吉哥系列故事——恨7不成妻(多返回值的数位DP)

第一次碰到这种题,才发现对数位DP真是不了解

不清楚状态就胡乱转移,还一直以为对了…

定义 d p [ l e n ] [ m o ] [ w e i m o ] 为长 l e n , 且数字总和模为 m o , 数字位总和为 w e i m o 的状态定义dp[len][mo][weimo]为长len,且数字总和模为mo,数字位总和为weimo的状态定义dp[len][mo][weimo]为长len,且数字总和模为mo,数字位总和为weimo的状态

然后你可能想直接在 d p [ l e n ] [ m o ] [ w e i m o ] 放合法数的平方和然后你可能想直接在dp[len][mo][weimo]放合法数的平方和然后你可能想直接在dp[len][mo][weimo]放合法数的平方和

但是怎么转移 ? 但是怎么转移? 但是怎么转移?

一般情况是这样做 \color{Red}一般情况是这样做一般情况是这样做

 for(int i=0;i<=last;i++){int MO=(mo*10+i)%7;int WEIMO=(weimo+i)%7;sumn+=dfs(len-1,has7||(i==7),MO,WEIMO,limit&&(i==a[len]),he*10+i);sumn%=mod;}

但是在这里 , 怎么能直接加上去呢 ? \color{Red}但是在这里,怎么能直接加上去呢? 但是在这里,怎么能直接加上去呢?

s u m n 加上的数表示长度为 l e n − 1 的平方和 , 没有算上我们之前选的数字啊 ! ! ! sumn加上的数表示长度为len{-}1的平方和,没有算上我们之前选的数字啊!!! sumn加上的数表示长度为len−1的平方和,没有算上我们之前选的数字啊!!!

让我们分析一下

设当前选到第 l e n 个位置 , 这一位选的数字是 i 设当前选到第len个位置,这一位选的数字是i 设当前选到第len个位置,这一位选的数字是i

由于这一位大小是 i ∗ 1 0 l e n − 1 记作 y , 设后面 l e n − 1 位合法数是 x j 由于这一位大小是i*10^{len-1}记作y,设后面len-1位合法数是x_j 由于这一位大小是i∗10len−1记作y,设后面len−1位合法数是xj

那么平方和是 ∑ x j ∈ 合法数字 ( y + x j ) 2 那么平方和是\sum_{x_j\in合法数字}(y+x_j)^2 那么平方和是∑xj∈合法数字(y+xj)2

化简得 ∑ x j ∈ 合法数字 y 2 + x j 2 + 2 y x j 化简得\sum_{x_j\in合法数字}y^2+x_j^2+2yx_j 化简得∑xj∈合法数字y2+xj2+2yxj

设合法数字个数是 c n t , 那么有设合法数字个数是cnt,那么有设合法数字个数是cnt,那么有

c n t ∗ y 2 + ∑ x j 2 + 2 y ∑ x j cnt*y^2+\sum{x_j^2+2y}\sum{x_j} cnt∗y2+∑xj2+2y∑xj

所以在每个 d p 的状态种储存三个值才能进行转移所以在每个dp的状态种储存三个值才能进行转移所以在每个dp的状态种储存三个值才能进行转移

Ⅰ . 当前状态合法数字的个数 , 也就是上面的 c n t Ⅰ.当前状态合法数字的个数,也就是上面的cnt Ⅰ.当前状态合法数字的个数,也就是上面的cnt

Ⅱ . 当前状态的合法数的平方和 Ⅱ.当前状态的合法数的平方和 Ⅱ.当前状态的合法数的平方和

Ⅲ . 当前状态合法数字的和 Ⅲ.当前状态合法数字的和 Ⅲ.当前状态合法数字的和

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7;
struct p{ll SUM,cnt,qsum;p():cnt(0),SUM(0),qsum(0){}p(ll a,ll v,ll c){SUM=a,cnt=v,qsum=c;}
};
ll n,t,a[22],ten[22];
p dp[20][7][7];
p dfs(int len,int mo,int weimo,int limit)
{if( len==0 ){if( mo==0||weimo==0 )   return (p){0,0,0};return (p){0,1,0};}p now=dp[len][mo][weimo],ans;if( !limit&&now.SUM!=0 )    return now;int last=limit?a[len]:9;for(int i=0;i<=last;i++){if( i==7 )    continue;ll MO=(mo*10+i)%7, MOWEI=(weimo+i)%7;p temp=dfs(len-1,MO,MOWEI,limit&&(i==a[len]) );ll res=i*ten[len-1]%mod;ans.cnt=( ans.cnt+temp.cnt )%mod;ans.SUM=( ans.SUM+temp.SUM+res*temp.cnt%mod  )%mod;//当前状态数字和 ll k1=res*res%mod*temp.cnt%mod;//cnt*x^2ll k2=2*res%mod*temp.SUM%mod;ans.qsum=( ans.qsum+k1+k2+temp.qsum)%mod;//当前状态平方和 }if( !limit ) dp[len][mo][weimo]=ans;return ans;
}
ll sovle(ll n)
{memset(a,0,sizeof(a));while( n ){a[++a[0]]=n%10;n/=10;}return dfs(a[0],0,0,1).qsum;
}
int main()
{ten[0]=1;for(int i=1;i<=18;i++)    ten[i]=ten[i-1]*10;cin >> t;while( t-- ){ll l,r;cin >> l >> r;cout << (mod+sovle(r)-sovle(l-1))%mod << endl;}
}

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