连续型随机变量及概率密度

随机变量是为样本空间中的每个结果分配数值的规则。随机变量可以是离散的或连续的。如果随机变量只假设一个区间内的特定值，则称它是离散的。否则是连续的。

分布名称\qquad\qquad\qquad	记法\qquad\qquad\qquad	分布函数P(ξ≤x)P(\xi\leq x)P(ξ≤x) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad	概率密度\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad	均值\qquad	方差\quad
均匀分布	X∼U(a,b)X\thicksim U(a,b)X∼U(a,b)	F(x)={0,x∈(−∞,a)x−ab−a,x∈[a,b]1,x∈(b,+∞)F(x)=\begin{cases}0&,&x\in (-\infty,a)\\ \frac{x-a}{b-a}&,& x\in [a,b] \\ 1&,&x\in (b,+\infty)\end{cases}F(x)=⎩⎪⎨⎪⎧0b−ax−a1,,,x∈(−∞,a)x∈[a,b]x∈(b,+∞)	f(x)={1b−a,x∈[a,b]0,x∈(−∞,a)∪(b,+∞)f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a}&,&x\in [a,b]\\0&,&x\in (-\infty,a)\cup(b,+\infty)\end{cases}f(x)={b−a10,,x∈[a,b]x∈(−∞,a)∪(b,+∞)	a+b2\frac{a+b}{2}2a+b	(b−a)212\frac{(b-a)^2}{12}12(b−a)2
高斯分布	X∼N(μ,σ2)X\thicksim N(\mu,\sigma^2)X∼N(μ,σ2)	F(x)=1σ2π∫−∞xe(x−μ)2−2σ2dxF(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{\frac{(x-\mu)^2}{-2\sigma^2}}dxF(x)=σ2π1∫−∞xe−2σ2(x−μ)2dx	f(x)=1σ2πe(x−μ)2−2σ2f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{\frac{(x-\mu)^2}{-2\sigma^2}}f(x)=σ2π1e−2σ2(x−μ)2	μ\muμ	σ2\sigma^2σ2
指数分布	X∼E(λ)X\thicksim E(\lambda)X∼E(λ)	F(x)={1−e−λx,x∈(0,+∞)0,x∈(−∞,0],λ>0F(x)=\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&,&x\in(0,+\infty)\\ 0&,&x\in (-\infty,0]\end{cases},\lambda>0F(x)={1−e−λx0,,x∈(0,+∞)x∈(−∞,0],λ>0	f(x)={λe−λx,x∈(0,+∞)0,x∈(−∞,0],λ>0f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&,&x\in(0,+\infty)\\ 0&,&x\in (-\infty,0]\end{cases},\lambda>0f(x)={λe−λx0,,x∈(0,+∞)x∈(−∞,0],λ>0	1λ\frac{1}{\lambda}λ1	1λ2\frac{1}{\lambda^2}λ21

不能用与离散随机变量的概率分布相同的方法来确定连续随机变量的概率分布。对于离散随机变量，任何单个结果发生的概率都可以使用概率质量函数精确确定。在连续随机变量的情况下，任何单个结果发生的概率为0。只能确定给定区间内的任何结果发生的概率。这可以使用概率密度函数来完成。

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