连续型随机变量及其概率密度(知识点部分)

1.连续型随机变量1.连续型随机变量1.连续型随机变量

如果对于随机变量XXX的分布函数F(x)F(x)F(x)，存在非负可积函数f(x)f(x)f(x)，使对于任意实数xxx有F(x)=∫−∞xf(t)dt,F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)dt,F(x)=∫−∞xf(t)dt,
则称XXX为连续型随机变量，f(x)f(x)f(x)称为的概率密度函数，简称概率密度.

2.概率密度f(x)的性质2.概率密度f(x)的性质2.概率密度f(x)的性质

(1)f(x)⩾0;(1)f(x)\geqslant0;\;(1)f(x)⩾0;

(2)∫−∞∞f(x)dx=1;(2)\int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=1;(2)∫−∞∞f(x)dx=1;

(3)对于任意实数x1,x2,(x1≤x2)(3)对于任意实数x_1,x_2,(x_{1} \leq x_{2})(3)对于任意实数x1,x2,(x1≤x2)
P{x1<X≤x2}=F(x2)−F(x1)=∫x1x2f(x)dx;{P}\{x_1<X \leq x_{2}\}=F(x_2)-F(x_1)=\int_{x_{1}}^{x_{2}} f(x) d x;P{x1<X≤x2}=F(x2)−F(x1)=∫x1x2f(x)dx;
(4)若f(x)在点x处连续，则有F′(x)=f(x);(4)若f(x)在点x处连续，则有F^{\prime}(x)=f(x);(4)若f(x)在点x处连续，则有F′(x)=f(x);

(5)P{X=a}=0.(5)P\{X=a\}=0.(5)P{X=a}=0.

3.均匀分布3.均匀分布3.均匀分布

若连续型随机变量XXX具有概率密度f(x)={1b−a,a<x<b，0,其他，f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{b-a}, & a<x<b ，\\ 0, &其他， \end{array}\right.f(x)={b−a1,0,a<x<b，其他，
则称XXX在区间(a,b)(a,b)(a,b)上服从均匀分布.记为X∼U(a,b)X \sim U(a,b)X∼U(a,b).
XXX的分布函数为f(x)={0,x<a，x−ab−a,a≤x≤b，1,x⩾bf(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, &x<a ，\\ \frac{x-a}{b-a}, &a \leq x \leq b，\\ 1, &x\geqslant b \end{array}\right.f(x)=⎩⎨⎧0,b−ax−a,1,x<a，a≤x≤b，x⩾b

4.指数分布4.指数分布4.指数分布

若连续型随机变量XXX的概率密度为f(x)={1θe−xθ，x>0,0,其他,f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta} }，&x>0,\\ 0, & 其他, \end{array}\right.f(x)={θ1e−θx，0,x>0,其他,
其中θ>0\theta>0θ>0为常数，则称XXX服从参数为θ\thetaθ的指数分布.
XXX的分布函数为F(x)={1−e−xθ，x>0,0,其他,F(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1- e^{-\frac{x}{\theta} }，&x>0,\\ 0, & 其他, \end{array}\right.F(x)={1−e−θx，0,x>0,其他,
服从指数分布的随机变量XXX具有以下有趣的性质:
对于任意s,t>0,s,t>0,s,t>0,有P{X>s+t∣X>s}=P{X>t}P\{X>s+t|X>s\}=P\{X>t\}P{X>s+t∣X>s}=P{X>t}
称为无记忆性.

5.正态分布5.正态分布5.正态分布

若连续型随机变量XXX的概率密度为f(x)=12πσe−(x−μ)22σ2,−∞<x<∞f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} },-\infty<x<\inftyf(x)=2πσ1e−2σ2(x−μ)2,−∞<x<∞
其中μ,σ(σ>0)\mu,\sigma(\sigma>0)μ,σ(σ>0)为常数，则称XXX为服从参数为μ,σ\mu,\sigmaμ,σ的正态分布或高斯分布，记为X∼N(μ,σ).X \sim N(\mu,\sigma).X∼N(μ,σ).
XXX的分布函数为F(x)=12πσ∫−∞xe−(t−μ)22σ2dt\begin{aligned} &F(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{(t-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}} d t\\ \end{aligned}F(x)=2πσ1∫−∞xe−2σ2(t−μ)2dt
特别，当μ=0,σ=1\mu=0,\sigma=1μ=0,σ=1时称随机变量XXX服从标准正态分布.其概率密度和分布函数分别用φ(x),Φ(x)\varphi(x),\Phi(x)φ(x),Φ(x)表示即有φ(x)=12πe−x22\begin{aligned} &\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\\\end{aligned}φ(x)=2π1e−2x2
Φ(x)=12π∫−∞xe−t22dt\begin{aligned} &\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}} d t\\ \end{aligned}Φ(x)=2π1∫−∞xe−2t2dt
易知Φ(−x)=1−Φ(x)\Phi(-x)=1-\Phi(x)Φ(−x)=1−Φ(x)

