HDU 4507 吉哥系列故事——恨7不成妻详解(变态数位DP)

Problem Description

单身!
　　依然单身！
　　吉哥依然单身！
　　DS级码农吉哥依然单身！
　　所以，他生平最恨情人节，不管是214还是77，他都讨厌！
　　
　　吉哥观察了214和77这两个数，发现：
　　2+1+4=7
　　7+7=7*2
　　77=7*11
　　最终，他发现原来这一切归根到底都是因为和7有关！所以，他现在甚至讨厌一切和7有关的数！

　　什么样的数和7有关呢？

　　如果一个整数符合下面3个条件之一，那么我们就说这个整数和7有关——
　　1、整数中某一位是7；
　　2、整数的每一位加起来的和是7的整数倍；
　　3、这个整数是7的整数倍；

　　现在问题来了：吉哥想知道在一定区间内和7无关的数字的平方和。

Input

输入数据的第一行是case数T(1 <= T <= 50)，然后接下来的T行表示T个case;每个case在一行内包含两个正整数L, R(1 <= L <= R <= 10^18)。

Output

请计算[L,R]中和7无关的数字的平方和，并将结果对10^9 + 7 求模后输出。

Sample Input

3 1 9 10 11 17 17

Sample Output

236 221 0

Source

2013腾讯编程马拉松初赛第一场（3月21日）

题意：

求区间[l,r]内所有与7无关的数的平方和（取模）

定义与7无关的数：

1.数字的数位上不能有7

2.数字的数位和不能是7的倍数

3.数字本身不能是7的倍数

分析：

状态的保存：

1.数位上不能有7: 只需枚举数位的数字的时候跳过7就好 if (i == 7) continue;

2.数位和不能是7的倍数: 那么开一维保存数位和除以7的余数

3.数字本身不能是7的倍数：再开一维保存数字除以7的余数

综上，dp[i][j][k]3个维度保存的数字属性分别是：

i : 当前处理的数位

j : 数位和%7 等于j

k: 数字本身%7等于k

对于具有上述属性的数，用dp保存它们的3个值:（用结构体）

cnt: 具有该属性的所有数字的个数

s :具有该属性的所有数字的和

ss:具有该属性的所有数字的平方和

为什么要保存这3个值？为了下面的计算

状态的转移：

关于状态转移，先简单的写这样一个式子：dp[i][j][k] = ∑dp[i-1][(j+dig)%7][(k*10+dig)%7]（这里的求和符号不指加法，是一个抽象的意义）

其中dig是枚举的正在处理的数位i上所有可能的数字（这个式子只能帮助理解状态是如何转移的但是却不表示具体的运算，dp是结构体当然不能直接运算）

上面的等式，我们称等式左边表示总状态，等式右边为其子状态，显然总状态是等于所有子状态的“总和”（我说的状态的总和并非指加法运算）

那么怎么通过子状态算出总状态呢？

具体的计算：

先说几句废话：

对于1234这个数，它的数位上的数是1,2,3,4，它的数位和是1+2+3+4，它自身的数值是 1*1000+2*100+3*10+4

如果我知道数字234是与7无关的数，在其前面加一个1，也是与7无关的数，我是怎样计算在其前面加一个1之后的数的平方和的呢

(1*1000)^2 + 2*(1*1000)*234 + 234^2 这里相当于（1000+234）^2

注意：在具体的状态转移中，我们是不知道234这个值，我们只知道有这么一个子状态

另外，这只是一个数的平方，我们要求的是所有满足的数的平方和，所以最后具体的算式如下：

设总状态为ans，它其中一个子状态为tmp,枚举正在处理的这一数位上的数字为 i ,数位 i 在整个数字中具体的数值是i*10^p

那么有： //这里自己手算写写就会懂了，注意这里都是+=，都是加上这位数后面的个数跟状态。

(1) ans.cnt += tmp.cnt

(2) ans.s += tmp.s + [ i*10^p ]*tmp.cnt //之所以*数量，是因为后面有许多个符合条件的数，这一位可以跟后面所有符合条件的数搭配

(3) ans.ss += tmp.ss + 2*(i*10^p)*tmp.s + [(i*10^p)^2]*tmp.cnt //这里的中间部分两倍那里，比较坑。。。

之所以变态是因为这个数太大了，不懂不懂就爆long long 所以哪里都要%Mod，少一个Mod就wa，另外这题比较新，返回的是结构体，判断记忆化的时候，也是用结构体里的变量实现的，通过构造函数初始化

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int Mod = 1e9 + 7;
int bit[20];
ll byte[20];
struct node
{ll cnt, sum, ssum;node(){cnt = -1; sum = 0; ssum = 0;}  //这里用于新node一个struct的初始化node (ll cc, ll ss, ll ssss) : cnt(cc), sum(ss), ssum(ssss){}}dp[22][10][10];
node dfs(int len, int sremd, int nremd, int limit)
{if(len < 1) return  sremd && nremd ? node(1, 0, 0) : node(0, 0, 0); //这里如果位数小于个位了，如果两个条件达到的话，说明它符合了，数量+1if(!limit && dp[len][sremd][nremd].cnt != -1) return dp[len][sremd][nremd]; //通过结构体初始化判断是否访问过，秒啊int last = limit ? bit[len] : 9;node ans; ans.cnt  = 0;for(ll i = 0; i <= last; i++){if(i == 7) continue;node temp = dfs(len-1, (sremd + i)%7, (nremd*10 + i)%7, i == last && limit); //这里也没见过，直接找后面位数的状态，真正的递归思想，因为这一位的状态取决于后面的状态的ans.cnt = (ans.cnt + temp.cnt) % Mod;ll r = ((i*byte[len])%Mod*temp.cnt%Mod)%Mod;  //不断Mod。。ll r1 = (i*byte[len])%Mod;ans.sum = (ans.sum + (r + temp.sum)%Mod)%Mod;ans.ssum = (ans.ssum + (temp.ssum + (((r1 * r1)%Mod)*temp.cnt)%Mod + ((2 * r1)%Mod*temp.sum)%Mod)%Mod)%Mod;}if(!limit) dp[len][sremd][nremd] = ans;return ans;
}
ll cal(ll n)
{int k = 0;while(n){bit[++k] = n % 10;n /= 10;}return dfs(k, 0, 0, 1).ssum;
}
void init()
{byte[1] = 1;for(int i = 2; i < 20; i++)byte[i] = (byte[i-1]*10) % Mod;
}
int main()
{int t;init();scanf("%d", &t);while(t--){ll l, r;scanf("%I64d%I64d", &l, &r);//   cout << cal(r) << endl << cal(l-1) << endl;printf("%I64d\n", ((cal(r)-cal(l-1))%Mod+Mod)%Mod);  //长知识，因为这里cal都是区域之后的值，可能导致这里是是负数，所以要先+Mod然后再对整体Mod}return 0;
}

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