随机过程之更新理论的应用

随机过程之更新理论的应用
人工智能越来越热，但由于人工智能范围领域之广，对数学的各科要求很高，因而回顾下随机过程基本知识。
#更新过程可以看作是Poisson过程的推广，首先先回顾下Poisson的定义：
我们把满足一下条件的计数过程{N(t),t≥0}称为Poisson过程：

N(t) ≥ 0
N(t)具有平稳增量和独立增量
P(N(t+s)-N(s)=n)=(λt)tn!e(−λt)\frac{(\lambda t)^t}{n!} e^{(-\lambda t)}n!(λt)te(−λt)

我们发现Poisson过程的两个相邻事件的发生如XnX_nXn记为第n-1次事件与第n次事件发生的时间间隔服从Poisson分布。
但是在现实中应用会发现有很多时间间隔分布并不满足Poisson分布，因此我们把Poisson分布推广，推广至任意服从一个相同的分布记为F,那么这样一个过程我们就称为更新过程。更新过程在实际的应用很广泛，比如我们有一堆灯泡，灯泡的使用时间服从μ\muμ的指数分布，如果灯泡失效，我们以速率λ\lambdaλ的指数分布更换等。
以上我们得到了更新过程！
我们记Sn=∑i=1nXiS_n=\sum_{i=1}^n X_iSn=∑i=1nXi那么SnS_nSn是第n个更新的时刻。有N(t)≥n⟺Sn≤tN(t) \geq n \Longleftrightarrow S_n \leq tN(t)≥n⟺Sn≤t这个表明我们在t时刻为止发生的更新数大于等于n，那么第n个发生的时刻一定会是小于等于t。
设Xi∼FX_i \sim FXi∼F 则P(N(t)=n)=P(N(t)≥n)−P(N(t)≥n+1)=P(Sn≤t)−P(Sn+1≤t)=Fn(t)−Fn+1(t)P(N(t)=n)=P(N(t)\geq n)-P(N(t)\geq n+1)=P(S_n \leq t) - P(S_{n+1} \leq t) = F_n(t) -F_{n+1}(t)P(N(t)=n)=P(N(t)≥n)−P(N(t)≥n+1)=P(Sn≤t)−P(Sn+1≤t)=Fn(t)−Fn+1(t)。其中FnF_nFn为X的n重卷积。
第一次写，希望以后能够慢慢总结！

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