6.引理6.引理6.引理

若X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu,\sigma^2)X∼N(μ,σ2)，则Z=X−μσ∼N(0,1)Z=\frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)Z=σX−μ∼N(0,1)
于是，若X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu,\sigma^2)X∼N(μ,σ2)，则它的分布函数F(x)F(x)F(x)可写成F(x)=P{X≤x}=P{X−μδ≤x−μδ}=Φ(x−μδ)\begin{aligned} &F(x)=P\{X \leq x\}=P\left\{\frac{X-\mu}{\delta} \leq \frac{x-\mu}{\delta}\right\}=\Phi\left(\frac{x-\mu}{\delta}\right)\\ \end{aligned}F(x)=P{X≤x}=P{δX−μ≤δx−μ}=Φ(δx−μ)
对于任意区间(x1,x2](x_1,x_2](x1,x2]，有P{x1<X≤x2}=P{x1−μδ<X−μδ≤x2−μδ}=Φ(x2−μδ)−Φ(x1−μδ)\begin{aligned}&P\left\{x_{1}<X \leq x_{2}\right\}=P\left\{\frac{x_{1}-\mu}{\delta}<\frac{X-\mu}{\delta} \leq \frac{x_{2}-\mu}{\delta}\right\}\\ &=\Phi\left(\frac{x_{2}-\mu}{\delta}\right)-\Phi\left(\frac{x_{1}-\mu}{\delta}\right) \end{aligned}P{x1<X≤x2}=P{δx1−μ<δX−μ≤δx2−μ}=Φ(δx2−μ)−Φ(δx1−μ)

6.上α分位点6.上α分位点6.上α分位点

设X∼N(0,1)X \sim N(0,1)X∼N(0,1)，若zαz_\alphazα满足条件p{X>zα}=α,0<α<1,p\{X>z_\alpha\}=\alpha,0<\alpha<1,p{X>zα}=α,0<α<1,
则称点zαz_\alphazα为标准正态分布的上ααα分位点.

7.随机变量的函数的分布7.随机变量的函数的分布7.随机变量的函数的分布

设随机变量XXX具有概率密度fx(x)f_x(x)fx(x)，−∞<x<∞,-\infty<x<\infty,−∞<x<∞,又设函数g(x)g(x)g(x)处处可导且恒有g′(x)>0，(或恒有g′(x)<0)，g^{\prime}(x)>0，(或恒有g^{\prime}(x)<0)，g′(x)>0，(或恒有g′(x)<0)，则Y=g(X)Y=g(X)Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为fY(y)={fX[h(y)]∣h′y∣,α<x<β，0,其他，f_Y(y)=\left\{\begin{array}{ll} f_X[h(y)]|h^{\prime}{y}|, & \alpha<x<\beta ，\\ 0, &其他， \end{array}\right.fY(y)={fX[h(y)]∣h′y∣,0,α<x<β，其他，
其中α=min{g(−∞),g(∞)},β=max{g(−∞),g(∞)}\alpha=min\{g(-\infty),g(\infty)\},\beta=max\{g(-\infty),g(\infty)\}α=min{g(−∞),g(∞)},β=max{g(−∞),g(∞)}，h(y)h(y)h(y)是g(x)g(x)g(x)的反函数.

8.其他几个结论8.其他几个结论8.其他几个结论

(1)设随机变量，那么X的线性函数Y=aX+b(a≠0)也服从正态分布.(1)设随机变量，那么X的线性函数Y=aX+b(a\not =0)也服从正态分布.(1)设随机变量，那么X的线性函数Y=aX+b(a=0)也服从正态分布.
(2)设f(x),g(x)都是概率密度函数，那么(2)设f(x),g(x)都是概率密度函数，那么(2)设f(x),g(x)都是概率密度函数，那么h(x)=af(x)+(1−a)g(x),0≤a≤1h(x)=af(x)+(1-a)g(x),0 \leq a \leq 1h(x)=af(x)+(1−a)g(x),0≤a≤1也是一个概率密度函数.也是一个概率密度函数.也是一个概率密度函数.
(3)设X服从参数为θ的指数分布，F(x)为X的分布函数，设Y=F(X)，那么(3)设X服从参数为\theta的指数分布，F(x)为X的分布函数，设Y=F(X)，那么(3)设X服从参数为θ的指数分布，F(x)为X的分布函数，设Y=F(X)，那么 Y∼N(0,1).Y \sim N(0,1).Y∼N(0,1).