在偏序集A中，如果对任意的x,y属于A，xy yx必有一个成立，则称A为全序集合或线序集合，而称关系为全序关系或线序关系

极大元，极小元必然存在，极大元，极小元可以不唯一。若B有最大元，则它们必然唯一

良序关系：偏序集A，若B属于A，B中总有最小元，则称A是良序集
良序集一定是全序集，有限元素的全序集一定是良序集

函数性质：入射（单射） x1和x2不等，函数值不等
满射：对任意y属于Y，存在x属于X，使得y为x的函数
双射：既是入射又是满射的函数

逆函数：若f x->y 的双射,则逆函数是y->x 的双射
复合函数： gf <x,y>属于f <y,z>属于g g在f的左可复合函数
令gf 是个复合函数若g和f是满射，则gf是满射若g和f是入射，则gf是入射，都是双射，g*f是双射

图论
图的定义：平面上由一些点和连接两点之间的连线构成的图形
有向图-每条边都有方向的图，无向图-每条边都没有方向的图，混合图-既有有向边又有无向边的图
点边关联，点点（边边）邻接（相邻）结点v的度-v关联的边数（环在算度数时，规定按两次计），所有结点的度数和=边数x2
空图：没有边的图，平凡图：一个点的空图，有向图的出入度，奇偶点：度为奇偶数的点

图的基本定理
1、无向图的度为边数的两倍
2、图的奇点个数一定为偶数，若不包含重边，也不含环，则称G为简单图
完全图：任两结点之间有且仅有一条边相连的n个结点的图
有向完全图：完全图每条边上任意添加一个方向

同构：两个图若存在一个映射，点到点，边和边也映射，则两个图同构
必要条件：结点数目相同，边数相等，度数相同的结点数目相等，与同度点相邻的点的度数应对应相同

补图：两个图点和边相互补充
子图：点和边都属于另一个图的子集，真子图：点或边不全包含

路与回路
路的长度：路经过的边的次数，路，迹，通路，回路，闭迹，圈
定理：n个结点的图当中存在长为l的路，那么G中必存在长度小于等于n-1的路
两点连通：两点之间有路相连，连通是等价关系，确定V的一个划分，诱导子图为G的连通分支
删除某点和边不连通，但删除这些点或边的子集依然连通，也就是必须要删除的点和边
一个点的点割集叫做割点，一条边的边割集叫做割边，也叫做桥，点连通度是最小的点割集数目，边连通度是最小的边割集数目，完全图的连通程度最强，都为N-1

欧拉图
1、欧拉回路：经过G中每条边一次且仅一次的回路
2、欧拉图：含有欧拉回路的图
3、欧拉图充要条件：G无孤立点，那么G是欧拉图【G连通且无奇点】

汉密尔顿图
1、汉密尔顿圈：经过图G中每个点一次且仅一次的圈
2、汉密尔顿图：含有汉密尔顿圈的图，至今无充分必要条件
3、闭包：简单图G是汉密尔顿图等价于它的闭包是也是汉密尔顿图

平面图
1、平面：边与边除了在结点处相交外再无其他交点的，可以画在平面上的一幅图
2、平面图：经过某种画法可以把它画成平图的一幅图
3、把平面图画成平图的过程为图的平面嵌入

连通平面图
面：点边围成的封闭区域f，且f中不含其它点，边
面的次：围成一个面经过的边的次数
欧拉公式：对连通平面图G=<V,E>, 则v-e+r=2。如果图不连通，则有v-e+r=1+W(G)
kuratowaski定理：G是平面图等价于它不含在2度结点内与K5或者K3,3同构的子图

对偶图
1、对偶图：把S中的边对应成S’中的顶点
2、自对偶图：若图G的对偶图恰与G同构，则称图G是一个自对偶图
3、性质：平面图的对偶图还是平面图，平面图的对偶图一定是连通的
平面图的面着色问题–对偶图的点着色问题–普通图的点着色问题

线图
1、以原图的边作为新结点，两个新点之间有边相连当且仅当原来两条边在原图中相邻，这样得到的图为线图
边着色问题–线图的点着色问题

树
1、树：连通的无圈图
2、森林：无圈图
任意一棵树的着色数为2，因为树都是二部图
3、生成树：作为图G的支撑子图的一棵树，任一连通图都至少有一棵生成树
4、带权图：每条边上都带有一个给定权值的图
5、最小生成树：边权和最小的生成树，不唯一
6、有向树：在不考虑边上方向时为一棵树的有向图
7、根树：一棵恰有一个结点的入度为0，其余结点的入度为1的有向树
8、有序树：结点间拥有顺序的根树，任意一棵有序树都可以改写成一棵对应的二叉树
9、m叉树，完全m叉树：同二叉树
10、通路长度：根树中，从根结点到某个结点的通路经过的边数称为此结点的通路长度
11、带权二叉树：每片树叶i都带权值wi的二叉树
12、最优二叉树必是完全二叉树

代数系统
1、n元运算符：A，B为给定的集合，A^n->B为A上的一个n元运算
2、代数系统：非空集合A，以及定义在其上的若干运算，就称为一个代数系统，如果一个运算在A上满足封闭性，针对A中的两个元素，运算结果也属于A
3、幺元：ea=a e左幺元 ae=a 右幺元如果A中同时存在左幺元和右幺元，则必存在幺元
4、零元：qa=q aq=q 左右零元同时存在左零元和右零元，则存在零元
5、逆元：ab=e b为a的右逆元，ba=e b为a的左逆元 ab=ba=e b为a的逆元

半群
1、广群：代数系统<A,>称为广群，若在A上满足封闭性
2、半群：<S,>为半群，若满足封闭性和可结合性
3、子半群：<S,>是半群，<B,>是半群，B属于S，称<B,>是<S,>的子半群
4、独异点：含有幺元的半群称为独异点，设<s,>是一个独异点，则在它的乘法表中任何两行或任何两列都是不相同的，设<S,>是一个独异点，在S中任取两个元素a和b，如果a和b都有逆元，那么ab也必有逆元

群与子群
1、群：设<G,>是一个代数系统，是G上的二元运算，如果在G上是封闭的并且是可结合性的，存在幺元，每个元素的逆元也存在于G中，称代数系统为一个群
2、有限群：设<G，>是一个群，如果G是一个有限集，则称<G,>是一个有限集，如果G是一个无限集，则称<G,>是一个无限群
3、子群：<G,>是一个群，B是G的非空子集，<B,>也作成一个群，称<B，>是<G,>的子群
4、群的性质：
每个元素的逆元唯一
若|G|>1，则G中无零元
群中满足消去律
子群与原群具有相同的幺元
5、非空子集成为子群的两个充分条件
-设群<G,>,B是G的一个非空子集，满足B是有限集，在B中满足封闭性，则<B,>必为<G,>的子群
-设<G,>是一个群，S是G的一个非空子集，如果对S中任何元素a,b，都有ab逆属于S，那么<S,>必为<G,>的子群

阿贝尔群
1、定义：<G,>是一个群，如果群中的运算还满足交换律，即对任何两个元素x,y属于G，都有xy=yx,则称为一个阿贝尔群
2、定理：<G,>是群，那么它是交换群的充要条件是，任意a,b
(ab)(ab)=(aa)(b*b)

循环群
1、定义：<G,>是一个群，如果群G中存在一个元素a，使得G中任何元素都可以表示成元素a的整数幂，则称<G,>是一个循环群，元素a称为循环群中的一个生成元
2、性质：任何循环群必为阿贝尔群，一般说来，阿贝尔群未必是循环群
3、群的元素的阶：设<G,*>是一个群，a是群G中任一个元素，如果有正整数r存在使得a^{r=e成立，对任何小于r的正整数m，a}m=e皆不成立，则称a是一个有限阶元素，并称该元素的阶位r

矛盾式的概念，然后给出一串式子让你判断是不是矛盾式？
【设A为任一命题公式，若A在它的各种指派情况下，其取值均为假】
什么是满射？A到B是满射，B到C是满射问A到C是不是满射？
【对于每个y属于Y，都存在x属于X，使得f(x)=y，称f为满射，A到C是满射】
什么是命题的对偶式？
【在仅含有联结词与（∧）、或（∨）、非（┌）的命题公式A中，将∨换成∧，∧换成∨，若A中还含有0或1，则还需将其中的0换成1，1换成0，而命题保持不变，所得到的新命题公式A就是A的对偶式】
什么叫割边？
【图中去掉该边就不再连通】
<G,>是一个群，<B,>满足什么性质时，<B,>是<G,>的一个子群？
【B是G的子集，且B在运算下也是一个群】
主析取范式和主合取范式的概念
【对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由小项的析取所组成，则称该等价式为原式的主析取范式；对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由大项的合取所组成，则称该等价式为原式的主合取范式】
哈斯图
【图中的每个结点表示集合A中的一个元素，结点的位置按它们在偏序中的次序从底向上排列。即对任意a，b属于A，若a≤b且a≠b,则a排在b的下边。如果a≤b且a≠b，且不存在c∈A满足a≤c且c≤b，则在a和b之间连一条线。这样画出的图叫哈斯图】
什么是群？
【设<G,*>是一个代数系统，是G上的二元运算，如果在G上是封闭的并且是可结合性的，存在幺元，每个元素的逆元也存在于G中，称代数系统为一个群】
命题与悖论有什么区别?
【能表达判断并具有确定真值的陈述句是命题；在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论，但表面上又能自圆其说的命题或理论体系为悖论】

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